Gelöste Aufgaben/UEBP

Aufgabenstellung

Diese Problemstellung liefert einen Näherungsansatz für eine Standardlösung zum Euler-Bernoulli-Balken.

Der Euler-Bernoulli-Balken AB wird durch ein Moment M zwischen den beiden gelenkigen Lagern belastet. 

Lageplan

Gesucht ist eine Lösung für die Biegelinie mit dem Ansatz von Ritz und zwei Trial-Funktionen.

Im Vergleich zu UEBO, das die gleiche Aufgabenstellung hat - arbeiten wir hier mit Ansatzfunktionen in zwei Sektionen wie bei der FEM. Nur das Gleichgewichts-Prinzip bliebt das Gleicht: das Prinzip vom Minimum der Potentiellen Energie.

Lösung mit Maxima

Beim Verfahren von Ritz arbeiten wir mit

• dem Prinzip vom Minimum der Potentiellen Energie.

Statt mit

• Ansatzfunktionen über die gesamte Länge des Balkens arbeiten wir
• hier mit zwei Finiten Elementen (Sektionen), für die wir separat ansetzen.

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Header

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Um die Lösung dimensionslos zu machen, nutzen wir wieder die analytische Lösung des Problems  und

• $W^{max}=\frac{M{\ell }^2}{9\sqrt{3}\cdot EI}$: die maximale Auslenkung des Balkens für a=ℓ.

Dimensionslose Orts-Koordinaten sind

$\begin{array}{ll}x& =\xi \cdot \ell ,\\ a& =\alpha \cdot \ell .\end{array}$.

Declarations

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Dass wir in UEBO die Trial-Funktions ϕ über die gesamte Stablänge angesetzt haben, führt bei den berechneten Näherungen für die Momente M(x) und letztlich auch für die Verschiebungen w(x) zu massiven Fehlern. Einen Sprung in der Momenten-Kennlinie mit einem Polynom zu approximieren, geht halt nicht gut.

Ein Schritt hin zur Methode der Finiten Elemente ist bei diesem "modifizierten Verfahren von Rayleigh-Ritz" der Ansatz der Trial-Functions in zwei Sektionen - also wie bei analytischen Lösung auch.

Die Sektions- (Element-) Längen sind dabei

• für Sektion I: ${\ell }_I=\alpha \cdot \ell$  und
• für Sektion II: ${\ell }_{II}=(1-\alpha )\cdot \ell$.

Unabhängige Koordinaten der Finiten Elemente

Und wir arbeiten mit je einer Ortskoordinate ξ_i je Sektion, also

$0\le {\ell }_I\cdot {\xi }_I<a\text{ und }0\le {\ell }_{II}\cdot {\xi }_{II}<\ell -a$

mit

$0\le {\xi }_i<1$

Für die Trial-Functions wählen wir sektionsweise Polynome zweiten Grades

$\begin{array}{lcl}{w}_I({\xi }_I)& =& c_{1,2}\cdot {\xi }^2+c_{1,1}\cdot \xi +c_{1,0}\\ w_{II}({\xi }_{II)}& =& c_{2,2}\cdot {\xi }^2+c_{2,1}\cdot \xi +c_{2,0}\end{array}$,

deren Koeffizienten c_ij wir nun an die geometrischen Randbedingungen anpassen müssen:

$\begin{array}{lcl}{w}_I(0)& =& 0\\ w_I(1)& =& w_{II}(0)\\ {\frac{d{w}_I({\xi }_I)}{dx}|}_{\xi =1}& =& {\frac{d{w}_{II}({\xi }_{II})}{dx}|}_{\xi =0}\\ w_{II}(1)& =& 0\\ \end{array}$

Zusätzlich ersetzen wir zwei c_ij durch die Verschiebung und Verdrehung im Momenten-Einleitungspunkt

$\begin{array}{lcl}W& :=& w_{II}(0)\\ \mathrm{\Phi }& :=& {\frac{d{w}_{II}({\xi }_{II})}{dx}|}_{\xi =0}\end{array}$,

so dass die Trial-Functions die Form

$w(x)=\{\begin{array}{ccl}W\cdot {\varphi }_{1,1}({\xi }_I)& +\mathrm{\Phi }\cdot {\varphi }_{1,2}({\xi }_I)& \text{ für Sektion I}\\ W\cdot {\varphi }_{2,1}({\xi }_{II})& +\mathrm{\Phi }\cdot {\varphi }_{2,2}({\xi }_{II})& \text{ für Sektion II}\end{array}$

annehmen bzw.

$w(x)=\{\begin{array}{ccccl}W& \cdot (2\cdot {\xi }_I-{{\xi }_I}^2)& +\mathrm{\Phi }& \cdot (\alpha \cdot {{\xi }_I}^2-\alpha \cdot {\xi }_I)\cdot \ell & \text{ für }0<x<a,\\ W& \cdot (1-{{\xi }_{II}}^2)& +\mathrm{\Phi }& \cdot ((\alpha -1)\cdot {{\xi }_{II}}^2+(1-\alpha )\cdot {\xi }_{II})\cdot \ell & \text{ für }a<x<\ell .\end{array}$

Im Plot sehen die vier Funktionen (zwei je Sektion,  zwei Sektionen) so aus:

Trial-Functions - wie bei der Methode der Finiten Elemente

Formfunctions

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Für die Gleichgewichtsbedingungen setzten wir Π (aus Abschnitt Euler-Bernoulli-Balken) und A in U ein und schreiben die skalare Gleichung allgemein in Matrizenform an. Dabei müssen wir

$\frac{d\varphi }{x}=\frac{d\varphi }{{\xi }_i}\cdot \underset{=\frac{1}{{\ell }_i}}{\underbrace{\frac{d{\xi }_i}{x}}}$

berücksichtigen und erhalten mit der Arbeitsfunktion des Moments

$A=M\cdot w^{\prime }{|}_{x=a}$

das Potential in Matrix-Schreibweise:

$U=\frac{1}{2}\cdot {\underset{\_}{Q}}^T\cdot \underset{\_}{\underset{\_}{A}}\cdot \underset{\_}{Q}-{\underset{\_}{Q}}^T\cdot \underset{\_}{b}$.

wobei

$\underset{\_}{Q}=\left(\begin{array}{c}W\\ \mathrm{\Phi }\end{array}\right)$.

Potential Energy

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Diese Gleichung erfüllt die Gleichgewichtsbedingungen

$\frac{dU}{d{Q}_i}\stackrel{!}{=}0$,

wenn

$\left(\begin{array}{cc}-\frac{(4-12\cdot \alpha +12\cdot {\alpha }^2)\cdot EI}{({\alpha }^6-3\cdot {\alpha }^5+3\cdot {\alpha }^4-{\alpha }^3)\cdot {\ell }^3}& \frac{4(2\cdot \alpha -1)\cdot EI}{({\alpha }^4-2\cdot {\alpha }^3+{\alpha }^2)\cdot {\ell }^2}\\ 4\frac{(2\cdot \alpha -1)\cdot EI}{({\alpha }^4-2\cdot {\alpha }^3+{\alpha }^2)\cdot {\ell }^2}& -\frac{4\cdot EI}{({\alpha }^2-\alpha )\cdot \ell }\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}W\\ \mathrm{\Phi }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ M\end{array}\right)$.

Hier kann man schon am Gleichungssystem ablesen, was für α=½ passiert: dann werden die Nebendiagonal-Elemente mit Ihren (2 α-1)-Koeffizienten zu Null, dann ist

• $W=0$ und
• $\frac{16EI}{\ell }\mathrm{\Phi }=M$.

Equilibrium Conditions

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Auflösen der Gleichungen nach den unbekannten Koordinaten W und Φ liefert

$\begin{array}{ll}W& =\frac{(\alpha -3\cdot {\alpha }^2+2\cdot {\alpha }^3)\cdot M\cdot {\ell }^2}{4\cdot EI}\\ \mathrm{\Phi }& =\frac{(1-3\cdot \alpha +3\cdot {\alpha }^2)\cdot M\cdot \ell }{4\cdot EI}\end{array}$.

Damit ist die gesuchte Näherungs-Lösung

$\begin{array}{ll}{w}_I({\xi }_I)& =\frac{(({\alpha }^3-3\cdot {\alpha }^2+\alpha )\cdot \xi +{\alpha }^3\cdot {\xi }^2)\cdot M\cdot {\ell }^2}{4\cdot EI}\\ w_{II}({\xi }_{II})& =\frac{(\alpha -3\cdot {\alpha }^2+2\cdot {\alpha }^3+(-3\cdot {\alpha }^3+6\cdot {\alpha }^2-4\cdot \alpha +1)\cdot \xi +({\alpha }^3-3\cdot {\alpha }^2+3\cdot \alpha -1)\cdot {\xi }^2)\cdot M\cdot {\ell }^2}{4\cdot EI}\end{array}$.

Solving

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Verläufe von w(x), ϕ(x)

Die gesuchten Koordinaten  W und Φ tragen wir über α auf:

Wir lesen ab:

• für α=½: die Lösung wird - wie erwartet - nur durch ϕ₂ beschreiben - also W = 0.
• für α= 0: die Lösung wird - wie erwartet - nur durch ϕ₂ beschreiben - also W = 0.

Im Plot der normierten Biegelinie des Balkens im Vergleich von Ritz-Näherung zu analytischer Lösung - hier nur für a = ℓ/2 - zeigt sich, dass die Lösung von deutlich besserer Qualität ist:

Vergleich analytische / numerische Lösung für w(x)

Während in UEBO die Näherungslösung gerade mal 1/4 der analytischen Lösung erreichte, haben wir hier fast die gleichen Auslenkungen. Und das, obwohl die Modelle hier und in UEBO jeweils nur zwei Unbekannte haben.

Vergleich analytische / numerische Lösung für das Schnittmoment M(x)

Post-Processing

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Post-Processing - Nachtrag

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