Gelöste Aufgaben/UEBF

Aufgabenstellung

Der Euler-Bernoulli-Balken AB wird durch eine vertikale Einzelkraft F₀ belastet. Er ist in A fest eingespannt und hat ein linear veränderliches Flächenmoment I(x).

Lageplan

Gesucht ist eine Lösung für die Auslenkung w(x) mit dem Ansatz von Ritz und einer Trial-Funktion.

Damit ähnelt diese Aufgabe UEBC.

Lösung mit Maxima

Beim Verfahren von Ritz arbeiten wir mit

• dem Prinzip vom Minimum der Potentiellen Energie und
• Ansatzfunktionen über die gesamte Länge des Balkens.

Um die Lösung dimensionslos zu machen, nutzen wir die analytische Lösung des einseitig fest eingespannten Balkens  unter einer Einzellast bei B. Hier ist die maximale Auslenkung

$\displaystyle {\hat {w}}:={\frac {\ell ^{3}}{3\;E\,I_{1}}}\,F_{0}$.

Damit können wir uns die Lösungen dieses Problems als Vielfaches der analytischen Lösung eines ähnlichen Problems denken.

Header

Wir berechnen die Potentielle Energie U des Systems und erhalten aus

$\displaystyle {\frac {d\,U}{d\,W}}{\stackrel {!}{=}}0$

die Gleichung für den gesuchten Koeffizienten W der Trial-Funktion.

/*******************************************************/
/* MAXIMA script                                       */
/* version: wxMaxima 15.08.2                           */
/* author: Andreas Baumgart                            */
/* last updated: 2018-02-13                            */
/* ref: TMC                                            */
/* description: Rayley-Ritz-Solution for EBB           */
/*              with I(x)                              */
/*******************************************************/

Declarations

Zum Dimensionslos-Machen der Gleichungen wählen wir

${\begin{array}{ll}{\hat {w}}&=\displaystyle {\frac {\ell ^{3}}{3E\,I_{1}}}\cdot F,\\x&=\xi \cdot \ell ,\\a&=\alpha \cdot \ell .\end{array}}$.

/* make equations of motion dim'less with load case #1 from Gross e.a. */
dimless: [W[a] = F*l^3/(3*E*I[1]),
          x=xi*l,
          a=alpha*l];

/* parameter */
params: [I(xi) = I[0]*(1-xi)+I[1]*xi];

Formfunctions

Gesucht ist hier ein Ansatz mit einer einzigen Trial Function, also

$w(x)=W\cdot \phi (x)$

und dem gesuchten Koeffizienten W. ϕ muss dabei alle geometrischen Randbedingungen erfüllen:

${\begin{array}{ll}w(0)&=0,\\w'(0)&=0.\end{array}}$

Die Funktionen müssen nicht die Randbedingungen für Schnittlasten in B erfüllen - schließlich suchen wir nach einer Näherungslösung!

Diese Funktion ϕ zu konstruieren ist einfach: wir brauchen lediglich eine doppelte Nullstelle in x=0, also z.B.

$\phi (\xi )=\xi ^{2}{\text{ mit }}\xi =\displaystyle {\frac {x}{\ell }}$.

Der freie Koeffizient W ist nun die Auslenkung in B - deshalb taufen wir ihn hier W_B. Wir wählen ihn so, dass Sie die exakte Lösung bestmöglich approximiert.

/* trial function */
trial: [w(xi) = W[B]*xi^2];

Potential Energy

Für die Gleichgewichtsbedingungen setzten wir Π (aus Abschnitt Euler-Bernoulli-Balken) und A in U ein und schreiben die skalare Gleichung allgemein in Matrizenform an. Dabei müssen wir

$\displaystyle {\frac {d\phi }{x}}={\frac {d\phi }{\xi }}\cdot \underbrace {\displaystyle {\frac {d\xi }{x}}} _{\displaystyle ={\frac {1}{\ell }}}$

berücksichtigen und erhalten

$U=\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot \displaystyle {\underline {Q}}^{T}\cdot {\underline {\underline {A}}}\cdot {\underline {Q}}-{\underline {Q}}^{T}\cdot {\underline {b}}$.

Weil wir in der Spaltenmatrix

${\underline {Q}}=\left(W_{B}\right)$

nur eine Unbekannte W_B haben, können wir es uns hier etwas einfacher machen, U lautet:

$\displaystyle U={\frac {E\cdot \left({{I}_{0}}+{{I}_{1}}\right)}{{\ell }^{3}}}\cdot {{W}_{B}^{2}}-{\frac {{{a}^{2}}\cdot F}{{\ell }^{2}}}\cdot {{W}_{B}}$.

/* potential energies */
/* define potential energy of system */
PMPE : [U  = Pi - A,
        Pi = 1/2*l*'integrate(E*I(xi)*'diff(w(xi),xi,2)^2/l^4,xi,0,1),
        A  = F*w(alpha)];
PMPE: subst([w(alpha) = subst([xi=a/l],subst(trial,w(xi)))],
  subst(params, subst(trial,
    subst(PMPE[3],subst(PMPE[2], PMPE[1])))));
PMPE : ev(PMPE,nouns);

Equilibrium Conditions

Diese Gleichung erfüllt die Gleichgewichtsbedingung(en)

$\displaystyle {\frac {dU}{dW_{B}}}{\stackrel {!}{=}}0$,

wenn

$\displaystyle {\frac {2\cdot \left({{I}_{0}}+{{I}_{1}}\right)\cdot {{W}_{B}}\cdot E}{{\ell }^{3}}}-{\frac {{{a}^{2}}\cdot F}{{\ell }^{2}}}=0$.

/* equilibreium condition */
equilibrium : diff(subst(PMPE, U),W[B]) = 0;

Solving

Auflösen nach W_B liefert

$\displaystyle W_{B}={\frac {{{a}^{2}}\cdot \ell }{2\cdot \left({{I}_{1}}+{{I}_{0}}\right)\cdot E}}\cdot F$.

/* solve */
sol: solve(equilibrium,W[B]);

Post-Processing

Lageplan

Und so sieht die normierte Absenkung des Punktes B als Funktion von a aus:

Dies ist nicht die Biegelinie des Balkens!

Aufgabe UEBD zeigt, wie wir zu einer besseren Approximation kommen.

✔ Schnittmomenten-Verlauf:

Probieren Sie aus, wie gut der Ritz-Ansatz den Verlauf des Schnittmoments approximiert!

/* post-processing */
plot2d(subst([I[0]=2*I[1]],subst(dimless,subst(sol,W[B]/W[A]))),[alpha,0,1],
       [gnuplot_preamble, "set yrange [] reverse"],
       [legend, "I[0]=2 I[1]"],
       [xlabel, "x/l->"], [ylabel, "<-w/w_a"],
       [style, [lines,3]]);

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Links

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Literature

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