Gelöste Aufgaben/TC13

Aufgabenstellung

Das System ist eine Variante von Aufgabe TC12. Hier ist eine Näherungslösung mit der Methode der Finiten Elemente gefragt. Das Sytem besteht aus zwei Sektionen mit den Längen ℓ₁ bzw. ℓ₂ sowie den Flächenmomenten I₁ bzw. I₂. Sektion AB ist durch eine konstante Streckenlast q₀ belastet, in B wirkt das Moment M_B0. Der Stab ist in A durch ein gelenkiges Festlager gelagert. In C ist das Stabende fest mit dem Umfang einer Rolle vom Radius r verbunden, die in D frei drehbar gelagert ist. In B sind die beiden Sektionen fest miteinander verbunden. Die Feder in B ist eine Translationsfeder mit der Steifigkeit  k_B.

Lageplan

Gesucht ist die FEM-Lösung mit zwei Elementen für den Euler-Bernoulli-Balken.

Die Systemparameter sind die gleichen wie in TC12, das dort gesuchte Flächenmoment I₁ übernehmen wir zu

$I_{1}=54\,000{\text{ mm}}^{4}$.

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Wir suchen eine Lösung mit den Standard-Trial-Functions (Hermitesche-Polynome) für einen Euler-Bernoulli-Balken. Aufpassen müssen wir am Rand "C". Hier sind Verschiebung und Verdrehung durch die Rolle gekoppelt. Die Element-Steifigkeitsmatrix müssen wir passend umschreiben.

Header

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Wir übernehmen die Systemparameter aus TC12 zu

${\begin{array}{l}\displaystyle {\ell _{1}}=1000\cdot {\mathit {mm}},\\\displaystyle {\ell _{2}}={\frac {\ell _{1}}{2}},\\\displaystyle r={\frac {\ell _{1}}{4}},\\\displaystyle E={\frac {210000.0\cdot N}{{\mathit {mm}}^{2}}},\\\displaystyle {{I}_{1}}=54000\cdot {{\mathit {mm}}^{4}},\\\displaystyle {{I}_{2}}=2\cdot {{I}_{1}},\\\displaystyle {{k}_{B}}={\frac {3\cdot {{I}_{1}}\cdot E}{\ell _{1}^{3}}},\\\displaystyle {{q}_{0}}={\frac {10\cdot N}{\mathit {mm}}},\\\displaystyle {{M}_{B}}={{q}_{0}}\cdot {\ell _{1}^{2}}\end{array}}$,

und wählen als Referenzgröße w_ref für die Auslenkung des Balkens die maximale Verschiebung eines Kragbalkens unter konstanter Streckenlast:

$\displaystyle w_{ref}={\frac {q_{o}\;\ell _{1}^{4}}{8\;E\,I_{1}}}$

Declarations

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Die Trial-Functions je Element "i" zur Komposition der Form-Funktion kopieren wir aus Finite Elemente Methode zu

${\begin{array}{l}\phi _{1}=2\cdot {{\xi }^{3}}-3\cdot {{\xi }^{2}}+1,\\\phi _{2}={{\ell }_{i}}\cdot \left({{\xi }^{3}}-2\cdot {{\xi }^{2}}+\xi \right),\\\phi _{3}=3\cdot {{\xi }^{2}}-2\cdot {{\xi }^{3}},\\\phi _{4}={{\ell }_{i}}\cdot \left({{\xi }^{3}}-{{\xi }^{2}}\right)\end{array}}$,

die Koordinaten der Verschiebung sind

$Q_{i}=\left({\begin{array}{l}W_{i-1}\\\Phi _{i-1}\\W_{i}\\\Phi _{i}\end{array}}\right)$.

Damit ist

${\begin{array}{lcll}w_{i}(x_{i})=&&W_{i-1}&\cdot \left(2\cdot {{\xi }^{3}}-3\cdot {{\xi }^{2}}+1\right)\\&+&\Phi _{i-1}&\cdot {{\ell }_{i}}\cdot \left({{\xi }^{3}}-2\cdot {{\xi }^{2}}+\xi \right)\\&+&W_{i}&\cdot \left(3\cdot {{\xi }^{2}}-2\cdot {{\xi }^{3}}\right)\\&+&\Phi _{i}&\cdot {{\ell }_{i}}\cdot \left({{\xi }^{3}}-{{\xi }^{2}}\right)\end{array}}$.

Formfunctions

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Die Gleichgewichtsbedingungen kommen aus dem Prinzip der virtuellen Verrückungen zu

${\begin{array}{ll}\delta W&{\stackrel {!}{=}}0\\&=\delta W_{a}-\delta \Pi \end{array}}$.

Wir sortieren die Elemente der virtuellen Arbeit nach den virtuellen Koordinaten und den Koordinaten des System und konstruieren daraus das gewöhnliche Gleichungssystem

${\underline {\underline {K}}}\cdot {\underline {Q}}={\underline {P}}$.

Die Anteile an der gesamten virtuellen Arbeit kommen aus der virtuellen Formänderungsenergie δΠ und der virtuellen Arbeit der äußeren Lasten δW^a.

Dabei ist für unsere zwei Elemente δΠ = δΠ₁ + δΠ₂' mit

$\delta \Pi _{i}=\delta {\underline {Q}}_{i}^{T}\cdot {\underline {\underline {k}}}_{0}\cdot {\underline {Q_{i}}}$

und der Element-Steifigkeitsmatrix

${\underline {\underline {k}}}_{0}=\displaystyle {\frac {\mathit {EI}}{{\ell }_{i}^{3}}}\cdot {\begin{pmatrix}12&6\cdot {{\ell }_{i}}&-12&6\cdot {{\ell }_{i}}\\6\cdot {{\ell }_{i}}&4\cdot {{\ell }_{i}^{2}}&-6\cdot {{\ell }_{i}}&2\cdot {{\ell }_{i}^{2}}\\-12&-6\cdot {{\ell }_{i}}&12&-6\cdot {{\ell }_{i}}\\6\cdot {{\ell }_{i}}&2\cdot {{\ell }_{i}^{2}}&-6\cdot {{\ell }_{i}}&4\cdot {{\ell }_{i}^{2}}\end{pmatrix}}$.

Für Element 1 können wir diese Matrix direkt übernehmen, das heißt k₁ = k₀ für i=1.

Element 2 birgt eine Tücke: Hier sind Verschiebung W₂ und Verdrehung Φ₂ gekoppelt über die Kinematik der Rolle:

$W_{2}=-r\cdot \Phi _{2}$

Damit ist auch die Variation in diesen Koordinaten gekoppelt, also

$\delta W_{2}=-r\cdot \delta \Phi _{2}$.

Mit dieser Beziehung eliminieren wir demnach W₂ aus der Formulierung der Gleichgewichtsbedingungen. Das Einsetzen der kinematischen Beziehungen in δΠ liefert nun als Element-Steifigkeitsmatrix

${\underline {\underline {k}}}_{2}=\displaystyle {\frac {E\,I_{2}}{l_{2}^{3}}}\cdot {\begin{pmatrix}12&6\cdot {{\ell }_{2}}&0&12\cdot r+6\cdot {{\ell }_{2}}\\6\cdot {{\ell }_{2}}&4\cdot {{\ell }_{2}^{2}}&0&6\cdot {{\ell }_{2}}\cdot r+2\cdot {{\ell }_{2}^{2}}\\0&0&0&0\\12\cdot r+6\cdot {{\ell }_{2}}&6\cdot {{\ell }_{2}}\cdot r+2\cdot {{\ell }_{2}^{2}}&0&12\cdot {{r}^{2}}+12\cdot {{\ell }_{2}}\cdot r+4\cdot {{\ell }_{2}^{2}}\end{pmatrix}}$,

bei der die Elemente der dritten Zeile (zu δW_i) und der dritten Spalte (zu W_i) verschwinden.

Struktur der Steifigkeitsmatrix.

Wir setzen die Gesamt-Steifigkeitsmatrix K aus den beiden Element-Steifigkeitsmatrizen so zusammen:

Und das ist die anteilige Gesamt-Steifigkeitsmatrix der beiden Balken-Abschnitte:

${\underline {\underline {K}}}\,=\,{\begin{pmatrix}{\frac {12\cdot {{I}_{1}}\cdot E}{{\ell }_{1}^{3}}}&{\frac {6\cdot {{I}_{1}}\cdot E}{{\ell }_{1}^{2}}}&-{\frac {12\cdot {{I}_{1}}\cdot E}{{\ell }_{1}^{3}}}&{\frac {6\cdot {{I}_{1}}\cdot E}{{\ell }_{1}^{2}}}&0&0\\{\frac {6\cdot {{I}_{1}}\cdot E}{{\ell }_{1}^{2}}}&{\frac {4\cdot {{I}_{1}}\cdot E}{{\ell }_{1}}}&-{\frac {6\cdot {{I}_{1}}\cdot E}{{\ell }_{1}^{2}}}&{\frac {2\cdot {{I}_{1}}\cdot E}{{\ell }_{1}}}&0&0\\-{\frac {12\cdot {{I}_{1}}\cdot E}{{\ell }_{1}^{3}}}&-{\frac {6\cdot {{I}_{1}}\cdot E}{{\ell }_{1}^{2}}}&{\frac {12\cdot {{I}_{2}}\cdot E}{{\ell }_{2}^{3}}}+{\frac {12\cdot {{I}_{1}}\cdot E}{{\ell }_{1}^{3}}}&{\frac {6\cdot {{I}_{2}}\cdot E}{{\ell }_{2}^{2}}}-{\frac {6\cdot {{I}_{1}}\cdot E}{{\ell }_{1}^{2}}}&0&{\frac {12\cdot {{I}_{2}}\cdot r\cdot E}{{\ell }_{2}^{3}}}+{\frac {6\cdot {{I}_{2}}\cdot E}{{\ell }_{2}^{2}}}\\{\frac {6\cdot {{I}_{1}}\cdot E}{{\ell }_{1}^{2}}}&{\frac {2\cdot {{I}_{1}}\cdot E}{{\ell }_{1}}}&{\frac {6\cdot {{I}_{2}}\cdot E}{{\ell }_{2}^{2}}}-{\frac {6\cdot {{I}_{1}}\cdot E}{{\ell }_{1}^{2}}}&{\frac {4\cdot {{I}_{2}}\cdot E}{{\ell }_{2}}}+{\frac {4\cdot {{I}_{1}}\cdot E}{{\ell }_{1}}}&0&{\frac {6\cdot {{I}_{2}}\cdot r\cdot E}{{\ell }_{2}^{2}}}+{\frac {2\cdot {{I}_{2}}\cdot E}{{\ell }_{2}}}\\0&0&0&0&0&0\\0&0&{\frac {12\cdot {{I}_{2}}\cdot r\cdot E}{{\ell }_{2}^{3}}}+{\frac {6\cdot {{I}_{2}}\cdot E}{{\ell }_{2}^{2}}}&{\frac {6\cdot {{I}_{2}}\cdot r\cdot E}{{\ell }_{2}^{2}}}+{\frac {2\cdot {{I}_{2}}\cdot E}{{\ell }_{2}}}&0&{\frac {12\cdot {{I}_{2}}\cdot {{r}^{2}}\cdot E}{{\ell }_{2}^{3}}}+{\frac {12\cdot {{I}_{2}}\cdot r\cdot E}{{\ell }_{2}^{2}}}+{\frac {4\cdot {{I}_{2}}\cdot E}{{\ell }_{2}}}\end{pmatrix}}$

Auch die Feder ist ein elastisches Element und trägt damit eine virtuelle Formänderungsenergie, zu δΠ hinzu, nämlich

$\delta \Pi _{3}=k_{B}\,W_{1}\cdot \delta W_{1}$

Diesen Beitrag müssen wir in Zeile 3, Spalte 3 hinzuaddieren, also mit der Anweisung

$K_{3,3}=K_{3,3}+k_{B}$.

Auf der rechten Seite des Gleichungssystem bleiben die Beiträge der virtuellen Arbeiten äußerer Lasten stehen. Dies sind

$\delta W^{a}=\int _{\ell _{1}}q_{0}\cdot \delta w(x)\,dx+M_{B}\cdot \delta \Phi _{1}$,

wir erhalten

${\underline {P}}\,=\,{\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {{{q}_{0}}\cdot {{\ell }_{1}}}{2}}\\\displaystyle {\frac {{{q}_{0}}\cdot {{\ell }_{1}^{2}}}{12}}\\\displaystyle {\frac {{{q}_{0}}\cdot {{\ell }_{1}}}{2}}\\\displaystyle {{M}_{B}}-{\frac {{{q}_{0}}\cdot {{\ell }_{1}^{2}}}{12}}\\\displaystyle 0\\\displaystyle 0\end{pmatrix}}$.

Jetzt fehlen nur noch die Randbedingungen. Wir setzen

$W_{0}=0$,

die kinematische Beziehung

$W_{2}=-r\cdot \Phi _{2}$

haben wir schon eingearbeit - bleibt also nur noch, die entsprechenden Spalten und Zeilen in den Matrizen K, Q und P zu eliminieren. Es bleibt das Gleichungssystem

${\begin{pmatrix}{\frac {4\cdot {{I}_{1}}\cdot E}{{\ell }_{1}}}&-{\frac {6\cdot {{I}_{1}}\cdot E}{{\ell }_{1}^{2}}}&{\frac {2\cdot {{I}_{1}}\cdot E}{{\ell }_{1}}}&0\\-{\frac {6\cdot {{I}_{1}}\cdot E}{{\ell }_{1}^{2}}}&{\frac {12\cdot {{I}_{2}}\cdot E}{{\ell }_{2}^{3}}}+{\frac {12\cdot {{I}_{1}}\cdot E}{{\ell }_{1}^{3}}}+{{k}_{B}}&{\frac {6\cdot {{I}_{2}}\cdot E}{{\ell }_{2}^{2}}}-{\frac {6\cdot {{I}_{1}}\cdot E}{{\ell }_{1}^{2}}}&{\frac {12\cdot {{I}_{2}}\cdot r\cdot E}{{\ell }_{2}^{3}}}+{\frac {6\cdot {{I}_{2}}\cdot E}{{\ell }_{2}^{2}}}\\{\frac {2\cdot {{I}_{1}}\cdot E}{{\ell }_{1}}}&{\frac {6\cdot {{I}_{2}}\cdot E}{{\ell }_{2}^{2}}}-{\frac {6\cdot {{I}_{1}}\cdot E}{{\ell }_{1}^{2}}}&{\frac {4\cdot {{I}_{2}}\cdot E}{{\ell }_{2}}}+{\frac {4\cdot {{I}_{1}}\cdot E}{{\ell }_{1}}}&{\frac {6\cdot {{I}_{2}}\cdot r\cdot E}{{\ell }_{2}^{2}}}+{\frac {2\cdot {{I}_{2}}\cdot E}{{\ell }_{2}}}\\0&{\frac {12\cdot {{I}_{2}}\cdot r\cdot E}{{\ell }_{2}^{3}}}+{\frac {6\cdot {{I}_{2}}\cdot E}{{\ell }_{2}^{2}}}&{\frac {6\cdot {{I}_{2}}\cdot r\cdot E}{{\ell }_{2}^{2}}}+{\frac {2\cdot {{I}_{2}}\cdot E}{{\ell }_{2}}}&{\frac {12\cdot {{I}_{2}}\cdot {{r}^{2}}\cdot E}{{\ell }_{2}^{3}}}+{\frac {12\cdot {{I}_{2}}\cdot r\cdot E}{{\ell }_{2}^{2}}}+{\frac {4\cdot {{I}_{2}}\cdot E}{{\ell }_{2}}}\end{pmatrix}}\,\cdot \,{\begin{pmatrix}{{\Phi }_{0}}\\{{W}_{1}}\\{{\Phi }_{1}}\\{{\Phi }_{2}}\end{pmatrix}}\,=\,{\begin{pmatrix}{\frac {{{q}_{0}}\cdot {{\ell }_{1}^{2}}}{12}}\\{\frac {{{q}_{0}}\cdot {{\ell }_{1}}}{2}}\\{{M}_{B}}-{\frac {{{q}_{0}}\cdot {{\ell }_{1}^{2}}}{12}}\\0\end{pmatrix}}$.

Equilibrium Conditions

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Auflösen nach Q liefert

${\begin{array}{ll}{\Phi _{0}}&=-0.0157,\\W_{1}&=-4.86\cdot {{10}^{-18}}\;{\text{m}},\\{\Phi _{1}}&=+0.0682,\\{\Phi _{2}}&=-0.0262\end{array}}$,

zusammen mit den Randbedingungen also

${\begin{array}{ll}{\color {green}{W_{0}}}&={\color {green}{0}},\\{\Phi _{0}}&=-0.0157,\\W_{1}&=-4.86\cdot {{10}^{-18}}\;{\text{m}},\\{\Phi _{1}}&=+0.0682,\\{\color {green}{W_{2}}}&={\color {green}{+0.00656{\text{ m}}}},\\{\Phi _{2}}&=-0.0262\end{array}}$.

Solving

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Biegelinie w(x)

Die Auslenkung w(x) der Querschnitte tragen wir jetzt auf. Für die dimensionslose Darstellung wählen wir aus der analytischen Lösung für den Kragbalken unter konstanter Streckenlast

${\begin{array}{ll}{{w}_{\mathit {ref}}}&\displaystyle ={\frac {{{q}_{0}}\cdot {{\ell }_{1}^{4}}}{8\cdot E\,{{I}_{1}}}}\\&=0.11{\text{ m}}\end{array}}$

und tragen w(x)/w_ref auf:

Die maximale Auslenkung des Systems ist dann

${\begin{array}{ll}w_{max}&\approx 0.1\cdot 0.11{\text{ m}}\\&\approx 11{\text{ mm}}\end{array}}$,

und das entspricht der Vorgabe aus Aufgabe TC12.

Post-Processing

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