Stäbe waren früher das zentrale Bauteil in Leichtbau-Konstruktionen. In dieser Aufgabe geht es um die Komposition der Gesamt-Steifigkeitsmatrix für ein Stabwerk.
Das Stabwerk besteht aus 5 Stäben gleicher Dehnsteifigkeit EA und wird durch die Kräfte F, 2F belastet.
Die skalaren Gleichgewichtsbeziehungen können wir auch als
schreiben. Die Gesamt-Steifigkeitsmatrix K aus dem Gesamt-Gleichungssystem
komponieren wir gleich aus den jeweiligen Element-Steifigkeitsmatrizen je Stab. "Komponieren", weil wir dabei nichts mehr berechnen müssen, sondern die Elemente der Element-Steifigkeitsmatrix nur passend in die Gesamt-Steifigkeitsmatrix einsortieren müssen.
Es sind
die Koordinaten der Verschiebungen der Knoten in x- und y-Richtung und ihre Variationen (ohne Berücksichtigung der Lager-Bindungen) sowie
die Last-Spaltenmatrix mit den Kräften F, 2F auf das Stabwerk, die aus
kommt.
Beim Komponieren der Gesamt-Steifigkeitsmatrix gehen wir so vor:
Die virtuellen Formänderungs-Energien des Stabwerks setzen sich additiv aus den (hier fünf) virtuellen Formänderungsenergien je Stab zusammen:
Jedes Matrix-Element der Element-Steifigkeitsmatrix für den Stab i gehört nun zu genau einer Kombination aus Verschiebung und virtueller Verschiebung. So taucht in Liste der Summanden für Stab 1 (Knoten I und II)auch der Term
auf.
Einarbeiten der Element-Steifigkeitsmatrix
Diesen müssen wir jetzt zur Gesamt-Steifigkeitsmatrix hinzuaddieren - so wie unten beschreiben.
Die Gesamt-Steifigkeitsmatrix erhalten wir schließlich zu
Diese Zuordnung - oder Komposition - macht man in komplexeren Programmen - wie FEM-Software - mit Inzidenztabellen.
Lösen müssen wir nun das lineare Gleichungssystem aus
Würden wir versuchen, diese Gleichungssystem direkt zu lösen, würden wir allerdings scheitern, denn:
die Determinante von ist Null,
d.h. Zeilen oder Spalten der Matrix sind voneinander linear abhängig.
Compose total Stiffness Matrix
Text
1+1
tmp
Randbedingungen einarbeiten
Was noch fehlt: die Randbedingungen haben wir noch nicht eingearbeitet! Und die erhalten wir durch Streichen der betroffenen Zeilen und Spalten im Gleichungssystem.
Übrig bleibt
Boundary Conditions
Text
1+1
tmp
Diese Gleichungssystem hat eine Lösung:
.
Solving
Text
1+1
tmp
In einer Nachlaufrechnung können wir nun auch noch die Stabkräfte bestimmen:
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![{\displaystyle {\begin{array}{lll}N=[&[0,&0],\\&[2a,&a],\\&[2a,&0],\\&[4a,&0]\;]\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7820b2e38ea3fd7fad25596d74bff01207242635)
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}R=[&[1,2]\\&[1,3]\\&[2,3]\\&[2,4]\\&[3,4]\;]\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4de67bbf91831034aec1fe0fc23d2e3a3d9e937b)
![{\displaystyle \delta \Pi _{i}=[{{\mathit {\delta \,u}}_{k}},{{\mathit {\delta \,v}}_{k}},{{\mathit {\delta \,u}}_{l}},{{\mathit {\delta \,v}}_{l}}]\cdot \underbrace {{{k}_{i}}\cdot {\begin{pmatrix}{{\xi }_{x}^{2}}&{{\xi }_{x}}\cdot {{\xi }_{y}}&-{{\xi }_{x}^{2}}&-{{\xi }_{x}}\cdot {{\xi }_{y}}\\{{\xi }_{x}}\cdot {{\xi }_{y}}&{{\xi }_{y}^{2}}&-{{\xi }_{x}}\cdot {{\xi }_{y}}&-{{\xi }_{y}^{2}}\\-{{\xi }_{x}^{2}}&-{{\xi }_{x}}\cdot {{\xi }_{y}}&{{\xi }_{x}^{2}}&{{\xi }_{x}}\cdot {{\xi }_{y}}\\-{{\xi }_{x}}\cdot {{\xi }_{y}}&-{{\xi }_{y}^{2}}&{{\xi }_{x}}\cdot {{\xi }_{y}}&{{\xi }_{y}^{2}}\end{pmatrix}}} _{\displaystyle =:{\underline {\underline {K}}}_{E}}\cdot {\begin{pmatrix}{{u}_{k}}\\{{v}_{k}}\\{{u}_{l}}\\{{v}_{l}}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f83aa7b4323c6a83b34c9ea73dfb9db95c79718)
