Gelöste Aufgaben/SKEB

Aufgabenstellung

Die Bewegung des Balkens wird durch das Zusammenspiel von elastischen Verformungen und Trägheitskräften bestimmt. Man nennt das "Schwingungen von Kontinua" - diese untersuchen wir hier. Der zentrale Aufgabe besteht in der Berechnung der homogenen Lösung - und der Anpassung der Lösungsanteile an die Anfangsbedingungen.

Gesucht ist analytische Lösung für Schwingungen des Euler-Bernoulli-Balkens beim Loslassen aus der enspannten Ruhelage.

Lösung mit Maxima

tmp

Für die mathematische Behandlung - insbesondere der Auflösung quadratischer Gleichungen - setzen wir in Maxima voraus, dass

$E>0,\;\;\;I>0,\;\;\;\ell _{0}>0,\;\;\;\varrho >0;$ .

Header

Text

1+1

tmp

In der Gleichgewichtsbeziehung für den Euler-Bernoulli-Balken setzen wir als eingeprägte, äußere Streckenlast q(x,t) die D'Alembert'sche Trägheitskraft und die Gewichtskraft an, also

$q(x,t)=\varrho \;A\cdot g-\varrho \;A\cdot {\ddot {w}}(x,t)$

Die Lösung der linearen, partielle Bewegungsgleichung

$\varrho \,A\cdot {\ddot {w}}+E\,I\cdot {w}^{IV}=\varrho \,A\cdot g$

setzt sich dann aus zwei Lösungsanteilen, der partikularen Lösung w_p und der homogenen Lösung w_h, zusammen; wir schreiben

$w_{t}(x,t)=w_{p}(x,t)+w_{h}(x,t)$ .

Equations of Motion

Text

1+1

tmp

Die partikulare Lösung w_p erfüllt die "rechte Seite" der Bewegungsgleichung, also ϱ A⋅g:

$E\,I\cdot {w}_{p}^{IV}=\varrho \,A\cdot g$ .

Die rechte Seite ist zeit-unveränderlich - so auch die partikulare Lösung.

Wir integrieren die Bewegungsgleichung vier Mal und erhalten

$\displaystyle E\,I\,w\left(x,t\right)={\frac {A\,g\,\rho {{x}^{4}}}{24}}+{{C}_{3}}\,{\frac {{x}^{3}}{6}}+{{C}_{2}}\,{\frac {{x}^{2}}{2}}+{{C}_{1}}\,x+{{C}_{0}}$ .

Die vier Integrationskonstanten C_i müssen wir nun an die Randbedingungen

${\begin{array}{rl}w_{p}(0)&=0\\w_{p}'(0)&=0\\E\,I\,w_{p}''(\ell )&=0\\E\,I\,w_{p}'''(\ell )&=0\end{array}}$

anpassen, wir erhalten mit dem linearen Gleichungssystem

${\begin{array}{l}0={{C}_{0}}\\0={{C}_{1}}\\0={\frac {{{\ell }_{0}^{2}}Ag\rho }{2}}+{{\ell }_{0}}\,{{C}_{3}}+{{C}_{2}}\\0={{\ell }_{0}}Ag\rho +{{C}_{3}}\end{array}}$

die partikulare Lösung

$\displaystyle E\,I\,{w}_{p}\left(x\right)=A\,g\,\varrho \,\ell ^{4}\cdot \left({\frac {{\xi }^{4}}{24}}-{\frac {{\xi }^{3}}{6}}+{\frac {{\xi }^{2}}{4}}\right)$ .