Gelöste Aufgaben/Kw98

Aufgabenstellung

Ein Stab ABC ist durch eine lineare veränderliche Streckenlast q mit den Eckwerten q_A in A und q_B in B sowie dem Moment M_B in B belastet. Der Stab (E-Modul: E) besteht aus zwei Sektionen mit den Längen l₁ bzw. l₂ sowie den Flächenmomenten I₁ bzw. I₂. Der Stab ist in A durch ein gelenkiges Festlager, in C durch eine Schiebehülse gelagert, in B sind die beiden Sektionen fest miteinander verbunden. Die Feder in A ist eine Drehfester mit Steifigkeit K_A, die Federn in B und C sind Translationsfedern mit den Steifigkeiten k_B, k_C.

Lageplan

Gesucht ist die analytische Lösung für den Euler-Bernoulli-Balken.

Systemparameter

Ermitteln Sie für ein Euler-Bernoulli-Modell die analytischen Verläufe der Schnittgrößen und Verschiebungen im Balken für diese Parameter:

Lösung mit Maxima

Die Aufgabe ist ein klassisches Randwertproblem:

1. zwei Gebiete, in denen ein Euler-Bernoulli-Balken in AB und BC durch eine Streckenlast q belastet ist (in Bereich II ist die Streckenlast allerdings Null) und somit durch die Differentialbeziehung

   $E{I}_i{w}_i^{IV}(x_i)=q(x_i),i=\{1,2\}$

   berschrieben wird.
2. Rand- und Übergangsbedingungen in den Punkten A, B, C

Wir verwenden x_i und ξ_i als Koordinaten je Bereich, in der Übersicht sieht das Randwertproblem so aus:

Rand A	Bereich I	Übergang B	Bereich II	Rand C

Header

Diese Aufgabe mit der Methode der Finiten Elemente in KW96 gelöst.

/*******************************************************/
/* MAXIMA script                                       */
/* version: wxMaxima 15.08.2                           */
/* author: Andreas Baumgart                            */
/* last updated: 2017-09-06                            */
/* ref: TM-C, Labor 1                                  */
/* description                                         */
/*                                                     */
/*******************************************************/

Declarations

Wir definieren die Parameter

$\begin{array}{l}{q}_A=\frac{3\cdot kN}{m},\\ l_1=\frac{7\cdot m}{10},\\ E{I}_1=33600N{m}^2,\\ l_2=\frac{21m}{40},\\ E{I}_2=16800N{m}^2,\\ K_A=96kNm,\\ k_C=\frac{22kN}{m},\\ k_B=\frac{98kN}{m},\\ q_B=\frac{12N}{mm},\\ M_B=1470Nm\end{array}$.

und die Formfunktionen für die Streckenlast

$\begin{array}{l}{\varphi }_0\left(\xi \right):=1-\xi \\ {\varphi }_1\left(\xi \right):=\xi \end{array}$.

/* system parameter */
units  : [mm = m/1000, cm = m/100];
params : [q[A]=3*N/mm, l[1]=700*mm, EI[1] = 2.1*10^11*N/m^2 * 3*cm*(4*cm)^3/12];
simple : [l[2] = 3/4*l[1], EI[2] = EI[1]/2,
          K[A]=2*EI[1]/l[1], k[C] = 512/229*EI[1]/l[1]^3, k[B] = EI[1]/l[1]^3, 
          q[B] = 4*q[A], M[B] = q[A]*l[1]^2];

params : append(params,makelist(lhs(simple[i])=subst(params,rhs(simple[i])),i,1,length(simple)));
params : subst(units,params);

/* form - functions  */
phi[0](xi) := 1 - xi;
phi[1](xi) :=     xi;

Formfunctions

In Bereich I und II gilt dieselbe Bewegungs-Differentialgleichung

$E{I}_i{w}_i^{IV}(x_i)=q(x_i),i=\{1,2\}\text{ mit }q(x_i)=q_0\cdot {\varphi }_0(\xi )+q_1\cdot {\varphi }_1(\xi )$,

die wir durch Integration lösen und dann bereichsweise anpassen.

So gilt für Bereich II: q₀ = 0 und q₁ = 0.

Die allgemeine Lösung ist mit

${\varphi }_i(x)=\frac{dw(x)}{dx}$

... für Bereich I:

$\begin{array}{l}{w}_1\left(x\right):=\frac{120\cdot l_1\cdot C_{1,0}+120\cdot l_1\cdot C_{1,1}\cdot x+60\cdot l_1\cdot C_{1,2}\cdot x^2+20\cdot l_1\cdot C_{1,3}\cdot x^3+5\cdot l_1\cdot x^4\cdot q_A+x^5\cdot (q_B-q_A)}{120\cdot l_1\cdot {{E}{I}}_1}\\ {\varphi }_1\left(x\right):=\frac{120\cdot l_1\cdot C_{1,1}+120\cdot l_1\cdot C_{1,2}\cdot x+60\cdot l_1\cdot C_{1,3}\cdot x^2+20\cdot l_1\cdot x^3\cdot q_A+5\cdot x^4\cdot (q_B-q_A)}{120\cdot l_1\cdot {{E}{I}}_1}\\ M_1\left(x\right):=-\frac{120\cdot l_1\cdot C_{1,2}+120\cdot l_1\cdot C_{1,3}\cdot x+60\cdot l_1\cdot x^2\cdot q_A+20\cdot x^3\cdot (q_B-q_A)}{120\cdot l_1}\\ Q_1\left(x\right):=-\frac{120\cdot l_1\cdot C_{1,3}+120\cdot l_1\cdot x\cdot q_A+60\cdot x^2\cdot (q_B-q_A)}{120\cdot l_1}\end{array}$

... für Bereich II:

$\begin{array}{l}{w}_2\left(x\right):=\frac{120\cdot l_2\cdot C_{2,0}+120\cdot l_2\cdot C_{2,1}\cdot x+60\cdot l_2\cdot C_{2,2}\cdot x^2+20\cdot l_2\cdot C_{2,3}\cdot x^3}{120\cdot l_2\cdot {{E}{I}}_2}\\ {\varphi }_2\left(x\right):=\frac{120\cdot l_2\cdot C_{2,1}+120\cdot l_2\cdot C_{2,2}\cdot x+60\cdot l_2\cdot C_{2,3}\cdot x^2}{120\cdot l_2\cdot {{E}{I}}_2}\\ M_2\left(x\right):=-\frac{120\cdot l_2\cdot C_{2,2}+120\cdot l_2\cdot C_{2,3}\cdot x}{120\cdot l_2}\\ Q_2\left(x\right):=-C_{2,3}\end{array}$.

/* solve ....*/
dgl : EI[i]*diff(w(x),x,4) = q[0]*phi[0](x/l[i]) + q[1]*phi[1](x/l[i]);
/* generic solution */
displ : solve(integrate(integrate(integrate(integrate(dgl,x),x),x),x),w(x));
sections: [[i=1, %c4=C[1,0], %c3=C[1,1], %c2=C[1,2], %c1=C[1,3], q[0]=q[A], q[1]=q[B]],
           [i=2, %c4=C[2,0], %c3=C[2,1], %c2=C[2,2], %c1=C[2,3], q[0]= 0  , q[1]= 0  ]];

/* section I */
define(  w[1](x),  subst(sections[1],subst(displ,w(x))));
define(Phi[1](x),  diff(w[1](x),x  ));
define(  M[1](x), -EI[1]*diff(w[1](x),x,2));
define(  Q[1](x), -EI[1]*diff(w[1](x),x,3));

/* section II */
define(  w[2](x),  subst(sections[2],subst(displ,w(x))));
define(Phi[2](x),  diff(w[2](x),x  ));
define(  M[2](x), -EI[2]*diff(w[2](x),x,2));
define(  Q[2](x), -EI[2]*diff(w[2](x),x,3));

Boundary Conditions

Für die 2*4 = 8 Integrationskonstanten

$[C_{1,0},C_{1,1},C_{1,2},C_{1,3},C_{2,0},C_{2,1},C_{2,2},C_{2,3}]$

suchen wir jetzt die passenden Gleichungen aus Rand- und Übergangsbedingungen.

Zur besseren Übersicht nennen wir die Schnitt-Momente und -Kräfte nach den jeweiligen Knotenpunkten A, B, C und fügen als Index ein + / - hinzu, um die Seite (+: rechts vom Knoten, -: links vom Knoten) zu kennzeichnen.

Aus Rand "A"

Geometrische Randbedingungen $w_1(0)=0$ Kraft- und Momenten-Randbedingungen $K_A\cdot {\varphi }_A+M_{A,+}=0\text{ mit }{M}_{A,+}=-E{I}_1\cdot w^{″}(x){|}_{x=0}$

Aus Übergang "B"

Geometrische Randbedingungen $w_1({\ell }_1)=w_2({\ell }_1)$ ${\varphi }_1({\ell }_1)={\varphi }_2({\ell }_1)$ Kraft- und Momenten-Randbedingungen $-M_{B,-}-M_B+M_{B,+}=0$ $-Q_{B,-}-k_B\cdot w_B+-Q_{B,+}=0$

Aus Rand "C"

Geometrische Randbedingungen ${\varphi }_2({\ell }_2)=0$ Kraft- und Momenten-Randbedingungen $-Q_{C,-}-k_C\cdot w_C=0$

Und das liefert das Gleichungssystem aus 8 Gleichungen

$\left(\begin{array}{c}\frac{C_{1,0}}{{{E}{I}}_1}=0\\ \frac{C_{1,1}\cdot K_A}{{{E}{I}}_1}-C_{1,2}=0\\ \frac{{\ell }_1^4\cdot q_B}{120\cdot {{E}{I}}_1}+\frac{{\ell }_1^4\cdot q_A}{30\cdot {{E}{I}}_1}+\frac{{\ell }_1^3\cdot C_{1,3}}{6\cdot {{E}{I}}_1}+\frac{{\ell }_1^2\cdot C_{1,2}}{2\cdot {{E}{I}}_1}+\frac{{\ell }_1\cdot C_{1,1}}{{{E}{I}}_1}+\frac{C_{1,0}}{{{E}{I}}_1}=\frac{C_{2,0}}{{{E}{I}}_2}\\ \frac{{\ell }_1^3\cdot q_B}{24\cdot {{E}{I}}_1}+\frac{{\ell }_1^3\cdot q_A}{8\cdot {{E}{I}}_1}+\frac{{\ell }_1^2\cdot C_{1,3}}{2\cdot {{E}{I}}_1}+\frac{{\ell }_1\cdot C_{1,2}}{{{E}{I}}_1}+\frac{C_{1,1}}{{{E}{I}}_1}=\frac{C_{2,1}}{{{E}{I}}_2}\\ \frac{{\ell }_1\cdot q_B}{2}-\frac{C_{2,0}\cdot k_B}{{{E}{I}}_2}+\frac{{\ell }_1\cdot q_A}{2}-C_{2,3}+C_{1,3}=0\\ -M_B+\frac{{\ell }_1^2\cdot q_B}{6}+\frac{{\ell }_1^2\cdot q_A}{3}-C_{2,2}+{\ell }_1\cdot C_{1,3}+C_{1,2}=0\\ \frac{{\ell }_2^2\cdot C_{2,3}}{2\cdot {{E}{I}}_2}+\frac{{\ell }_2\cdot C_{2,2}}{{{E}{I}}_2}+\frac{C_{2,1}}{{{E}{I}}_2}=0\\ -\frac{{\ell }_2^3\cdot C_{2,3}\cdot k_C}{6\cdot {{E}{I}}_2}-\frac{{\ell }_2^2\cdot C_{2,2}\cdot k_C}{2\cdot {{E}{I}}_2}-\frac{{\ell }_2\cdot C_{2,1}\cdot k_C}{{{E}{I}}_2}-\frac{C_{2,0}\cdot k_C}{{{E}{I}}_2}+C_{2,3}=0\end{array}\right)$

für die Integrationskonstanten.

1+1

Prepare for Solver

Das Gleichungssystem wollen wir als

$\underset{\_}{\underset{\_}{A}}\cdot \underset{\_}{x}=\underset{\_}{b}$

schreiben, also

$\left(\begin{array}{cccccccc}\frac{1}{{{E}{I}}_1}& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& \frac{K_A}{{{E}{I}}_1}& -1& 0& 0& 0& 0& 0\\ \frac{1}{{{E}{I}}_1}& \frac{{\ell }_1}{{{E}{I}}_1}& \frac{{\ell }_1^2}{2\cdot {{E}{I}}_1}& \frac{{\ell }_1^3}{6\cdot {{E}{I}}_1}& -\frac{1}{{{E}{I}}_2}& 0& 0& 0\\ 0& \frac{1}{{{E}{I}}_1}& \frac{{\ell }_1}{{{E}{I}}_1}& \frac{{\ell }_1^2}{2\cdot {{E}{I}}_1}& 0& -\frac{1}{{{E}{I}}_2}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& -\frac{k_B}{{{E}{I}}_2}& 0& 0& -1\\ 0& 0& 1& {\ell }_1& 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& \frac{1}{{{E}{I}}_2}& \frac{{\ell }_2}{{{E}{I}}_2}& \frac{{\ell }_2^2}{2\cdot {{E}{I}}_2}\\ 0& 0& 0& 0& -\frac{k_C}{{{E}{I}}_2}& -\frac{{\ell }_2\cdot k_C}{{{E}{I}}_2}& -\frac{{\ell }_2^2\cdot k_C}{2\cdot {{E}{I}}_2}& -\frac{{\ell }_2^3\cdot k_C-6\cdot {{E}{I}}_2}{6\cdot {{E}{I}}_2}\end{array}\right)\cdot \underset{\_}{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -\frac{{\ell }_1^4\cdot q_B}{120\cdot {{E}{I}}_1}-\frac{{\ell }_1^4\cdot q_A}{30\cdot {{E}{I}}_1}\\ -\frac{{\ell }_1^3\cdot q_B}{24\cdot {{E}{I}}_1}-\frac{{\ell }_1^3\cdot q_A}{8\cdot {{E}{I}}_1}\\ -\frac{{\ell }_1\cdot q_B}{2}-\frac{{\ell }_1\cdot q_A}{2}\\ M_B-\frac{{\ell }_1^2\cdot q_B}{6}-\frac{{\ell }_1^2\cdot q_A}{3}\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

Die Matrix-Elemente sind für die Koeffizientenmatrix

$\begin{array}{l}{a}_{1,1}=1/E{I}_1\\ a_{2,2}=K_A/E{I}_1\\ a_{2,3}=-1\\ a_{3,1}=1/E{I}_1\\ a_{3,2}={\ell }_1/E{I}_1\\ a_{3,3}={\ell }_1^2/(2\cdot E{I}_1)\\ a_{3,4}={\ell }_1^3/(6\cdot E{I}_1)\\ a_{3,5}=-1/E{I}_2\\ a_{4,2}=1/E{I}_1\\ a_{4,3}={\ell }_1/E{I}_1\\ a_{4,4}={\ell }_1^2/(2\cdot E{I}_1)\\ a_{4,6}=-1/E{I}_2\\ a_{5,4}=1\\ a_{5,5}=-k_B/E{I}_2\\ a_{5,8}=-1\\ a_{6,3}=1\\ a_{6,4}={\ell }_1\\ a_{6,7}=-1\\ a_{7,6}=1/E{I}_2\\ a_{7,7}={\ell }_2/E{I}_2\\ a_{7,8}={\ell }_2^2/(2\cdot E{I}_2)\\ a_{8,5}=-k_C/E{I}_2\\ a_{8,6}=-({\ell }_2\cdot k_C)/E{I}_2\\ a_{8,7}=-({\ell }_2^2\cdot k_C)/(2\cdot E{I}_2)\\ a_{8,8}=-({\ell }_2^3\cdot k_C-6\cdot E{I}_2)/(6\cdot E{I}_2)\\ \end{array}$

und für die rechte Seite

$\begin{array}{l}{b}_1=0\\ b_2=0\\ b_3=(-({\ell }_1^4\cdot q_B)/(120\cdot E{I}_1))-({\ell }_1^4\cdot q_A)/(30\cdot E{I}_1)\\ b_4=(-({\ell }_1^3\cdot q_B)/(24\cdot E{I}_1))-({\ell }_1^3\cdot q_A)/(8\cdot E{I}_1)\\ b_5=(-({\ell }_1\cdot q_B)/2)-({\ell }_1\cdot q_A)/2\\ b_6=M_B-({\ell }_1^2\cdot q_B)/6-({\ell }_1^2\cdot q_A)/3\\ b_7=0\\ b_8=0\end{array}$.

/* augmented coeff matrix */
ACM: augcoefmatrix(BCs,ICs);
AA :   submatrix(ACM,9);
bb : - col(ACM,9);

for i: 1 thru 8 do
   print(simplode(["b[",i,"] = ", string(bb[i][1])]))$
for i: 1 thru 8 do
   for j: 1 thru 8 do
      if not AA[i][j] = 0 then
          print(simplode(["A[",i,",",j,"] = ", string(AA[i][j])]))$

Solving

Das Lösen des Gleichungssystems liefert

$\begin{array}{l}{C}_{1,0}=0,\\ C_{1,1}=246.1N{m}^2,\\ C_{1,2}=703.2Nm,\\ C_{1,3}=-2404.3N,\\ C_{2,0}=127.6N{m}^3,\\ C_{2,1}=224.7N{m}^2,\\ C_{2,2}=-979.8Nm,\\ C_{2,3}=2101.8N\end{array}$.

1+1

Post-Processing

Und die Ergebnisse können wir uns anschauen ...

... für w(x):

Biegelinie w(x)

... für Φ(x):

Kippung w'(x)

... für M(x):

Biegemoment M(x)

... für Q(x):

Querkraft Q(x)

... für die Lager-Reaktionskräfte:

$\begin{array}{l}{A}_z=2404.3N,\\ M_A=703.2Nm,\\ B_z=743.9N,\\ C_z=2101.8N,\\ M_C=-123.7Nm\end{array}$

/* bearing forces and moments */
reactForces: [A[z]=Q[1](0),
              M[A] = K[A]*Phi[1](0),
              B[z] = k[B]*w[2](0),
              C[z] = k[C]*w[2](l[2]),
              M[C] = M[2](l[2])];

expand(subst(params,subst(sol, reactForces)));

/* plot displacements */

fcts: [[ w [1](x), w [2](x-l[1])],
       [Phi[1](x),Phi[2](x-l[1])],
       [ M [1](x), M [2](x-l[1])],
       [ Q [1](x), Q [2](x-l[1])]];
facts: [EI[1]/(l[1]^4*q[A]),EI[1]/(l[1]^3*q[A]),1/(l[1]^2*q[A]),1/(l[1]^1*q[A])];
subst(M[B]/l[1]^2,q[A],facts);
textlabels : ["w(x)/(M[B]*l^2/EI[1])→", "w'(x)/(M[B]*l/EI[1])→", "M(x)/M[B]→", "Q(x)/(M[B]/l[1]→"];
for i: 1 thru 4 do(
  f : expand(subst(simple,subst(xi*l[1],x,facts[i]*[subst(sol, fcts[i][1]),
                                                    subst(sol, fcts[i][2])]))),
  f1 : f[1],  f2 : f[2],
  toplot : [if xi<=1 then f1 else 0,
            if xi < 1 then 0 else f2],
  plot2d(toplot,[xi,0,1+subst(simple,l[2]/l[1])], [legend, "sec. I", "sec. II"],
                             [gnuplot_preamble, "set yrange [] reverse"] ,
                             [xlabel, "x/l[1] ->"],
                             [ylabel, textlabels[i]]))$

---

Links

• ...

Literature

• ...