Gelöste Aufgaben/Kw98

Aufgabenstellung

Ein Stab ABC ist durch eine lineare veränderliche Streckenlast q mit den Eckwerten q_A in A und q_B in B sowie dem Moment M_B in B belastet. Der Stab (E-Modul: E) besteht aus zwei Sektionen mit den Längen l₁ bzw. l₂ sowie den Flächenmomenten I₁ bzw. I₂. Der Stab ist in A durch ein gelenkiges Festlager, in C durch eine Schiebehülse gelagert, in B sind die beiden Sektionen fest miteinander verbunden. Die Feder in A ist eine Drehfester mit Steifigkeit K_A, die Federn in B und C sind Translationsfedern mit den Steifigkeiten k_B, k_C.

Lageplan

Gesucht ist die analytische Lösung für den Euler-Bernoulli-Balken.

Systemparameter

Ermitteln Sie für ein Euler-Bernoulli-Modell die analytischen Verläufe der Schnittgrößen und Verschiebungen im Balken für diese Parameter:

Lösung mit Maxima

Die Aufgabe ist ein klassisches Randwertproblem:

1. zwei Gebiete, in denen ein Euler-Bernoulli-Balken in AB und BC durch eine Streckenlast q belastet ist (in Bereich II ist die Streckenlast allerdings Null) und somit durch die Differentialbeziehung

   $E{I}_i{w}_i^{IV}(x_i)=q(x_i),i=\{1,2\}$

   berschrieben wird.
2. Rand- und Übergangsbedingungen in den Punkten A, B, C

Wir verwenden x_i und ξ_i als Koordinaten je Bereich, in der Übersicht sieht das Randwertproblem so aus:

Rand A	Bereich I	Übergang B	Bereich II	Rand C

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Diese Aufgabe mit der Methode der Finiten Elemente in KW96 gelöst.

Header

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Declarations

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In Bereich I und II gilt dieselbe Bewegungs-Differentialgleichung

$E{I}_i{w}_i^{IV}(x_i)=q(x_i),i=\{1,2\}\text{ mit }q(x_i)=q_0\cdot {\varphi }_0(\xi )+q_1\cdot {\varphi }_1(\xi )$,

die wir durch Integration lösen und dann bereichsweise anpassen.

So gilt für Bereich II: q₀ = 0 und q₁ = 0.

Die allgemeine Lösung ist mit

${\varphi }_i(x)=\frac{dw(x)}{dx}$

... für Bereich I:

$\begin{array}{l}{w}_1\left(x\right):=\frac{120\cdot l_1\cdot C_{1,0}+120\cdot l_1\cdot C_{1,1}\cdot x+60\cdot l_1\cdot C_{1,2}\cdot x^2+20\cdot l_1\cdot C_{1,3}\cdot x^3+5\cdot l_1\cdot x^4\cdot q_A+x^5\cdot (q_B-q_A)}{120\cdot l_1\cdot {{E}{I}}_1}\\ {\varphi }_1\left(x\right):=\frac{120\cdot l_1\cdot C_{1,1}+120\cdot l_1\cdot C_{1,2}\cdot x+60\cdot l_1\cdot C_{1,3}\cdot x^2+20\cdot l_1\cdot x^3\cdot q_A+5\cdot x^4\cdot (q_B-q_A)}{120\cdot l_1\cdot {{E}{I}}_1}\\ M_1\left(x\right):=-\frac{120\cdot l_1\cdot C_{1,2}+120\cdot l_1\cdot C_{1,3}\cdot x+60\cdot l_1\cdot x^2\cdot q_A+20\cdot x^3\cdot (q_B-q_A)}{120\cdot l_1}\\ Q_1\left(x\right):=-\frac{120\cdot l_1\cdot C_{1,3}+120\cdot l_1\cdot x\cdot q_A+60\cdot x^2\cdot (q_B-q_A)}{120\cdot l_1}\end{array}$

... für Bereich II:

$\begin{array}{l}{w}_2\left(x\right):=\frac{120\cdot l_2\cdot C_{2,0}+120\cdot l_2\cdot C_{2,1}\cdot x+60\cdot l_2\cdot C_{2,2}\cdot x^2+20\cdot l_2\cdot C_{2,3}\cdot x^3}{120\cdot l_2\cdot {{E}{I}}_2}\\ {\varphi }_2\left(x\right):=\frac{120\cdot l_2\cdot C_{2,1}+120\cdot l_2\cdot C_{2,2}\cdot x+60\cdot l_2\cdot C_{2,3}\cdot x^2}{120\cdot l_2\cdot {{E}{I}}_2}\\ M_2\left(x\right):=-\frac{120\cdot l_2\cdot C_{2,2}+120\cdot l_2\cdot C_{2,3}\cdot x}{120\cdot l_2}\\ Q_2\left(x\right):=-C_{2,3}\end{array}$

Formfunctions

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Für die 2*4 = 8 Integrationskonstanten

$[C_{1,0},C_{1,1},C_{1,2},C_{1,3},C_{2,0},C_{2,1},C_{2,2},C_{2,3}]$

suchen wir jetzt die passenden Gleichungen aus Rand- und Übergangsbedingungen.

Zur besseren Übersicht nennen wir die Schnitt-Momente und -Kräfte nach den jeweiligen Knotenpunkten A, B, C und fügen als Index ein + / - hinzu, um die Seite (+: rechts vom Knoten, -: links vom Knoten) zu kennzeichnen.

Aus Rand "A"

Geometrische Randbedingungen $w_1(0)=0$ Kraft- und Momenten-Randbedingungen $K_A\cdot {\varphi }_A+M_{A,+}=0\text{ mit }{M}_{A,+}=-E{I}_1\cdot w^{″}(x){|}_{x=0}$

Aus Übergang "B"

Geometrische Randbedingungen $w_1({\ell }_1)=w_2({\ell }_1)$ ${\varphi }_1({\ell }_1)={\varphi }_2({\ell }_1)$ Kraft- und Momenten-Randbedingungen $-M_{B,-}-M_B+M_{B,+}=0$ $-Q_{B,-}-k_B\cdot w_B+-Q_{B,+}=0$

Aus Rand "C"

Geometrische Randbedingungen ${\varphi }_2({\ell }_2)=0$ Kraft- und Momenten-Randbedingungen $-Q_{C,-}-k_C\cdot w_C=0$

Und das liefert das Gleichungssystem aus 8 Gleichungen

$\left(\begin{array}{c}\frac{C_{1,0}}{{{E}{I}}_1}=0\\ \frac{C_{1,1}\cdot K_A}{{{E}{I}}_1}-C_{1,2}=0\\ \frac{{\ell }_1^4\cdot q_B}{120\cdot {{E}{I}}_1}+\frac{{\ell }_1^4\cdot q_A}{30\cdot {{E}{I}}_1}+\frac{{\ell }_1^3\cdot C_{1,3}}{6\cdot {{E}{I}}_1}+\frac{{\ell }_1^2\cdot C_{1,2}}{2\cdot {{E}{I}}_1}+\frac{{\ell }_1\cdot C_{1,1}}{{{E}{I}}_1}+\frac{C_{1,0}}{{{E}{I}}_1}=\frac{C_{2,0}}{{{E}{I}}_2}\\ \frac{{\ell }_1^3\cdot q_B}{24\cdot {{E}{I}}_1}+\frac{{\ell }_1^3\cdot q_A}{8\cdot {{E}{I}}_1}+\frac{{\ell }_1^2\cdot C_{1,3}}{2\cdot {{E}{I}}_1}+\frac{{\ell }_1\cdot C_{1,2}}{{{E}{I}}_1}+\frac{C_{1,1}}{{{E}{I}}_1}=\frac{C_{2,1}}{{{E}{I}}_2}\\ \frac{{\ell }_1\cdot q_B}{2}-\frac{C_{2,0}\cdot k_B}{{{E}{I}}_2}+\frac{{\ell }_1\cdot q_A}{2}-C_{2,3}+C_{1,3}=0\\ -M_B+\frac{{\ell }_1^2\cdot q_B}{6}+\frac{{\ell }_1^2\cdot q_A}{3}-C_{2,2}+{\ell }_1\cdot C_{1,3}+C_{1,2}=0\\ \frac{{\ell }_2^2\cdot C_{2,3}}{2\cdot {{E}{I}}_2}+\frac{{\ell }_2\cdot C_{2,2}}{{{E}{I}}_2}+\frac{C_{2,1}}{{{E}{I}}_2}=0\\ -\frac{{\ell }_2^3\cdot C_{2,3}\cdot k_C}{6\cdot {{E}{I}}_2}-\frac{{\ell }_2^2\cdot C_{2,2}\cdot k_C}{2\cdot {{E}{I}}_2}-\frac{{\ell }_2\cdot C_{2,1}\cdot k_C}{{{E}{I}}_2}-\frac{C_{2,0}\cdot k_C}{{{E}{I}}_2}+C_{2,3}=0\end{array}\right)$

für die Integrationskonstanten.

Boundary Conditions

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Das Gleichungssystem wollen wir als

$\underset{\_}{\underset{\_}{A}}\cdot \underset{\_}{x}=\underset{\_}{b}$

schreiben, also

$\left(\begin{array}{cccccccc}\frac{1}{{{E}{I}}_1}& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& \frac{K_A}{{{E}{I}}_1}& -1& 0& 0& 0& 0& 0\\ \frac{1}{{{E}{I}}_1}& \frac{{\ell }_1}{{{E}{I}}_1}& \frac{{\ell }_1^2}{2\cdot {{E}{I}}_1}& \frac{{\ell }_1^3}{6\cdot {{E}{I}}_1}& -\frac{1}{{{E}{I}}_2}& 0& 0& 0\\ 0& \frac{1}{{{E}{I}}_1}& \frac{{\ell }_1}{{{E}{I}}_1}& \frac{{\ell }_1^2}{2\cdot {{E}{I}}_1}& 0& -\frac{1}{{{E}{I}}_2}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& -\frac{k_B}{{{E}{I}}_2}& 0& 0& -1\\ 0& 0& 1& {\ell }_1& 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& \frac{1}{{{E}{I}}_2}& \frac{{\ell }_2}{{{E}{I}}_2}& \frac{{\ell }_2^2}{2\cdot {{E}{I}}_2}\\ 0& 0& 0& 0& -\frac{k_C}{{{E}{I}}_2}& -\frac{{\ell }_2\cdot k_C}{{{E}{I}}_2}& -\frac{{\ell }_2^2\cdot k_C}{2\cdot {{E}{I}}_2}& -\frac{{\ell }_2^3\cdot k_C-6\cdot {{E}{I}}_2}{6\cdot {{E}{I}}_2}\end{array}\right)\cdot \underset{\_}{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -\frac{{\ell }_1^4\cdot q_B}{120\cdot {{E}{I}}_1}-\frac{{\ell }_1^4\cdot q_A}{30\cdot {{E}{I}}_1}\\ -\frac{{\ell }_1^3\cdot q_B}{24\cdot {{E}{I}}_1}-\frac{{\ell }_1^3\cdot q_A}{8\cdot {{E}{I}}_1}\\ -\frac{{\ell }_1\cdot q_B}{2}-\frac{{\ell }_1\cdot q_A}{2}\\ M_B-\frac{{\ell }_1^2\cdot q_B}{6}-\frac{{\ell }_1^2\cdot q_A}{3}\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

Die Matrix-Elemente sind für die Koeffizientenmatrix

$\begin{array}{l}{a}_{1,1}=1/E{I}_1\\ a_{2,2}=K_A/E{I}_1\\ a_{2,3}=-1\\ a_{3,1}=1/E{I}_1\\ a_{3,2}={\ell }_1/E{I}_1\\ a_{3,3}={\ell }_1^2/(2\cdot E{I}_1)\\ a_{3,4}={\ell }_1^3/(6\cdot E{I}_1)\\ a_{3,5}=-1/E{I}_2\\ a_{4,2}=1/E{I}_1\\ a_{4,3}={\ell }_1/E{I}_1\\ a_{4,4}={\ell }_1^2/(2\cdot E{I}_1)\\ a_{4,6}=-1/E{I}_2\\ a_{5,4}=1\\ a_{5,5}=-k_B/E{I}_2\\ a_{5,8}=-1\\ a_{6,3}=1\\ a_{6,4}={\ell }_1\\ a_{6,7}=-1\\ a_{7,6}=1/E{I}_2\\ a_{7,7}={\ell }_2/E{I}_2\\ a_{7,8}={\ell }_2^2/(2\cdot E{I}_2)\\ a_{8,5}=-k_C/E{I}_2\\ a_{8,6}=-({\ell }_2\cdot k_C)/E{I}_2\\ a_{8,7}=-({\ell }_2^2\cdot k_C)/(2\cdot E{I}_2)\\ a_{8,8}=-({\ell }_2^3\cdot k_C-6\cdot E{I}_2)/(6\cdot E{I}_2)\\ \end{array}$

und für die rechte Seite

$\begin{array}{l}{b}_1=0\\ b_2=0\\ b_3=(-({\ell }_1^4\cdot q_B)/(120\cdot E{I}_1))-({\ell }_1^4\cdot q_A)/(30\cdot E{I}_1)\\ b_4=(-({\ell }_1^3\cdot q_B)/(24\cdot E{I}_1))-({\ell }_1^3\cdot q_A)/(8\cdot E{I}_1)\\ b_5=(-({\ell }_1\cdot q_B)/2)-({\ell }_1\cdot q_A)/2\\ b_6=M_B-({\ell }_1^2\cdot q_B)/6-({\ell }_1^2\cdot q_A)/3\\ b_7=0\\ b_8=0\end{array}$

Prepare for Solver

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Das Lösen des Gleichungssystems liefert

$\begin{array}{l}{C}_{1,0}=0,\\ C_{1,1}=246.1N{m}^2,\\ C_{1,2}=703.2Nm,\\ C_{1,3}=-2404.3N,\\ C_{2,0}=127.6N{m}^3,\\ C_{2,1}=224.7N{m}^2,\\ C_{2,2}=-979.8Nm,\\ C_{2,3}=2101.8N\end{array}$

Solving

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Und die Ergebnisse können wir uns anschauen ...

... für w(x):

Biegelinie w(x)

... für Φ(x):

Kippung w'(x)

... für M(x):

Biegemoment M(x)

... für Q(x):

Querkraft Q(x)

Post-Processing

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Links

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