Gelöste Aufgaben/Kw96

Aus numpedia
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Aufgabenstellung

Ein Stab ABC ist durch eine lineare veränderliche Streckenlast q mit den Eckwerten qA in A und qB in B sowie dem Moment MB in B belastet. Der Stab (E-Modul: E) besteht aus zwei Sektionen mit den Längen l1 bzw. l2 sowie den Flächenmomenten I1 bzw. I2. Der Stab ist in A durch ein gelenkiges Festlager, in C durch eine Schiebehülse gelagert, in B sind die beiden Sektionen fest miteinander verbunden. Die Feder in A ist eine Drehfester mit Steifigkeit KA, die Federn in B und C sind Translationsfedern mit den Steifigkeiten kB, kC.


Lageplan

Gesucht ist die FEM Lösung für den Euler-Bernoulli-Balken unter Verwendung von zwei Finiten Elementen.


Systemparameter

Ermitteln Sie für ein Euler-Bernoulli-Modell die analytischen Verläufe der Schnittgrößen und Verschiebungen im Balken für die angegebenen Parameter:

Lösung mit Maxima

tmp

Wir arbeiten mit den Standard-System-Matrizen nach Abschnitt "FEM-Formulierung für den Euler-Bernoulli-Balken".

Header

Text


1+1




tmp

System-Parameter sind:

qA=3000Nm,1=7m10,EI1=33600Nm2,2=2140m,EI2=16800Nm2,KA=96000Nm,kC=256229kB,kB=256229Nm,qB=12000Nm,MB=1470Nm

Declarations

Text


1+1




tmp

Die Ansatzfunktion für die Trial-Functions ist ein Polynom 3. Grades:

w(ξ):=c3ξ3+c2ξ2+c1ξ+c0

An den Rändern müssen die Auslenkung und Kippung mit den Knoten-Variablen übereinstimmen:

c0=Wi1,c1li=Φi1,c3+c2+c1+c0=Wi,c1+2c2+3c3li=Φi
Trial-Functions
Trial-Functions

Damit ist die Ansatzfunktion des Finiten Elements mit den vier Knotenvariablen

w(ξ)=iΦi(ξ1)ξ2+Wi1(ξ1)2(1+2ξ)Wiξ2(2ξ3)+Φi1i(ξ1)2ξ


Formfunctions

Text


1+1




tmp

So sind die Element-Steifigkeitsmatrix

K__i=EIii3(126i126i6i4i26i2i2126i126i6i2i26i4i2)

die Koordinaten des FE-Modells - hier für das Element "1":

Q_=(Φ0W1Φ1W2).

Wir komponieren daraus die System-Steifigkeitsmatrix - durch Aufaddieren der Beiträge der beiden Elemente und Einarbeiten der Randbedingugnen - zu

K__0=(KA+4EI116EI1122EI1106EI112kB+12EI223+12EI1136EI2226EI11212EI2232EI116EI2226EI1124EI22+4EI116EI222012EI2236EI222kC+12EI223)

Wie das geht, steht in Abschnitt Finite Elemente Methode.


Equilibrium Conditions

Text


1+1




tmp

Die Knotenvariablen sind damit

W0=0Φ0=0.00624W1=0.00657mΦ1=0.0123W2=0.00846mΦ2=0


Solving

Text


1+1




tmp

Biegelinie w(x)

Die Biegelinie des Balkens sieht damit so aus:

Post-Processing

Text


1+1







Links

  • ...

Literature

  • ...