Gelöste Aufgaben/Kw51

Aufgabenstellung

Eine Brücke ABC der Masse m_B und homogener Biegesteifigkeit EI ist in C gelenkig gelagert und in A sowie B mit einem Seil verbunden. Das undehnbare Seil wird dabei über eine kleine Rolle (Radius r ≪ ℓ) in D haftungsfrei geführt. In Punkt C ist die Brücke über eine Drehfeder der Steifigkeit K_C mit dem Lager verbunden. In A steht eine Person der Masse m_A.

Lageplan (wie Kw50)

Geben Sie die Lösung für ein Euler-Bernoulli-Modell der Brücke mit dem Verfahren von Rayleigh-Ritz (EBB) an - hier mit Lagrange-Multiplikator für die geometrische Zwangsbedingung.

Dies ist eine Näherungslösung zu Kw50.

Ermitteln Sie die genäherten Verläufe der Schnittgrößen und Verschiebungen im Balken für diese Parameter:

$\begin{array}{ll}{K}_C=& 5\frac{EI}{{\ell }_0}\\ m_A=& \frac{m_B}{5}\end{array}$

Lösung mit Maxima

In dieser Aufgabe berechnen wir eine Näherungslösung nach dem Verfahren von Rayleigh-Ritz (EBB) zu Kw50.

Alle Überlegungen zur Geometrie des Systems übernehmen wir.

tmp

Für die Lösung nutzen wir hier das Ritz-Verfahren mit einer Variante:

• die geometrische Zwangsbedingung für die Punkte A, B durch das Seil erfassen wir durch einen Lagrange-Multiplikator.

Header

Text

1+1

tmp

Wir arbeiten mit den selben Parametern und Bezugslängen, wie in Kw50.

Insbesondere gilt auch hier wieder

$W_B=-\frac{W_A}{\sqrt{3}}$

.

Declarations

Text

1+1

tmp

Nach "Ritz" wählen wir Trial-Functions über die gesamte Stablänge und müssen uns überlegen, welchen Aufwand wir dafür treiben wollen.

Intuitiv wählen wir  für jeden Punkt A, B, C jeweils eine Koordinate, hier

$\begin{array}{l}w(0)=W_A\\ w({\ell }_1)=W_B\\ \frac{dw}{dx}{|}_{x=\ell }={\mathrm{\Phi }}_C\end{array}$.

und brauchen - zusammen der geometrischen Randbedingung w(ℓ)=0 ein Polynom mit vier freien Parametern - also ein Polynom dritten Grades.

Mit dem Ansatz für die Formfunktion

$\tilde{w}(x)=\sum _{i=0}^3{C}_i\cdot x^i$

kommt aus den Bedingungen oben dann

$\tilde{w}(\xi )=\sum _{i=1}^3{Q}_i\cdot {\varphi }_i(\xi )$

mit

$\underset{\_}{Q}=\left(\begin{array}{c}{W}_A\\ W_B\\ {\mathrm{\Phi }}_C\end{array}\right)$

.

Trial-Functions

Und so sehen sie aus, unsere drei Trial-Functions:

Für die Formfunktion gilt aber immer die geometrische Zwangsbedingung:

$W_B=-\frac{W_A}{\sqrt{3}}$

Formfunctions

Text

1+1

tmp

Die Potentiale aus Elastischer Energien und Arbeitsfunktion der Gewichtskräfte sind

$\begin{array}{lll}U=& & \frac{1}{2}\cdot \underset{0}{\overset{\ell }{\int }}EI{w}^{\prime }{\text{'}}^{2}dx+\frac{1}{2}\cdot K_C\cdot {\mathrm{\Phi }}_C^2\\ & -& \underset{0}{\overset{\ell }{\int }}{q}_{0}wdx-m_{A}g{W}_A\end{array}$.

Nach dem Prinzip vom Minimum der Potentiellen Energie ist das System im Gleichgewicht, wenn das Potential U des Systems

$\frac{dU}{d{Q}_i}=0\text{ für }{Q}_i\in (W_A,W_B,{\mathrm{\Phi }}_C)$

erfüllt. Und sich zusätzlich an die Zwangsbedingung hält!

Equilibrium Conditions

Text

1+1

tmp

Das könnten wir mit dem Konzept der Lagrange-Multiplikatoren erfassen. Dafür schreiben wir

$\mathrm{\Lambda }(\underset{\_}{Q})=U+\lambda \cdot \underset{\equiv \sqrt{3}{W}_B+W_A}{\underbrace{(\mathrm{\Delta }{s}_A+\mathrm{\Delta }{s}_B)}}$

mit dem Lagrange-Multiplikator λ. Die neuen Gleichgewichtsbedingungen lauten nun

$\frac{d\mathrm{\Lambda }}{d{Q}_i}=0\text{ für alle }{Q}_i$

und wir erhalten die vier Gleichungen

$\begin{array}{cc}\frac{\lambda }{2}-\frac{49m_{B}g}{120}-\frac{17{\mathrm{\Phi }}_{C}EI}{{\ell }_0^2}-\frac{108W_{B}EI}{{\ell }_0^3}+\frac{19W_{A}EI}{{\ell }_0^3}& =0\\ \frac{\sqrt{3}\lambda }{2}-\frac{9m_{B}g}{8}+\frac{135{\mathrm{\Phi }}_{C}EI}{{\ell }_0^2}+\frac{729W_{B}EI}{{\ell }_0^3}-\frac{108W_{A}EI}{{\ell }_0^3}& =0\\ -\frac{{\ell }_0{m}_{B}g}{12}+\frac{33{\mathrm{\Phi }}_{C}EI}{{\ell }_0}+\frac{135W_{B}EI}{{\ell }_0^2}-\frac{17W_{A}EI}{{\ell }_0^2}& =0\\ \frac{\sqrt{3}{W}_B}{2}+\frac{W_A}{2}& =0\end{array}$

.

Geometric Constraints

Text

1+1

tmp

Das Lösen des Gleichungssystems liefert dann

$\left(\begin{array}{c}{W}_A\\ W_B\\ {\mathrm{\Phi }}_C\\ \lambda \end{array}\right)=\frac{m_{B}g{\ell }_0^3}{3EI}\left(\begin{array}{l}-3.7810^{-5}\\ +2.1810^{-5}\\ +0.00747\frac{1}{{\ell }_0}\\ +2.71\frac{EI}{{\ell }_0^3}\end{array}\right)$.

Solving

Text

1+1

tmp

Und die Ergebnisse können wir uns anschauen ...

... für w(x):

Auslenkung w(x)

... für Φ(x):

Kippwinkel Φ(x)

... für M(x):

Biegemoment M(x)

... für Q(x):

Querkraft Q(x)

Post-Processing

Text

1+1

---

Links

• Aufgabe Kw50 (analytische Lösung dieser Aufgabe)
• Aufgabe Kw52 (Lösung dieser Aufgabe mit dem Ansatz von Rayleigh-Ritz und Lagrange-Multiplikator)
• Aufgabe Kw53 (Lösung dieser Aufgabe mit dem Ansatz von Rayleigh-Ritz)

Literature

• ...