Gelöste Aufgaben/Kw29

Aufgabenstellung

In einer Sporthalle wird ein Federball (Punktmasse m) mit einer Anfangsgeschwindigkeit v₀ unter einem Winkel α gegenüber der Horizontalen abgeschlagen. Der Strömungswiderstand des Federballs wird mit

$W=\gamma \cdot v^{2}$

angegeben, dabei ist γ eine gemessene Größe.

Lageplan

Schreiben Sie die Bewegungsgleichung des Federballs an. Formulieren Sie die Bewegungsgleichung des Federballs in dimensionsloser Form und berechnen Sie die Lösung numerisch als Anfangswertproblem.

Gegeben: g, m, γ, v₀

tmp

Lageplan

Die Koordinaten der Bewegung des Federballs sind

• u(t) in horizontale und
• w(t) in vertikale Richtung.

Als Parameter der Bewegung wählen wir:

${\begin{array}{lll}h_{0}&=2\;{\text{m}}&\ldots {\text{ Anfangshöhe}}\\v_{0}&=65\;{\text{km/h}}&\ldots {\text{ Anfangsgeschwindigkeit}}\\\end{array}}$.

Header

Text

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tmp

Die Bewegungsgleichungen in horizontale und vertikale Richtung sind

${\begin{array}{ll}m\;{\ddot {u}}+W\cdot \cos(\alpha )&=0\\m\;{\ddot {w}}+W\cdot \sin(\alpha )&=-m\,g\end{array}}$.

Dabei ist

${\begin{array}{rl}v&={\sqrt {{\dot {u}}^{2}+{\dot {w}}^{2}}}\\\cos \alpha &=\displaystyle {\frac {\dot {u}}{v}}\\\sin \alpha &=\displaystyle {\frac {\dot {w}}{v}}\end{array}}$.

Als nächstes machen wir die Bewegungsgleichungen dimensionslos mit

• der dimensionslosen Zeit $\displaystyle \tau ={\frac {t}{T}}$ und
• den dimensionslosen Koordinaten $\displaystyle U={\frac {u}{L}}{\text{ bzw. }}W={\frac {w}{L}}$,

dabei sind T = h₀ / v₀ die Bezugszeit und L = h₀' die Bezugslänge.

Die neuen Form der nichtlinearen Bewegungsgleichung ergibt sich dann zu

${\begin{array}{ll}{\frac {{d}^{2}}{d{{\tau }^{2}}}}\cdot U&=-\Gamma \cdot \left({\frac {d}{d\tau }}\cdot U\right)\cdot {\sqrt {{{\left({\frac {d}{d\tau }}\cdot W\right)}^{2}}+{{\left({\frac {d}{d\tau }}\cdot U\right)}^{2}}}},\\{\frac {{d}^{2}}{d\,{{\tau }^{2}}}}\cdot W&=-\Gamma \cdot \left({\frac {d}{d\tau }}\cdot W\right)\cdot {\sqrt {{{\left({\frac {d}{d\tau }}\cdot W\right)}^{2}}+{{\left({\frac {d}{d\tau }}\cdot U\right)}^{2}}}}-G\end{array}}$,

die wir numerisch lösen.

Equilibrium Conditions

Text

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tmp

Für Γ=1/2 und α₀ = 30° lösen wir das Problem numerisch, dazu wählen wir als Anfangsbedingungen

${\begin{array}{ll}U(0)&=0\\W(0)&=1\\{\frac {d}{d\tau }}\left.U\right|_{\tau =0}&=\cos \alpha _{0}\\{\frac {d}{d\tau }}\left.W\right|_{\tau =0}&=\sin \alpha _{0}\end{array}}$.

Solving

Text

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tmp

Die Flugbahn des Federballs erhalten durch den Parameter-Plot mit W(τ) über U(τ).

Flugbahn

Post-Processing

Text

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