Gelöste Aufgaben/Kit4

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Aufgabenstellung

Lageplan

Gesucht ist für den Euler-Bernoulli-Balken die dimensionslose Form der Bewegungs-Differentialgleichung.

Die dimensionsbehaftete Form der Bewegungsgleichung lautet

EId4dx4w(x)=q, mit {q=q0 für 0x<1q=0 sonst 

Um die dimensionslose Form der Bewegungsgleichung zu bekommen, ersetzten wir

E=E~FBezBez2;I=I~Bez4;q0=q~0FBezBez.

Dimensionsbehaftet ist jetzt noch w(x) und seine Ableitungen. Mit der Koordinaten-Transformation

w=w~Bez und x=x~1

erhalten wir

d4dx4w(x)=Bezd4dx~4(w~(x~))(dx~dx)4=114.

Einsetzen liefert

E~FBezBez2I~Bez4Bezd4dx~4w~(x~)114=q~FBezBez

Die Bezugsgrößen dürfen wir frei wählen - aber wie? Für ℓBez = h drücken wir die Auslenkung w als Vielfaches von h aus - das ist praktisch! Denn damit die Annahmen zur Linearisierung beim Euler-Bernoulli-Balken eingehalten werden, sollte w ≤ h, also

w~1

Für die Bezugskaft bietet sich FBez = G an, wobei G die Gewichtskraft des Balkens ist. Dann ist q~ das Vielfache der Gewichts-Streckenlast.

Umschreiben und Auflösen liefert mit I = h4/12

d4w~dx~4=12q~0E~(1h)4

oder abgekürzt:

d4w~dx~4=μ

Die dimensionslose Ortskoordinate brauchen wir für den Rest der Aufgaben - man wählt deshalb oft

ξ:=x~ und ddξ(.)=:(.)

und erhält als neue Bewegungsgleichung

w~=μ.
Koordinaten
Mit den neuen dimensionslosen Koordinaten und Parametern vereinfacht sich die Lösung des Problems:

So ist die analytische Lösung der Bewegungsgleichung für den Bereich i:

w~i(ξ):=μξ424+Ci,3ξ36+Ci,2ξ22+Ci,1ξ+Ci,0

wobei der Bereich i=1 zwischen A-B sowie i=2 zwischen B-C liegt.

Die Rand- und Übergangsbedingungen lauten dann mit ℓ2 = ℓ1/2

w~1(0)=0w~'1(0)=0, w~1(1)=w~2(0)w~'1(1)=w~'2(0)w~'1(1)=w~'2(0)w~'1(1)=w~'2(0), w~1(1/2)=0w~'2(1/2)=0.

Lösung mit Maxima

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