Anfangswertprobleme/Methoden zur Lösung von Anfangswertproblemen/Löser für steife Differentialgleichungen

Sobald Sie mehr als eine Bewegungsgleichung bearbeiten, wächst die Wahrscheinlichkeit, dass Bewegungen auf sehr unterschiedlichen Zeitskalen ablaufen. Man nennt diese Bewegungsgleichungen dann "steif", die Schrittweite  der numerischen Lösung wird hier ausschließlich durch die schnellste Bewegung des Systems gesteuert - auch wenn diese u.U. gar nicht von Interesse ist.

Beispiel: Mit Finite-Elemente-Software untersuchen Sie Biegeschwingungen von Windturbinen-Blättern. Die tiefsten (flapwise) Eigenfrequenzen des Systems liegen typischerweise bei deutlich unter 1 Hz, die höchsten Eigenfrequenzen bei vielen 100 kHz, durch Eigenschwingungen in der Ebene der Schalenelemente des Blattes.

Ein einfaches Beispiel

Mathematisch haben wir folgendes Problem:

Die lineare Bewegungsgleichung

$\dot{\underset{\_}{q}}=\left(\begin{array}{rr}998& 1998\\ -999& -1999\end{array}\right)\cdot \underset{\_}{q}$

hat die allgemeine Lösung

$q(t)=C_1\left(\begin{array}{r}2\\ -1\end{array}\right)\cdot e^{-t}+C_2\left(\begin{array}{r}1\\ -1\end{array}\right)\cdot e^{-1000\cdot t}$.

Mit dem Verfahren von Runge-Kutta würde der e^{-1000 t}-Term Schrittweiten von Δt = 1/1000 erfordern. Und das, obwohl gerade dieser Anteil sofort "weg" ist (er klingt rasch ab).

Code

/* Maxima */
A : matrix([998,1998],[-999,-1999]);
ev : eigenvectors(A);

Das ist die generelle Krux mit steifen Differentialgleichungen: die schnellste Bewegung des Systems gibt die Schrittweite vor - auch wenn diese Bewegung nicht relevant für unsere Betrachtung ist. Und beim Regelfall - einem FEM-Modell - liegt fast immer ein steifes Differentialgleichungssystem vor.

Bei linearen Gleichungen können wir uns die Bewegungs-Moden zur Bearbeitung auswählen, deren Eigenfrequenzen in einem vorgegebenen Frequenzband liegen - typischerweise den unteren Frequenzen. Bei nichtlinearen Differentialgleichungen allerdings steht uns dieser Lösungsansatz nicht zur Verfügung - in der Regel müssen wir das Anfangswertproblem dann durch numerische Integration lösen. Und diesen Systemen von nichtlinearen Differentialgleichungen sieht man nicht an, ob sie steif sind - oder nicht.

In der Regel macht es Sinn, zuerst mit klassischen Lösern zu arbeiten und erst wenn Probleme bei der Lösung auftreten, auf Löser für steife Differentialgleichungen ausweichen.

Literatur

• Press, W.H.: NUMERICAL RECIPES, The Art of Scientific Computing, Third Edition, Cambridge University Press