Anfangswertprobleme/Methoden zur Lösung von Anfangswertproblemen/Runge-Kutta-Verfahren 4.ter Ordnung: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 22. Februar 2021, 12:21 Uhr

Das Runge-Kutta Verfarhen schreibt die Lösung über ein Intervall fort, indem die Information von vielen Euler-Schritten zu einem Zeitschritt verknüpft werden. Die Information aus den einzelnen Euler-Schritte wird dabei in eine Taylor-Reihe - hier 4.ter Ordnung - entwicklet.

Zur Berechnung der Δq_i's setzen wir also an:

\begin{array}{llll} Δ q_{1} & = Δ t \cdot f (q_{i} & , t_{i} & ) \\ Δ q_{2} & = Δ t \cdot f (q_{i} + \frac{1}{2} \cdot Δ q_{1} & , t_{i} + \frac{1}{2} \cdot Δ t & ) \\ Δ q_{3} & = Δ t \cdot f (q_{i} + \frac{1}{2} \cdot Δ q_{2} & , t_{i} + \frac{1}{2} \cdot Δ t & ) \\ Δ q_{4} & = Δ t \cdot f (q_{i} + Δ q_{3} & , t_{i} + Δ t & ) \end{array}

Und den neuen Funktionswert erhalten wir aus

\begin{array}{ll} q_{i + 1} & = q_{i} + Δ q_{0} \\ = q_{0} + (\frac{1}{6} \cdot Δ q_{1} + \frac{1}{3} \cdot Δ q_{2} + \frac{1}{3} \cdot Δ q_{3} + \frac{1}{6} \cdot Δ q_{4}) \end{array}

.

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+Das Runge-Kutta Verfarhen schreibt die Lösung über ein Intervall fort, indem die Information von vielen Euler-Schritten zu einem Zeitschritt verknüpft werden. Die Information aus den einzelnen [[Anfangswertprobleme/Methoden zur Lösung von Anfangswertproblemen/Euler-Streckenzug-Verfahren|Euler-Schritte]] wird dabei in eine Taylor-Reihe - hier 4.ter Ordnung - entwicklet.
+[[File:Runge-Kutte-4thOrder-preview.png|verweis=Datei:Runge-Kutte-4thOrder.mp4|links|mini|250x250px|Prozessschema FEM]]<br clear="all"/>
+Zur Berechnung der ''Δq<sub>i</sub>''<nowiki/>'s setzen wir also an:
+::<math>\begin{array}{llll}\Delta q_1 &= \Delta t \cdot f(q_i&,t_i&)\\\Delta q_2 &= \Delta t \cdot f(q_i+\frac{1}{2}\cdot\Delta q_1&,t_i+\frac{1}{2}\cdot\Delta t&)\\\Delta q_3 &= \Delta t \cdot f(q_i+\frac{1}{2}\cdot\Delta q_2&,t_i+\frac{1}{2}\cdot\Delta t&)\\\Delta q_4 &= \Delta t \cdot f(q_i+\;\;\;\;\;\Delta q_3 &,t_i+\;\;\;\;\;\Delta t&)\end{array}</math>
+Und den neuen Funktionswert erhalten wir aus
+::<math>\begin{array}{ll}q_{i+1} &= q_i + \Delta q_0\\&=q_0 + \displaystyle \left(\frac{1}{6}\cdot\Delta q_1 + \frac{1}{3}\cdot\Delta q_2 + \frac{1}{3}\cdot\Delta q_3 + \frac{1}{6}\cdot\Delta q_4 \right)\end{array}</math>
+.

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