Anfangswertprobleme/Methoden zur Lösung von Anfangswertproblemen/Euler-Streckenzug-Verfahren

Beim Euler-Streckenzug- oder Euler-Einschritt-Verfahren wiederholt man für die numerische Lösung des Anfangswertproblems

${\underline {\dot {q}}}(t)={\underline {f}}({\underline {q}}(t),t)$

konsequent den Schritt

${\underline {q}}_{i+1}={\underline {q}}_{i}+{\underline {\dot {q}}}|_{t=t_{i}}\cdot \Delta t{\text{ mit }}{\underline {\dot {q}}}|_{t=t_{i}}={\underline {f}}({\underline {q}}_{i},t_{i})$

In dieser Gleichung steckt der Differenzenquotient

$\displaystyle {\dot {q}}_{t_{i}}\approx {\frac {q(t_{i}+\Delta t)-q(t_{i})}{\Delta t}}$

den wir nach q(t+Δt) auflösen.

So sehen die ersten beiden Schritte für das Einführungs-Beispiel so aus:

Analytische und numerische Näherungslösung

Jeder dieser Schritte ist für sich trivial, erfordert aber die Durchführung von sehr vielen Rechenoperationen. Mit den ersten Computern hat dieses Verfahren deshalb seine große Bedeutung bekommen.

Die Umsetzung dieses Verfahrens ist konzeptionell wichtig, weil es das Vorgehen zur numerischen Lösung von Anfangswerten verdeutlicht. Für die praktische Umsetzung ist es in dieser Form nicht empfehlenswert, da es ungenau und numerisch ineffizient ist.

Allerdings gehen alle praktikablen Lösungsverfahren aus die Grundidee dieses Verfahrens zurück:

• addiere sukzessive kleine Inkremente zu der Zustandsgrößen des Ausgangs-Zustands, indem die Werte der Ableitungen (Rechte Seite der Gleichung) mit kleinen Zeitschritten hinzugefügt werden.