Void

Grundlagen

Die Methode der Finiten Elemente (FEM) arbeitet mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen für die Gleichgewichtsbedingungen und einfachen, lokalen Polynom-Ansätzen.

Für die Gleichgewichtsbedingung brauchen wir die allgemeinen Terme der virtuellen Arbeit des Systems

$\delta W=\delta W^{a}-\delta \Pi$

wobei δΠ die Virtuelle Formänderungsenergie ist und δW^a die virtuelle Arbeit von äußeren, eingeprägten Lasten.

Darin ist z.B. für den Euler-Bernoulli-Balken

$\displaystyle \delta \Pi =\displaystyle \int _{\ell }EI\;w''\cdot \delta w''\;dx$

Die gesamte Virtuelle Formänderungsarbeit setzt sich damm additiv aus den Anteilen aller N elastischen Bauteile zusammen, also

$\delta \Pi =\delta \Pi _{1}+\delta \Pi _{2}+\ldots +\delta \Pi _{N}$

Die Arbeit von äußeren, eingeprägten Kräften ist beispielsweise

${\begin{array}{lll}\displaystyle \delta W^{a}&=\displaystyle \displaystyle \int _{\ell }{\vec {q}}(x)\cdot \delta {\vec {r}}\;dx&{\text{ für Streckenlasten oder }}\\\displaystyle \delta W^{a}&={\vec {F}}\cdot \delta {\vec {r}}_{F}&{\text{ für diskrete Kräfte.}}\end{array}}$

Das δΠ sieht ganz ähnlich aus wie die Formänderungsenergie Π der Potentiellen Energie - hier fehlt allerdings der Faktor 1/2!

Der Prozess, in dem wir eine Striktur in Finite Elemente unterteilen, nennen wir Diskretisierung. Denn an dieser Stellen werden aus den unendlich vielen Freiheitsgraden endlich viele.

Als Trial-Formfunktionen für die Approximation der exakten Lösung wählen wir Polynome, die wir in die Raumrichtungen aneinanderstückeln - und zwar immer wieder die selben! Jeder  Abschnitt des Struktur,, in dem wir eine Trial-Funktion ansetzen, nennen wir Finites Element, jede "Stoßstelle" zwischen den Elementen nennen wir Node (Knoten). Was hier wenig dramatisch daherkommt, ist die Grundlage für den unglaublichen Erfolg der FEM:

• Wiederholung: Alle Trial-Funktionen sind gleich!
• Simplizität: Jede Trial-Funktion ist ein sehr einfaches Polynom - oft reicht erster Ordnung!
• Skalierbarkeit: die Genauigkeit steigern wir durch die Unterteilung in kleinere Finite Elemente!

Stab-Modelle

Für einen geraden Stab sieht eine Diskretisierung - hier mit gleich langen - Finiten Elementen so aus:

Der Ansatz - hier für einen Euler-Bernoulli-Balken - ist wieder allgemein

${\tilde {w}}(x)=\displaystyle \sum _{I}Q_{i}\cdot \phi _{i}(x)$

wobei die ϕ_i die linear unabhängigen Trial-Funktionen und die Q_i ihre gesuchten "Wichtungsfaktoren" - hier: die gesuchten Auslenkungen und/oder Verdrehungen an den Knoten - sind.

Statt Polynome zu wählen, die sich über die gesamte Stab-Länge erstrecken wie beim Verfahren von Ritz, wählen wir hier lokale Ansatzfunktionen je Element, also

${\tilde {w}}(x)=\displaystyle \sum _{I}{\tilde {w}}_{i}(x){\text{ mit }}{\tilde {w}}_{i}(x)=\left\{{\begin{array}{cl}{\bar {w}}(x)&{\text{ im Element}}\\0&{\text{ sonst}}\end{array}}\right.$

Schalen-Modelle

Bei Schalen-Modellen für ebene Strukturen müssen wir Verschiebungen und/oder Verdrehungen als Funktion von zwei unabhängigen Variablen - z.B. x und y - ausdrücken.

${\displaystyle }$

Als Ansatz für eine ebene Scheibe sind die Verschiebungen in der der Schalen-Ebene in die beiden Raumrichtungen

${\begin{array}{l}{\tilde {u}}_{i,x}(x,y)=\displaystyle \sum _{I}\sum _{J}Q_{ij}\cdot \phi _{i}(x)\cdot \phi _{j}(y)\\{\tilde {u}}_{i,y}(x,y)=\displaystyle \sum _{K}\sum _{L}Q_{kl}\cdot \phi _{k}(x)\cdot \phi _{l}(y)\end{array}}$

In den Knoten-Verschiebungen u_ij stehen dann die beiden Knoten-Verschiebungen Q_ij, Q_kl, also

${\underline {u}}_{ij}=\left({\begin{array}{c}u_{x,ij}\\u_{y,ij}\end{array}}\right)$

die wir wiederum in die Spaltenmatrix der gesuchten Größen Q einsortieren:

${\underline {Q}}=\left({\begin{array}{c}{\underline {u}}_{00}\\\vdots \\{\underline {u}}_{ij}\\\vdots \end{array}}\right)$

Mit linearen Trial-Functions wird die Näherungslösung je Element dann aus diesen Formen zusammengesetzt sein:

x

y

Das Gleichungssystem für lineare Bewegungsgleichungen

Weil die Ansatzfunktionen nur im Element gelten, ist

$\delta \Pi =\displaystyle \sum _{I}\delta \Pi _{i}$

die Summe aller virtuellen Formänderungs-Energien aller Elemente.

Einsetzen und Ausführen der Integration in δΠ führt bei linearen Systemen (wir betrachten nur lineare Systeme) immer auf die Form

$\delta \Pi =\displaystyle \delta {\underline {Q}}^{T}\cdot {\underline {\underline {A}}}\cdot {\underline {Q}}{\text{ mit }}{\underline {Q}}=\left({\begin{array}{l}Q_{0}\\\vdots \\Q_{I}\end{array}}\right)$

und δW^_a hat in der Statik immer die Form

$\delta W^{a}=\displaystyle \delta {\underline {W}}^{T}\cdot {\underline {P}}$

also

${\begin{array}{ll}\delta W&=\displaystyle \delta {\underline {Q}}^{T}\cdot {\underline {\underline {K}}}\cdot {\underline {Q}}-\delta {\underline {Q}}^{T}\cdot {\underline {P}}\\&=\displaystyle \delta {\underline {Q}}^{T}\cdot \left({\underline {\underline {K}}}\cdot {\underline {Q}}-{\underline {P}}\right)\end{array}}$

Die Gleichgewichtsbedingungen des Prinzip der virtuellen Verrückungen lauten:

$\delta W{\stackrel {!}{=}}0$

und das sind mehrere, denn:

• die einzelnen virtuellen Verrückungen in δW sind jeweils für sich unabhängig. Die Summe der
  $\delta Q_{i}\cdot \underbrace {\left(\displaystyle \sum _{j}k_{ij}\cdot Q_{j}-b_{i}\right)} _{\displaystyle {\stackrel {!}{=}}0}=0$
  wird nur dann Null, wenn die Klammerausdrücke jeweils für sich verschwinden (Null werden).
• Wir erhalten also ganz automatisch für jede unbekannte Koordinate eine Gleichgewichtsbedingung.

Ansatzfunktionen

Finite Elemente benutzen besondere Trial-Functions um die Verschiebungen einer Struktur sehr effizient abbilden zu können. Dies sind

• Trial-Functions für lineare Ansatz-Polynome
• Trial-Functions für kubische Ansatz-Polynome

Im Vergleich: das Verfahren von Ritz und die Methode der Finite Elemente

Literatur

• Strang 2008

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• Im Vergleich: das Verfahren von Ritz und die Methode der Finite Elemente

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