Void

Grundlagen

Die Methode der Finiten Elemente (FEM) arbeitet mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen für die Gleichgewichtsbedingungen und einfachen, lokalen Polynom-Ansätzen.

Für die Gleichgewichtsbedingung brauchen wir die allgemeinen Terme der virtuellen Arbeit des Systems

$\delta W=\delta W^a-\delta \mathrm{\Pi }$

wobei δΠ die Virtuelle Formänderungsenergie ist und δW^a die virtuelle Arbeit von äußeren, eingeprägten Lasten.

Darin ist z.B. für den Euler-Bernoulli-Balken

$\delta \mathrm{\Pi }=\underset{\ell }{\int }EI{w}^{″}\cdot \delta w^{″}dx$

Die gesamte Virtuelle Formänderungsarbeit setzt sich damm additiv aus den Anteilen aller N elastischen Bauteile zusammen, also

$\delta \mathrm{\Pi }=\delta {\mathrm{\Pi }}_1+\delta {\mathrm{\Pi }}_2+\dots +\delta {\mathrm{\Pi }}_N$

Die Arbeit von äußeren, eingeprägten Kräften ist beispielsweise

$\begin{array}{lll}\delta W^a& =\underset{\ell }{\int }\overrightarrow{q}(x)\cdot \delta \overrightarrow{r}dx& \text{ für Streckenlasten oder }\\ \delta W^a& =\overrightarrow{F}\cdot \delta {\overrightarrow{r}}_F& \text{ für diskrete Kräfte.}\end{array}$

Das δΠ sieht ganz ähnlich aus wie die Formänderungsenergie Π der Potentiellen Energie - hier fehlt allerdings der Faktor 1/2!

Der Prozess, in dem wir eine Striktur in Finite Elemente unterteilen, nennen wir Diskretisierung. Denn an dieser Stellen werden aus den unendlich vielen Freiheitsgraden endlich viele.

Als Trial-Formfunktionen für die Approximation der exakten Lösung wählen wir Polynome, die wir in die Raumrichtungen aneinanderstückeln - und zwar immer wieder die selben! Jeder  Abschnitt des Struktur,, in dem wir eine Trial-Funktion ansetzen, nennen wir Finites Element, jede "Stoßstelle" zwischen den Elementen nennen wir Node (Knoten). Was hier wenig dramatisch daherkommt, ist die Grundlage für den unglaublichen Erfolg der FEM:

• Wiederholung: Alle Trial-Funktionen sind gleich!
• Simplizität: Jede Trial-Funktion ist ein sehr einfaches Polynom - oft reicht erster Ordnung!
• Skalierbarkeit: die Genauigkeit steigern wir durch die Unterteilung in kleinere Finite Elemente!

Stab-Modelle

Für einen geraden Stab sieht eine Diskretisierung - hier mit gleich langen - Finiten Elementen so aus:

Der Ansatz - hier für einen Euler-Bernoulli-Balken - ist wieder allgemein

$\tilde{w}(x)=\sum _I{Q}_i\cdot {\varphi }_i(x)$

wobei die ϕ_i die linear unabhängigen Trial-Funktionen und die Q_i ihre gesuchten "Wichtungsfaktoren" - hier: die gesuchten Auslenkungen und/oder Verdrehungen an den Knoten - sind.

Statt Polynome zu wählen, die sich über die gesamte Stab-Länge erstrecken wie beim Verfahren von Ritz, wählen wir hier lokale Ansatzfunktionen je Element, also

$\tilde{w}(x)=\sum _I{\tilde{w}}_i(x)\text{ mit }{\tilde{w}}_i(x)=\{\begin{array}{cl}\overline{w}(x)& \text{ im Element}\\ 0& \text{ sonst}\end{array}$

Schalen-Modelle

Bei Schalen-Modellen für ebene Strukturen müssen wir Verschiebungen und/oder Verdrehungen als Funktion von zwei unabhängigen Variablen - z.B. x und y - ausdrücken.

${\displaystyle }$

Als Ansatz für eine ebene Scheibe sind die Verschiebungen in der der Schalen-Ebene in die beiden Raumrichtungen

$\begin{array}{l}{\tilde{u}}_{i,x}(x,y)=\sum _I\sum _J{Q}_{ij}\cdot {\varphi }_i(x)\cdot {\varphi }_j(y)\\ {\tilde{u}}_{i,y}(x,y)=\sum _K\sum _L{Q}_{kl}\cdot {\varphi }_k(x)\cdot {\varphi }_l(y)\end{array}$

In den Knoten-Verschiebungen u_ij stehen dann die beiden Knoten-Verschiebungen Q_ij, Q_kl, also

${\underset{\_}{u}}_{ij}=\left(\begin{array}{c}{u}_{x,ij}\\ u_{y,ij}\end{array}\right)$

die wir wiederum in die Spaltenmatrix der gesuchten Größen Q einsortieren:

$\underset{\_}{Q}=\left(\begin{array}{c}{\underset{\_}{u}}_{00}\\ ⋮\\ {\underset{\_}{u}}_{ij}\\ ⋮\end{array}\right)$

Mit linearen Trial-Functions wird die Näherungslösung je Element dann aus diesen Formen zusammengesetzt sein:

x

y

Das Gleichungssystem für lineare Bewegungsgleichungen

Weil die Ansatzfunktionen nur im Element gelten, ist

$\delta \mathrm{\Pi }=\sum _I\delta {\mathrm{\Pi }}_i$

die Summe aller virtuellen Formänderungs-Energien aller Elemente.

Einsetzen und Ausführen der Integration in δΠ führt bei linearen Systemen (wir betrachten nur lineare Systeme) immer auf die Form

$\delta \mathrm{\Pi }=\delta {\underset{\_}{Q}}^T\cdot \underset{\_}{\underset{\_}{A}}\cdot \underset{\_}{Q}\text{ mit }\underset{\_}{Q}=\left(\begin{array}{l}{Q}_0\\ ⋮\\ Q_I\end{array}\right)$

und δW^_a hat in der Statik immer die Form

$\delta W^a=\delta {\underset{\_}{W}}^T\cdot \underset{\_}{P}$

also

$\begin{array}{ll}\delta W& =\delta {\underset{\_}{Q}}^T\cdot \underset{\_}{\underset{\_}{K}}\cdot \underset{\_}{Q}-\delta {\underset{\_}{Q}}^T\cdot \underset{\_}{P}\\ & =\delta {\underset{\_}{Q}}^T\cdot (\underset{\_}{\underset{\_}{K}}\cdot \underset{\_}{Q}-\underset{\_}{P})\end{array}$

Die Gleichgewichtsbedingungen des Prinzip der virtuellen Verrückungen lauten:

$\delta W\stackrel{!}{=}0$

und das sind mehrere, denn:

• die einzelnen virtuellen Verrückungen in δW sind jeweils für sich unabhängig. Die Summe der
  ::$\delta Q_i\cdot \underset{\stackrel{!}{=}0}{\underbrace{(\sum _j{k}_{ij}\cdot Q_j-b_i)}}=0$

wird nur dann Null, wenn die Klammerausdrücke jeweils für sich verschwinden (Null werden).

• Wir erhalten also ganz automatisch für jede unbekannte Koordinate eine Gleichgewichtsbedingung.

Ansatzfunktionen

Finite Elemente benutzen besondere Trial-Functions um die Verschiebungen einer Struktur sehr effizient abbilden zu können. Dies sind

• Trial-Functions für lineare Ansatz-Polynome
• Trial-Functions für kubische Ansatz-Polynome

Im Vergleich: das Verfahren von Ritz und die Methode der Finite Elemente

Literatur

• Strang 2008