Void

Grundlagen

Die Methode der Finiten Elemente (FEM) arbeitet mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen für die Gleichgewichtsbedingungen und einfachen, lokalen Polynom-Ansätzen.

Für die Gleichgewichtsbedingung brauchen wir die allgemeinen Terme der virtuellen Arbeit des Systems

${\displaystyle }$

Für die Gleichgewichtsbedingung brauchen wir die allgemeinen Terme der virtuellen Arbeit des Systems

${\displaystyle }$

wobei δΠ die Virtuelle Formänderungsenergie ist und δW^a die virtuelle Arbeit von äußeren, eingeprägten Lasten.

Darin ist z.B. für den Euler-Bernoulli-Balken

${\displaystyle }$

Die gesamte Virtuelle Formänderungsarbeit setzt sich damm additiv aus den Anteilen aller N elastischen Bauteile zusammen, also

${\displaystyle }$

Die Arbeit von äußeren, eingeprägten Kräften ist beispielsweise

${\displaystyle }$

Das δΠ sieht ganz ähnlich aus wie die Formänderungsenergie Π der Potentiellen Energie - hier fehlt allerdings der Faktor 1/2!

Der Prozess, in dem wir eine Striktur in Finite Elemente unterteilen, nennen wir Diskretisierung. Denn an dieser Stellen werden aus den unendlich vielen Freiheitsgraden endlich viele.

Als Trial-Formfunktionen für die Approximation der exakten Lösung wählen wir Polynome, die wir in die Raumrichtungen aneinanderstückeln - und zwar immer wieder die selben! Jeder  Abschnitt des Struktur,, in dem wir eine Trial-Funktion ansetzen, nennen wir Finites Element, jede "Stoßstelle" zwischen den Elementen nennen wir Node (Knoten). Was hier wenig dramatisch daherkommt, ist die Grundlage für den unglaublichen Erfolg der FEM:

• Wiederholung: Alle Trial-Funktionen sind gleich!
• Simplizität: Jede Trial-Funktion ist ein sehr einfaches Polynom - oft reicht erster Ordnung!
• Skalierbarkeit: die Genauigkeit steigern wir durch die Unterteilung in kleinere Finite Elemente!

Stab-Modelle

Für einen geraden Stab sieht eine Diskretisierung - hier mit gleich langen - Finiten Elementen so aus:

Der Ansatz - hier für einen Euler-Bernoulli-Balken - ist wieder allgemein

XXX

wobei die ϕ_i die linear unabhängigen Trial-Funktionen und die Q_i ihre gesuchten "Wichtungsfaktoren" - hier: die gesuchten Auslenkungen und/oder Verdrehungen an den Knoten - sind.

Statt Polynome zu wählen, die sich über die gesamte Stab-Länge erstrecken wie beim Verfahren von Ritz, wählen wir hier lokale Ansatzfunktionen je Element,

also

XXX

Schalen-Modelle

Bei Schalen-Modellen für ebene Strukturen müssen wir Verschiebungen und/oder Verdrehungen als Funktion von zwei unabhängigen Variablen - z.B. x und y - ausdrücken.

XXX

Als Ansatz für eine ebene Scheibe sind die Verschiebungen in der der Schalen-Ebene in die beiden Raumrichtungen

XXX

In den Knoten-Verschiebungen u_ij stehen dann die beiden Knoten-Verschiebungen Q_ij, Q_kl, also

XXX

die wir wiederum in die Spaltenmatrix der gesuchten Größen Q einsortieren:

XXX

Mit linearen Trial-Functions wird die Näherungslösung je Element dann aus diesen Formen zusammengesetzt sein:

x

y

Das Gleichungssystem für lineare Bewegungsgleichungen

Weil die Ansatzfunktionen nur im Element gelten, ist

XXX

die Summe aller virtuellen Formänderungs-Energien aller Elemente.

Einsetzen und Ausführen der Integration in δΠ führt bei linearen Systemen (wir betrachten nur lineare Systeme) immer auf die Form

XX

und δW^_a hat in der Statik immer die Form

XXX

also

XXX

Die Gleichgewichtsbedingungen des Prinzip der virtuellen Verrückungen lauten:

XXX

und das sind mehrere, denn:

• die einzelnen virtuellen Verrückungen in δW sind jeweils für sich unabhängig. Die Summe der
  XXX
  wird nur dann Null, wenn die Klammerausdrücke jeweils für sich verschwinden (Null werden).
• Wir erhalten also ganz automatisch für jede unbekannte Koordinate eine Gleichgewichtsbedingung.

Ansatzfunktionen

Finite Elemente benutzen besondere Trial-Functions um die Verschiebungen einer Struktur sehr effizient abbilden zu können. Dies sind

• Trial-Functions für lineare Ansatz-Polynome
• Trial-Functions für kubische Ansatz-Polynome

Im Vergleich: das Verfahren von Ritz und die Methode der Finite Elemente

Literatur

• Strang 2008