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Das ''δΠ'' sieht ganz ähnlich aus wie die Formänderungsenergie ''Π'' der Potentiellen Energie - hier fehlt allerdings der Faktor 1/2! | Das ''δΠ'' sieht ganz ähnlich aus wie die Formänderungsenergie ''Π'' der Potentiellen Energie - hier fehlt allerdings der Faktor 1/2! | ||
Version vom 22. Februar 2021, 06:25 Uhr
Grundlagen
Die Methode der Finiten Elemente (FEM) arbeitet mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen für die Gleichgewichtsbedingungen und einfachen, lokalen Polynom-Ansätzen.
Für die Gleichgewichtsbedingung brauchen wir die allgemeinen Terme der virtuellen Arbeit des Systems
Für die Gleichgewichtsbedingung brauchen wir die allgemeinen Terme der virtuellen Arbeit des Systems
wobei δΠ die Virtuelle Formänderungsenergie ist und δWa die virtuelle Arbeit von äußeren, eingeprägten Lasten.
Darin ist z.B. für den Euler-Bernoulli-Balken
Die gesamte Virtuelle Formänderungsarbeit setzt sich damm additiv aus den Anteilen aller N elastischen Bauteile zusammen, also
Die Arbeit von äußeren, eingeprägten Kräften ist beispielsweise
Das δΠ sieht ganz ähnlich aus wie die Formänderungsenergie Π der Potentiellen Energie - hier fehlt allerdings der Faktor 1/2!
Der Prozess, in dem wir eine Striktur in Finite Elemente unterteilen, nennen wir Diskretisierung. Denn an dieser Stellen werden aus den unendlich vielen Freiheitsgraden endlich viele.
Als Trial-Formfunktionen für die Approximation der exakten Lösung wählen wir Polynome, die wir in die Raumrichtungen aneinanderstückeln - und zwar immer wieder die selben! Jeder Abschnitt des Struktur,, in dem wir eine Trial-Funktion ansetzen, nennen wir Finites Element, jede "Stoßstelle" zwischen den Elementen nennen wir Node (Knoten). Was hier wenig dramatisch daherkommt, ist die Grundlage für den unglaublichen Erfolg der FEM:
- Wiederholung: Alle Trial-Funktionen sind gleich!
- Simplizität: Jede Trial-Funktion ist ein sehr einfaches Polynom - oft reicht erster Ordnung!
- Skalierbarkeit: die Genauigkeit steigern wir durch die Unterteilung in kleinere Finite Elemente!