Gelöste Aufgaben/Stor

Aufgabenstellung

Der Mittelteil einer einfachen Hängebrücke besteht aus zwei Pylonen, an denen die Tragseile (Cable) geführt werden, an denen der Fahrbahnträger (Deck) aufgehängt ist.

Der Mittelteil einer Hängebrücke

Gesucht ist ein einfaches, lineares FE-Modell für statische Spannungen und Verformungen der Seile und Fahrbahn. Die Verformung der Pylone soll icht berücksichtigt werden.

Die Spannweite der Brücke beträgt $L$=30m, die Pylonhöhe AD beträgt $H$=10m. Die Brücke wird durch ihr Gewicht und zusätzlichen Kräften zwischen D und E von $F$=10kN an den Verbindungen mit den vertikalen Seilen belastet. Die Abmessungen von Seilen und Fahrbahn-Querschnitt wählen wir passend.

Aufgabe Strukturieren

Gesucht ist ein mathematisches Modell für die Hängebrücke - bestehen aus Fahrbahn, Tragseil und Hängeseilen. Wir gehen davon aus, dass die Anteile der Biegesteifigkeit der Seile vernachlässigbar sind - wir sie also als Dehnstäbe wie in einem Fachwerk modellieren können. Tun wir das nicht, werden die Auslenkungen der Tragseile im linearen Ansatz sehr groß und werden erst durch die Saitenspannungen - also nichtlineare Effekte - wieder auf ein sinnvolles Maß reduziert.

Die Fahrbahn modelleiren wir als Euler-Bernoulli-Balken - Verschiebungen der Querschnittsflächen des Balkens vernachlässigen wir.

Auf die Struktur wirken ihre Gewichtskräfte und eine Einzellast. Das resultierende Gleichungssystem des FE-Modells für die Koordinaten der Auslenkung der Brücke ist von der Form

$\underset{\_}{\underset{\_}{K}}\cdot \underset{\_}{Q}=\underset{\_}{P}$

mit der Steifigkeitsmatrix $\underset{\_}{\underset{\_}{K}}$, der Spaltenmatrix der unbekannten Koordinaten $\underset{\_}{Q}$ und der Spaltenmatrix der äußeren Lasten $\underset{\_}{P}$.

Der Einfachheit halber wählen wir jeweils nur ein Finites Element zwischen den Stoßpunkten der Brückenteile.

Aufgabenstellung konkretisieren

Bezeichnung der Elemente und Knoten.

Die Hängebrücke teilen wir somit in 12 Elemente ein. Dies sind

• die Elemente 1, ... 6 für das Tragseil
• die Elemente 7, ... 12 für die Fahrbahn und
• die Elemente 13, ... 17 für die Hängeseile.

Mit den römischen Ziffern I ... XIV kennzeichnen wir die Knotenpunkte zwischen den Elementen.

Koordinten des Modells sind damit die horizontalen und vertikalen Auslenkungen der Knoten I ... VII und die vertiakle Auslenkung und Kippung der Knoten in VIII ... XIV.

Koordinaten des Modells am Beispiel von Element 14.

Systemparameter

Für die Hängebrücke legen wir zunächst die Koordinaten der Knotenpunkte P fest. Diese definieren wir zu

$\begin{array}{llclcl}{P}_1& :& [& 0& -H& ],\\ P_2& :& [& 1*{\ell }_0& -{\alpha }_1*H& ],\\ P_3& :& [& 2*{\ell }_0& -{\alpha }_2*H& ],\\ P_4& :& [& 3*{\ell }_0& -{\alpha }_3*H& ],\\ P_5& :& [& 4*{\ell }_0& -{\alpha }_2*H& ],\\ P_6& :& [& 5*{\ell }_0& -{\alpha }_1*H& ],\\ P_7& :& [& 6*{\ell }_0& -H& ],\\ P_8& :& [& 0& 0& ],\\ P_9& :& [& 1*{\ell }_0& 0& ],\\ P_{10}& :& [& 2*{\ell }_0& 0& ],\\ P_{11}& :& [& 3*{\ell }_0& 0& ],\\ P_{12}& :& [& 4*{\ell }_0& 0& ],\\ P_{13}& :& [& 5*{\ell }_0& 0& ,\\ P_{14}& :& [& 6*{\ell }_0& 0& ]\end{array}$

mit

${\ell }_0=L/6$ und ${\alpha }_1=3/5,{\alpha }_2=2/5,{\alpha }_3=1/3$

Die Längen ${\ell }_e$ aller Elemente ergeben sich aus der Lage der Knotenpunkte.

1+1

Modellierung

Die Gleichgewichtsbedingung formulieren wir mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen zu

$\begin{array}{lll}\delta W& =& \delta W^a-\delta \mathrm{\Pi }\\ & =& 0\end{array}$.

Die virtuellen Arbeiten setzen sich dabei additiv aus den Beiträgen der 14 Elemente zusammen, also

$\delta \mathrm{\Pi }=\sum _{e=1}^{14}\delta {\mathrm{\Pi }}_e$ und $\delta W^a=\sum _{e=1}^{14}\delta W_e^a$

Wir schreiben zunächst die Koordinaten der Verschiebung und Verdrehung der Knoten des Systems hin, hier

${\underset{\_}{Q}}^T=(U_1,W_1,U_2,W_2,U_3,W_3,U_4,W_4,U_5,W_5,U_6,W_6,U_7,W_7,W_8,{\mathrm{\Phi }}_8,W_9,{\mathrm{\Phi }}_9,W_{10},{\mathrm{\Phi }}_{10},W_{11},{\mathrm{\Phi }}_{11},W_{12},{\mathrm{\Phi }}_{12},W_{13},{\mathrm{\Phi }}_{13},W_{14},{\mathrm{\Phi }}_{14})$

Unser lineares Gleichungssystem hat also 28 Einzelgleichungen, die Gesamt-Steifigkeitsmatrix vor der Einarbeitung der Randbeindungen hat die Größe $28\times 28$.

Virtuelle Formänderungsenergie

Die Gesamt-Steifigkeitsmatrix des Systems komponieren aus der den Beiträgen der 14 Elemente:

$\delta {\mathrm{\Pi }}_e=\delta {\underset{\_}{Q}}_e^T\cdot {\underset{\_}{\underset{\_}{K}}}_e\cdot {\underset{\_}{Q}}_e$,

wobei ${\underset{\_}{Q}}_e$ die Spaltenmatrix der Element-Koordinaten und ${\underset{\_}{\underset{\_}{K}}}_e$ die Element-Steifigkeitsmatrix ist.

Die Koordinanten und Element-Steifigkeitsmatrizen sind für die Elementsteifigkeitsmatrix des Dehnstabes (R ... "rod")

${\underset{\_}{Q}}_e^T=(U_j,W_j,U_k,W_k),{\underset{\_}{\underset{\_}{K}}}_{R,e}=\frac{E{A}_R}{{\ell }_e}\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_{x,e}^2& {\lambda }_{x,e}{\lambda }_{z,e}& -{\lambda }_{x,e}^2& -\left({\lambda }_{x,e}{\lambda }_{z,e}\right)\\ {\lambda }_{x,e}{\lambda }_{z,e}& {\lambda }_{z,e}^2& -\left({\lambda }_{x,e}{\lambda }_{z,e}\right)& -{\lambda }_{z,e}^2\\ -{\lambda }_{x,e}^2& -\left({\lambda }_{x,e}{\lambda }_{z,e}\right)& {\lambda }_{x,e}^2& {\lambda }_{x,e}{\lambda }_{z,e}\\ -\left({\lambda }_{x,e}{\lambda }_{z,e}\right)& -{\lambda }_{z,e}^2& {\lambda }_{x,e}{\lambda }_{z,e}& {\lambda }_{z,e}^2\end{array}\right)$

und für die Elementsteifigkeitsmatrix des Euler-Bernoulli-Balkens (B ... "Beam")

${\underset{\_}{Q}}_e^T=(W_j,{\mathrm{\Phi }}_j,W_k,{\mathrm{\Phi }}_k),{\underset{\_}{\underset{\_}{K}}}_{B,e}=\frac{E{I}_B}{{\ell }_e^3}\left(\begin{array}{cccc}12& 6{\ell }_e& -12& 6{\ell }_e\\ 6{\ell }_e& 4{\ell }_e^2& -6{\ell }_e& 2{\ell }_e^2\\ -12& -6{\ell }_e& 12& -6{\ell }_e\\ 6{\ell }_e& 2{\ell }_e^2& -6{\ell }_e& 4{\ell }_e^2\end{array}\right).$

Die Gesamt-Steifigkeitsmartix entsteht - zunächst, weil hier die Randbedingungen noch nicht berücksichtigt sind - indem wir die einzelnen Anteile der 17 Elemente zu einer leeren $28\times 28$ - Matrix hinzuaddieren. Die folgenden Bilder zeigen, wie:

Struktur des mathematischen Modells.

Farbkodierung des Modells.

Dabei müssen die einzelnen Beiträge passend zu den Gesamtmatrizen hinzugefügt werden. Am Beispiel der Element-Steifigkeitsmatrix für das Hinzufügen von Element 14 ist das im folgenden dargestellt:

Die virtuelle Formänderungsenergie von ELement 14 ist

$\delta {\mathrm{\Pi }}_{14}=\left(\delta W_3\delta W_{10}\right)\cdot \frac{E{A}_{14}}{{\ell }_{14}}\left(\begin{array}{rr}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{r}{W}_3\\ W_{10}\end{array}\right)$

Wir erhalten diese Form, indem wir einen vertikalen Stab über ${\xi }_x=0,{\xi }_y=1$ in Gelöste_Aufgaben/T312 und definieren.

Herausgehoben: die Beiträge von Element 14.

Die grün umrandeten Felder zeigen auf, an welchen Stellen diese Elemente zur Gesamtsteifigkeitsmatrix hinzugefügt werden, das Magenta-farbene Rechteck zeigt die Beiträge für Element 14.

1+1

Virtuelle Arbeiten der äußeren Kräfte am System

Die virtuellen Arbeiten der äußeren Kräfte sind die Gewichtskräfte und eine Einzelllast.

Für die Einzellast F ist

$\delta W_F^a=\delta W_n\dot{F}$,

wobei n die Knotennummer (8 ... 14) und $\delta W_n$ die virtuelle vertikale Verrückung an diesem Knoten ist.

Die virtuellen Arbeiten der Gewichtskräfte erhalten wir mit der Erdbeschleunigung $g$ und der Querschnittsfläche $A_e$ für den Dehnstab zu

$\delta W_e^a=\delta Q_e^T\cdot {\ell }_e{A}_e\varrho g\left(\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{2}\\ 0\\ \frac{1}{2}\end{array}\right)$

und für den Euler-Bernoulli-Blaken dem laut [[]] zu

$\delta W_e^a=\delta Q_e^T\cdot {\ell }_e{A}_e\varrho g\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ \frac{{\ell }_e}{12}\\ \frac{1}{2}\\ -\frac{{\ell }_e}{12}\end{array}\right)$

Einarbeiten der Randbeindgungen

Wir berücksichtgen die Randbedingungen des Systems, indem wir die behinderten Verschiebungen der entsprechenden Koordinaten und deren Variation zu Null setzten, also

$\begin{array}{llllll}{U}_1=0& W_1=0& U_7=0& W_7=0& W_8=0& W_{1}4=0\\ \delta U_1=0& \delta W_1=0& \delta U_7=0& \delta W_7=0& \delta W_8=0& \delta W_{1}4=0\\ \end{array}$

Die verbleibenden Koordinaten sind

${\underset{\_}{Q}}^T=(U_2,W_2,U_3,W_3,U_4,W_4,U_5,W_5,U_6,W_6,{\mathrm{\Phi }}_8,W_9,{\mathrm{\Phi }}_9,W_{10},{\mathrm{\Phi }}_{10},W_{11},{\mathrm{\Phi }}_{11},W_{12},{\mathrm{\Phi }}_{12},W_{13},{\mathrm{\Phi }}_{13},{\mathrm{\Phi }}_{14})$.

Die Zeilen und Spalten des Gleichungssystems mit behinderten Koordinaten streichen wir, das verbleibende Gleichungssystem ist

1+1

Verformte Brücke.

Verformte Brücke.

Spannungen in allen Bauteilen.

Ausdeuten

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