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Aufgabenstellung

Der Mittelteil einer einfachen Hängebrücke besteht aus zwei Pylonen, an denen die Tragseile (Cable) geführt werden, an denen der Fahrbahnträger (Deck) aufgehängt ist.

Der Mittelteil einer Hängebrücke

Gesucht ist ein einfaches, lineares FE-Modell für statische Spannungen und Verformungen der Seile und Fahrbahn. Die Verformung der Pylone soll icht berücksichtigt werden.

Die Spannweite der Brücke beträgt $L$=30m, die Pylonhöhe AD beträgt $H$=10m. Die Brücke wird durch ihr Gewicht und zusätzlichen Kräften zwischen D und E von $F$=10kN an den Verbindungen mit den vertikalen Seilen belastet. Die Abmessungen von Seilen und Fahrbahn-Querschnitt wählen wir passend.

Strukturieren

Gesucht ist ein mathematisches Modell für die Hängebrücke - bestehen aus Fahrbahn, Tragseil und Hängeseilen. Wir gehen davon aus, dass die Anteile der Biegesteifigkeit der Seile vernachlässigbar sind - wir sie also als Dehnstäbe wie in einem Fachwerk modellieren können. Tun wir das nicht, werden die Auslenkungen der Tragseile im linearen Ansatz sehr groß und werden erst durch die Saitenspannungen - also nichtlineare Effekte - wieder auf ein sinnvolles Maß reduziert.

Die Fahrbahn modelleiren wir als Euler-Bernoulli-Balken - Verschiebungen der Querschnittsflächen des Balkens vernachlässigen wir.

Auf die Struktur wirken ihre Gewichtskräfte und eine Einzellast. Das resultierende Gleichungssystem des FE-Modells für die Koordinaten der Auslenkung der Brücke ist von der Form

$\underset{\_}{\underset{\_}{K}}\cdot \underset{\_}{Q}=\underset{\_}{P}$

mit der Steifigkeitsmatrix $\underset{\_}{\underset{\_}{K}}$, der Spaltenmatrix der unbekannten Koordinaten $\underset{\_}{Q}$ und der Spaltenmatrix der äußeren Lasten $\underset{\_}{P}$.

Der Einfachheit halber wählen wir jeweils nur ein Finites Element zwischen den Stoßpunkten der Brückenteile.

Aufgabenstellung konkretisieren

Die Hängebrücke teilen wir somit in 12 Elemente ein. Dies sind

• die Elemente 1, ... 6 für das Tragseil
• die Elemente 7, ... 12 für die Fahrbahn und
• die Elemente 13, ... 17 für die Hängeseile.

Mit den römischen Ziffern I ... XIV kennzeichnen wir die Knotenpunkte zwischen den Elementen.

Bezeichnung der Elemente und Knoten.

Koordinten des Modells sind damit die horizontalen und vertikalen Auslenkungen der Knoten I ... VII und die vertiakle Auslenkung und Kippung der Knoten in VIII ... XIV.

Koordinaten des Modells am Beispiel von Element 14.

Modellteile für Fahrbahn und Seile

Als Element-Steifigkeitsmatrizen Elementsteifigkeitsmatrix des Dehnstabes

1+1

Struktur des mathematischen Modells.

Farbkodierung des Modells.

Struktur des mathematischen Modells.

Verformte Brücke.

Verformte Brücke.

Spannungen in allen Bauteilen.

Ausdeuten

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