Gelöste Aufgaben/Bike

Aufgabenstellung

Ein Hersteller von Scheibenbremsbelägen erhält wiederholt Reklamationen, weil Fahrräder beim Bremsen erhebliche Geräusche entwickeln oder die Gabel starke Schwingungen in der Laufradebene ausführt.

Vorderradgabel mit Scheibenbremse.

Gesucht ist ein mathematisches Modell, das die Entstehung von Geräuschen und Schwingungen an einer Vorderradgabel zu erklären hilft.

Wir simulieren dazu das dynamische Verhalten eines Vorderrades beim Bremsen mit Scheibenbremse.

Strukturieren

Wir suchen einen Mechanismus, bei dem sich eine Schwingung ohne äußere Erregung einstellt. In der Mechanik spricht man dann von einer selbsterregten Schwingung. Bei rein mechanischen Systemen wie unserem Vorderrad sind dabei oft Stick-Slip-Schwingungen die Ursache, bei denen z.B. die Bremse kurzzeitig auf der Bremsscheibe blockiert und sich dann wieder losreißt. Das charakteristische Merkmal, das diesen Mechanismus treibt, ist dabei eine fallende Kennlinie: bei fast allen Materialpaarungen ist die Haftkraft der Bremse größer als die Reibkraft.

Aufgabenstellung konkretisieren

Wir erwarten, den gesuchten Mechanismus nur anhand der Dynamik des Vorderrades beschreiben zu können. Das Vorderrad wird deshalb am Steuersatz vom Rahmen getrennt und dort – gedacht - in einer starren Führung mit konstanter horizontaler Geschwindigkeit v₀ geführt. Um das Modell einfach zu halten, untersuchen wir Schwingungen nur in der Radebene. Das ist eine wesentliche Vereinfachung, weil wir bei Schwingungen unter Einwirkung der Bremse von Bewegungen des Rades um die Steuerrad-Achse rechnen müssen. Diese Vernachlässigen wir. Eine weitere Vereinfachung führen wir durch Setzen des Steuerwinkels von 90° ein. Damit vernachlässigen wir den Beitrag einer vertikalen Bewegung: beim Schwingen der Gabel in der Radebene bleibt der Steuersatz unverändert in der Ausgangshöhe. Diese Auf- und Ab-Bewegung berücksichtigen wir also nicht.

System strukturieren

Unser verbleibendes System besteht nun aus

• Federgabel (Länge $H$) und Bremssattel (Abmessungen $h$ und $b$),
• Nabe (Außenradius $r_1$)mit Bremsscheibe (Radius $r_2$)
• Felge (Innenradius $R_2$)und Mantel (Außenradius $R_1$) sowie den
• Speichen.

Vorderradgabel mit Scheibenbremse.

Dieses System wollen wir als dynamisches System mit Bewegungen nur in der Radebene beschreiben.

Im folgenden müssen wir Annahmen zu den Systemkomponenten treffen, die unseren Vorstellung von den relevanten physikalischen Prozessen entsprechen. Dabei gehen wir nach dem Prinzip

• "keep it dead simple"

vor - was allerdings interpretationsbedürtig ist. Ein erster Iterationsschritt ist:

• "so einfach wie möglich - so kompliziert wie nötig".

Wir versuchen also, die Anzahl der Freiheitsgrade des Systems so gering wie möglich zu halten, ohne dabei das Ziel aus den Augen zu verlieren: die Simulation eines komplexen Vorgangs.

So gehe ich davon aus, dass die selbsterregte Schwingung des Systems ihren Grund in Stick-Slip-Schwingungen an der Bremse hat. Das bedeutet: bei niedrigen Fahrtgeschwindigkeiten $v_0$ wäre die Relativgeschwindigkeit zwischen Bremsscheibe und Bremsbacken Null. Das kann nur aus einer elastischen Verformung der Gabel resultieren.

Der Mechanismus könnte ungefähr so aussehen:

Beim Bremsen verformt sich die Gabel elastisch, die Nabe wandert - relativ zum Steuersatz - in Fahrtrichtung nach hinten. Damit der Mantel dabei weiter in Punkt A abrollt, reduziert sich seine Drehgeschwindigkeit und es kommt zu einer geringeren Relativgeschwindigkeit an der Bremse. Je nach Betriebsbedingungen kann hier die Relativgeschwindigkeit Null werden, die Bremsebacken haften an der Bremsscheibe und ein Stick-Slip-Mechanismus nimmt seinen Anfang. Dabei wird offensichtlich auch ein veränderliches Drehmoment zwischen der Nabe (Bremsscheibe) und Felge übertragen.

Aus diesen Anfangsüberlegungen leiten wir folgende Annahmen für die Modellierung ab:

• Als starre Körper beschrieben wir die Teilkomponenten
  • Felge & Mantel sowie,
  • Nabe & Bremsscheibe.
• Als rein elastischen Körper beschreiben wir die Speichen, die eine Verdrehung zwischen Nabe und Felge erlauben.
• Als Kontinuum mit Masse und Elastizität beschrieben wir die Federgabel. Diese hat einen über ihre Länge veränderlichen Querschnitt.

Die Herausforderung hier liegt darin, die relevanten Mechanismen nicht durch unpassende Annahmen zu unterbinden. So würde eine als starr modellierte Gabel hier vermutlich nicht zu den erhofften Schwingungserscheinungen in einer Simulation führen.

Wenn man also nicht zu zufriedenstellenden Simulationsergebnissen kommt, muss man an dieser Stelle wieder neu einsteigen und das Modell ändern.

Für die Modellierung unseres System zeichnmen sich zwei zentrale Herausforderungen ab:

1. die Gleichgewichtsbedingungen für die Gabel und
2. die Kennlinie für die Bremse und den Kontakt Mantel/Asphalt.

Für die Bremskraft als Funktion der Relativgeschwindigkeit müssen wir dann passende Kennlinien ansetzen.

Und für die Gabel wählen wir einen Euler-Bernoulli-Balken mit veränderlichem Querschnitt und schreiben die Gleichgewichtsbedingungen mit der Methode der Finiten Elemente an. Mindestens brauchen wir zwei Finite Elemente - vom Steuersatz zur Bremse und von der Bremse zur Nabe.

Als Referenzpunkte wählen wir deshalb

• $A$: den Aufstandspunkt des Rades auf dem Asphalt,
• $B$: den Berührungspunkt zwischen Bremsscheibe und Bremsbelag,
• $C$: die Achse des Rades, die Naben und Gabel verbindet sowie
• $N_0,N_1,N_2$: als Punkte entlang der x-Achse der Federgabel.

Um die Auslenkung der Federgabel zu erfassen, führen wir materielle Koordinaten $x,z$ nach Vorgabe des Euler-Bernoulli-Balkens ein. Den Ursprung des Koordinatensystems legen wir passend in die Wurzel der Gabel bei $N_0$.

Der Einfachheit halber sollen $C$ und $N_2$ zusammen fallen. Die Gabel erfassen wir also mit zwei Finiten Elementen:

1. von $N_0$ nach $N_1$ und
2. von $N_1$ nach $N_2$.

Vorderradgabel mit Scheibenbremse.

Wir trennen nun zunächst unser System in Gabel und Vorderrad und führen Koordinaten der Bewegung für sie ein. Gleichzeitig führen dabei die Naben-Schnittkäfte $C_x,C_z$, die Bremskraft $B$ und die Kontaktkräfte $A_x,A_z$ ein.

Koordinaten der Gabel für $N_1$.

Die Bewegung der Gabel erfassen wir zunächst an den Punkten $N_0,N_1,N_2$ mit den Koordinaten der Bewegung $W_i(t)$ (horizontale Auslenkung) und ${\mathrm{\Phi }}_i(t)$ (Kippen des Querschnitts) für $i=0,1,2$. Das ist für Knoten 1 rechts dargestellt. Offensichtlich ist bei einer festen Einspannung im Steuersatz $W_0(t)\equiv 0$ und ${\mathrm{\Phi }}_0(t)\equiv 0$ - was wir wie üblich bei der Methode der Finiten Elemente erst bei der Einarbeitung der Randbeidngungen berücksichtigen.

Für die Drehbewegung wollen des Vorderrades wollen wir zwei relevante Koordinaten einführen: die Drehung der Komponente Nabe & Bremsschreibe sowie die Drehung der Modellkomponenten Mantel & Felge. Um die Beschleunigung des Steuersatzes (und des Rest-Fahrrades) nicht berücksichtigen zu müssen, gehen wir von konstantem $v_0$ aus. Dann können wir die Verdrehung des Vorderrades aus den einer großen Bewegung mit konstanter Drehgeschwindigkeit und einer Abweichung davon erfassen:

Freikörperbild Vorderrrad.

Als Koordinaten der Drehbewegung führen wir

• für die Rollbewegung $R_1\mathrm{\Omega }\cdot t=v_0\cdot t$ als Referenzgeschwindigkeit ein und relativ dazu
• den Winkel ${\mathrm{\Psi }}_1(t)$ für Felge/Mantel und
• den Winkel ${\mathrm{\Psi }}_2(t)$ für Nabe/Bremsscheibe.

Die horizontale Translationsbewegung des Rades erfassen wir über die Nabe - seine Auslenkung ist dann $W_2(t)$.

Wir sammeln die Koordinaten der Bewegung für unser System nun in der Spaltenmatrix

$\underset{\_}{\tilde{Q}}=\left(\begin{array}{c}{W}_0\\ {\mathrm{\Phi }}_0\\ W_1\\ {\mathrm{\Phi }}_1\\ W_2\\ {\mathrm{\Phi }}_2,\\ {\mathrm{\Psi }}_1,\\ {\mathrm{\Psi }}_2\end{array}\right)$

---

Zum Abschluss dieses Anschnitts werfen wir noch einen kurzen Blick auf den nächsten Schnitt: die Formulierung des mathematischen Modell:

Wegen der festen Einspannung der Gabel im Steuersatz bleiben dann nach Einarbeitung er Randbedingungen noch sechs Koordinaten

$\underset{\_}{Q}=\left(\begin{array}{c}{W}_1\\ {\mathrm{\Phi }}_1\\ W_2\\ {\mathrm{\Phi }}_2,\\ {\mathrm{\Psi }}_1,\\ {\mathrm{\Psi }}_2\end{array}\right)$

übrig, so dass wir davon ausgehen, ein System gewöhnlicher, nichtlinearer Differentialgleichungen zweiter Ordnung wie dieses zu lösen

$\underset{\_}{\underset{\_}{M}}\cdot \ddot{\underset{\_}{Q}}+\underset{\_}{\underset{\_}{K}}\cdot \underset{\_}{Q}=\underset{\_}{P}(\underset{\_}{Q},\dot{\underset{\_}{Q}})$,

wobei $\underset{\_}{\underset{\_}{M}},\underset{\_}{\underset{\_}{K}}$ die Massen- bzw. Steifigkeitsmatrix sind und wir in $\underset{\_}{P}$ die nichtlinearen Anteile aus den Brems-Kennlinien sammeln.

Um mit diesen Gleichungen einen Anschluss an die Lösungsroutinen von Matlab zu finden, schreiben wir dies als Differentialgleichungssystem erster Ordnung um:

$\begin{array}{lll}\dot{\underset{\_}{Q}}& =& \underset{\_}{Q}\\ \dot{\underset{\_}{R}}& =& {\underset{\_}{\underset{\_}{M}}}^{-1}\cdot (\underset{\_}{P}-\underset{\_}{\underset{\_}{K}}\cdot \underset{\_}{Q})\end{array}$,

so dass wir mit

$\underset{\_}{Y}=\left(\begin{array}{l}\underset{\_}{Q}\\ \underset{\_}{R}\\ \end{array}\right)$

unser mathematisches Modell als

$\begin{array}{lll}\dot{\underset{\_}{Y}}& =& \left(\begin{array}{l}\underset{\_}{R}\\ {\underset{\_}{\underset{\_}{M}}}^{-1}\cdot (\underset{\_}{P}-\underset{\_}{\underset{\_}{K}}\cdot \underset{\_}{Q})\end{array}\right)\\ & =& \underset{\_}{f}\left(\underset{\_}{Y}\right)\\ \end{array}$

schreiben werden.

Modellieren

Schnittmomente statischer Fall

Bevor wir das mathematische Modell anschreiben, schaffen wir uns als Referenz die berechneten Schnittgrößen im Euler-Bernoulli-Balken für den statischen Fall. Dafür geben wir uns eine Bremskraft $B$ vor

Freikörperbild Gabel.

Ausgangspunkt sind die Gleichgewichtsbedingungen für das Vorderrad, aus denen wir $A_H,B,C_H$ berechnen können.

Dafür benötigen wir die Bremskraft $B$ aufgeteilt in die Komponenten

$\underset{\_}{B}=\left(\begin{array}{c}{B}_x\\ B_z\end{array}\right)$,

wobei $B_x=B\cdot \sin (\alpha ),B_z\cdot \cos (\alpha )$ mit $\cos (\alpha )=h/r_2,\sin (\alpha )=b/r_2$ und

So kommen aus den Momentengleichgewichten

$\begin{array}{l}{R}_1\cdot A_H=r_2\cdot B\\ (h+R_1)\cdot B_z+b\cdot B_x+R_1\cdot C_H=0\end{array}$

und $\underset{\_}{B}$ die Schnittkräfte

$\begin{array}{l}{A}_H=\frac{\left(r_{2}B\right)}{R_1},\\ C_H=-B\frac{h^2+R_{1}h+b^2}{R_1{r}_2}\end{array}$

Freikörperbild Gabel.

Mit den Schnittbildern rechts und den zugehörigen Gleichgewichtsbedingungen können wir damit die Schnittmomente $M_1(x_1),M_2(x_2)$ mit ${\xi }_i=x_i/{\ell }_i$ berechnen:

$\begin{array}{lll}{M}_1(x_1)& =r_{2}B\cdot & \frac{(R_1{h}^2-R_1{\ell }_{2}h-r_2^2{\ell }_2+(({\xi }_1-1){\ell }_1-R_1)r_2^2)}{(R_1{r}_2^2)}\\ M_2(x_2)& =r_{2}B\cdot & \frac{((R_1{\xi }_2-R_1){\ell }_{2}h+(r_2^2{\xi }_2-r_2^2){\ell }_2)}{(R_1{r}_2^2)}\end{array}$

Verlauf des Schnittmoments.

📑 toggle code

/*********************************************************/
/* MAXIMA script                                         */
/* version: wxMaxima 21.05.2                             */
/* author: Andreas Baumgart                              */
/* last updated: 2025-03-27                              */
/* ref: self-excitaation of bike-breakes                 */
/* description: analytische Lösung für die Schnittgrößen */
/*********************************************************/

assume(mm>0);
/* paramteres */
params: [ℓ[1]=H-h,
         ℓ[2]=h,
         r[2] = 100*mm,
         R[1] = 350*mm,
         H = 375*mm,
         h =  90*mm];

/* equilibrium conditions components */
GGW: [A[H]*R[1] = B*r[2],
      R[1]*C[H] + (R[1]+h)*B[z] + b*B[x] = 0,
      B[x] = B*sin(α), B[z] = B*cos(α),
      cos(α) = h/r[2], sin(α) = b/r[2]];

/* equilibrium conditions for internal loads Q, M */
ggw: [Q[2] = -C[H],
      M[2] = (ℓ[2]-x[2])*C[H],
      Q[1] = -C[H]-B[z],
      M[1] = (ℓ[2]+ℓ[1]-x[1])*C[H] + (ℓ[1]-x[1])*B[z]-b*B[x]];

rep: [h^2 = r[2]^2 - b^2, h = ℓ[2]]; 

sol: solve(GGW, [A[H],C[H],B[x],B[z],cos(α),sin(α)])[1];
sol: append(sol,ratsimp(subst(sol, ggw)));

/* use dimensionless coordiantes */
dimless:  [x[1] = ℓ[1]*ξ[1],
           x[2] = ℓ[2]*ξ[2]];

/* cross-sectional moments */
mom: ratsimp(subst([b^2 = r[2]^2-h^2],expand(subst(dimless,subst(sol,[M[1],M[2]])))));

/* plot section-wise */
mmm: ratsimp(mom/(r[2]*B));
mmm: ratsimp(subst([ξ[1]=ξ,ξ[2]=ξ],subst(params, mmm)));

plot2d([[parametric, subst(params,     ℓ[1]*ξ)/mm, mmm[1], [ξ,0,1]],
        [parametric, subst(params,ℓ[1]+ℓ[2]*ξ)/mm, mmm[2], [ξ,0,1]]],
        [legend,"sec- I","sec-II"], [xlabel, "x/mm ->"], [ylabel, "M/r_2*B ->"])$

Modell für die numerische Behandlung anpassen

$\underset{\_}{\delta \tilde{Q}}=\left(\begin{array}{c}\delta W_0\\ \delta {\mathrm{\Phi }}_0\\ \delta W_1\\ \delta {\mathrm{\Phi }}_1\\ \delta W_2\\ \delta {\mathrm{\Phi }}_2,\\ \delta {\mathrm{\Psi }}_1,\\ \delta {\mathrm{\Psi }}_2\end{array}\right)$

$\underset{\_}{Y}=\left(\begin{array}{c}\underset{\_}{Q}\\ \underset{\_}{\dot{Q}}\end{array}\right)$

$\begin{array}{ll}\underset{\_}{\dot{Y}}& =\underset{\_}{f}\left(\underset{\_}{Y}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}\underset{\_}{\dot{Q}}\\ -{\underset{\_}{\underset{\_}{M}}}^{-1}\cdot \underset{\_}{\underset{\_}{K}}\cdot \underset{\_}{Q}+{\underset{\_}{\underset{\_}{M}}}^{-1}\cdot \underset{\_}{P}\end{array}\right)\end{array}$

Querschnitt.

$\underset{\_}{\underset{\_}{M}}\cdot \underset{\_}{\ddot{Q}}+\underset{\_}{\underset{\_}{K}}\cdot \underset{\_}{Q}=\underset{\_}{P}(\underset{\_}{Q},\underset{\_}{\dot{Q}})$

$\begin{array}{lcc}\delta W& =& \delta W^a-\delta \mathrm{\Pi }\\ & \stackrel{!}{=}& 0\end{array}$

$\delta \mathrm{\Pi }=\delta {\mathrm{\Pi }}_G+\delta {\mathrm{\Pi }}_S$

$\delta {\mathrm{\Pi }}_S=K_S\cdot ({\mathrm{\Psi }}_2-{\mathrm{\Psi }}_1)\cdot (\delta {\mathrm{\Psi }}_2-\delta {\mathrm{\Psi }}_1)$

$\delta {\mathrm{\Pi }}_G=\delta {\mathrm{\Pi }}_{G1}+\delta {\mathrm{\Pi }}_{G2}$

$\delta {\mathrm{\Pi }}_{Gi}=\underset{0}{\overset{{\ell }_i}{\int }}{M}_i(x)\cdot \delta {w_i}^{″}(x)dx$

$M_i(x)=E\cdot I(x)\cdot {w_i}^{″}(x)$

$w_i(x)={\underset{\_}{Q}}_i^T\cdot \underset{\_}{\phi }$

$\underset{\_}{\phi }=\left(\begin{array}{c}(\xi -1{)}^2\cdot (2\cdot \xi +1)\\ {\ell }_i\cdot \xi \cdot (\xi -1{)}^2\\ -{\xi }^2\cdot (2\xi -3)\\ {\ell }_i\cdot {\xi }^2\cdot (\xi -1)\end{array}\right)$

${\underset{\_}{\tilde{Q}}}_i=\left(\begin{array}{c}{W}_{i-1}\\ {\mathrm{\Phi }}_{i-q}\\ W_i\\ {\mathrm{\Phi }}_i\end{array}\right)$

$\delta {\mathrm{\Pi }}_{Gi}=\underset{0}{\overset{{\ell }_i}{\int }}E\cdot I_i(x)\cdot (W_{i-1}{{\phi }_1}^{″}\cdot \delta W_{i-1}{{\phi }_1}^{″}+{\mathrm{\Phi }}_{i-1}{{\phi }_2}^{″}\cdot \delta W_{i-1}{{\phi }_1}^{″}+W_i{{\phi }_3}^{″}\cdot \delta W_{i-1}{{\phi }_1}^{″}+\dots +{\mathrm{\Phi }}_i{{\phi }_4}^{″}\cdot \delta {\mathrm{\Phi }}_i{{\phi }_4}^{″})$

$(.):=\frac{d(.)}{dx}$

$\delta {\mathrm{\Pi }}_{Gi}=\delta Q_i^T\cdot {\underset{\_}{\underset{\_}{K}}}_i\cdot Q_i$

$k_{i,jk}=\underset{0}{\overset{{\ell }_i}{\int }}E\cdot I_i(x){{\phi }_j}^{″}\cdot {{\phi }_k}^{″}dx$

$I_i(x)=\frac{\pi }{64}(D_i(x{)}^4-d_i(x{)}^4)$

$\begin{array}{ccccc}{D}_i(x)& =& D_{i-1}\cdot ({\xi }_1-1)& +& D_i\cdot {\xi }_1\\ d_i(x)& =& d_{i-1}\cdot ({\xi }_1-1)& +& d_i\cdot {\xi }_1\end{array}$

${\xi }_1=\frac{x}{{\ell }_1}$

${\xi }_2=\frac{(x-H)}{{\ell }_2}$

$\frac{d(.)}{dx}=\frac{d(.)}{d{\xi }_i}\cdot \frac{1}{{\ell }_i}$

$\underset{\_}{\underset{\_}{K}}=\left(\begin{array}{cccccc}{k}_{1,33}+k_{2,11}& k_{1,34}+k_{2,12}& k_{2,13}& k_{2,14}& 0& 0\\ k_{1,34}+k_{2,12}& k_{1,44}+k_{2,22}& k_{2,23}& k_{2,24}& 0& 0\\ k_{2,13}& k_{2,23}& k_{2,33}& k_{2,34}& 0& 0& \\ k_{2,14}& k_{2,24}& k_{2,34}& k_{2,44}& 0& 0& \\ 0& 0& 0& 0& K_S& -K_S\\ 0& 0& 0& 0& -K_S& K_S\\ \end{array}\right)$

$\underset{\_}{\underset{\_}{A}}=\left(\begin{array}{ccccccc}& & & & & & 0\\ & & & \underset{\_}{\underset{\_}{K}}& & & 0\\ & & & & & & 0\\ 0& 0& 1& 0& R_1& 0& 0\\ \end{array}\right)$

$\underset{\_}{b}=\left(\begin{array}{c}\\ \underset{\_}{P}\\ \\ 0\end{array}\right)$

$\underset{\_}{x}=\left(\begin{array}{c}\\ \underset{\_}{Q}\\ \\ A_H\end{array}\right)$

$\underset{\_}{\underset{\_}{\tilde{K}}}=\left(\begin{array}{cccccccc}{k}_{1,11}& k_{1,12}& k_{1,13}& k_{1,14}& 0& 0& 0& 0\\ k_{1,12}& k_{1,22}& k_{1,23}& k_{1,24}& 0& 0& 0& 0\\ k_{1,13}& k_{1,23}& k_{1,33}+k_{2,11}& k_{1,34}+k_{2,12}& k_{2,13}& k_{2,14}& 0& 0\\ k_{1,14}& k_{1,24}& k_{1,34}+k_{2,12}& k_{1,44}+k_{2,22}& k_{2,23}& k_{2,24}& 0& 0\\ 0& 0& k_{2,13}& k_{2,23}& k_{2,33}& k_{2,34}& 0& 0& \\ 0& 0& k_{2,14}& k_{2,24}& k_{2,34}& k_{2,44}& 0& 0& \\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& K_S& -K_S\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& -K_S& K_S\\ \end{array}\right)$

$\underset{\_}{\underset{\_}{\tilde{M}}}=\left(\begin{array}{cccccccc}{m}_{1,11}& m_{1,12}& k_{m,13}& m_{1,14}& 0& 0& 0& 0\\ m_{1,12}& m_{1,22}& k_{m,23}& m_{1,24}& 0& 0& 0& 0\\ m_{1,13}& m_{1,23}& k_{m,33}+m_{2,11}& m_{1,34}+m_{2,12}& m_{2,13}& m_{2,14}& 0& 0\\ m_{1,14}& m_{1,24}& k_{m,34}+m_{2,12}& m_{1,44}+m_{2,22}& m_{2,23}& m_{2,24}& 0& 0\\ 0& 0& m_{2,13}& m_{2,23}& m_{2,33}+M_f+M_n& m_{2,34}& 0& 0& \\ 0& 0& m_{2,14}& m_{2,24}& m_{2,34}& m_{2,44}& 0& 0& \\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& J_f& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& J_n\\ \end{array}\right)$

${\underset{\_}{r}}_{B,1}=\left(\begin{array}{c}H-h-b\cdot \sin ({\mathrm{\Phi }}_1(t))\\ -v_{0}t+W_1(t)+b\cdot \cos ({\mathrm{\Phi }}_1(t))\end{array}\right)$

${\underset{\_}{r}}_{B,2}=\left(\begin{array}{c}H-r_2\cdot \cos (\mathrm{\Omega }t+{\mathrm{\Psi }}_2(t)+{\mathrm{\Theta }}_2)\\ -v_{0}t+W_2(t)-r_2\cdot \sin (\mathrm{\Omega }t+{\mathrm{\Psi }}_2(t)+{\mathrm{\Theta }}_2)\end{array}\right)$

${\underset{\_}{r}}_A=\left(\begin{array}{c}H-R_1\cdot \cos (\mathrm{\Omega }t+{\mathrm{\Psi }}_1(t)+{\mathrm{\Theta }}_1)\\ -v_{0}t+W_1(t)-R_1\cdot \sin (\mathrm{\Omega }t+{\mathrm{\Psi }}_1(t)+{\mathrm{\Theta }}_1)\end{array}\right)$

${\underset{\_}{v}}_{B,rel}={\underset{\_}{\dot{r}}}_{B,1}-{\underset{\_}{\dot{r}}}_{B,2}$

$\begin{array}{lll}{\underset{\_}{v}}_{A,rel}& =& {\underset{\_}{\dot{r}}}_A\\ & =& \left(\begin{array}{c}0\\ -v_0+R_1\cdot (\mathrm{\Omega }+{\dot{\mathrm{\Psi }}}_1(t))+{\dot{W}}_2(t)\end{array}\right)\end{array}$

$\dot{(.)}:=\frac{d(.)}{dt}$

$\delta W^a=\delta W_A^a+\delta W_B^a+\delta W_{d^{\prime }Alembert}^a$

$\begin{array}{lll}{\mathrm{\Theta }}_1& =& -\mathrm{\Omega }t-{\mathrm{\Psi }}_1(t)+\pi \\ {\mathrm{\Theta }}_2& =& -\mathrm{\Omega }t-{\mathrm{\Psi }}_1(t)+\psi \end{array}$

$\delta {\underset{\_}{r}}_{B,1}=\left(\begin{array}{c}-\delta {\mathrm{\Phi }}_{1}b\\ \delta W_1\end{array}\right)$

$\delta {\underset{\_}{r}}_{B2}=\left(\begin{array}{c}{r}_2\cdot \delta {\mathrm{\Psi }}_2\sin (\psi )\\ \delta W_2-r_2\cdot \delta {\mathrm{\Psi }}_2\cos (\psi )\end{array}\right)$

$\delta {\underset{\_}{r}}_A=\left(\begin{array}{c}0\\ \delta W_2+R_1\cdot \delta {\mathrm{\Psi }}_1\end{array}\right)$

$\delta W_A^a={\underset{\_}{F}}_A^T\cdot \delta {\underset{\_}{r}}_A$

$\delta W_B^a={\underset{\_}{F}}_B^T\cdot \delta {\underset{\_}{r}}_{B,1}-{\underset{\_}{F}}_B^T\cdot \delta {\underset{\_}{r}}_{B,2}$

${\underset{\_}{F}}_B=\left(\begin{array}{c}{B}_x\\ B_z\end{array}\right)$

${\underset{\_}{F}}_A=\left(\begin{array}{c}{A}_V\\ A_H\end{array}\right)$

$\begin{array}{lll}h& =& r_2\cos (\psi )\\ b& =-& r_2\sin (\psi )\end{array}$

$\delta W_A^a+\delta W_B^a=B_z\cdot \delta W_1-b\cdot B_x\cdot \delta {\mathrm{\Phi }}_1+\delta W_2\dot{(}{A}_H-B_z)+\delta {\mathrm{\Psi }}_1\cdot R_1\cdot A_H+\delta {\mathrm{\Psi }}_2\cdot (r_2\cdot B_z\cdot \cos (\psi )-r_2\cdot B_x\cdot \sin (\psi ))$

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