Gelöste Aufgaben/Bike

Aufgabenstellung

Ein Hersteller von Scheibenbremsbelägen erhält wiederholt Reklamationen, weil Fahrräder beim Bremsen erhebliche Geräusche entwickeln oder die Gabel starke Schwingungen in der Laufradebene ausführt.

Vorderradgabel mit Scheibenbremse.

Gesucht ist ein mathematisches Modell, das die Entstehung von Geräuschen und Schwingungen an einer Vorderradgabel zu erklären hilft.

Wir simulieren dazu das dynamische Verhalten eines Vorderrades beim Bremsen mit Scheibenbremse.

Strukturieren

Wir suchen einen Mechanismus, bei dem sich eine Schwingung ohne äußere Erregung einstellt. In der Mechanik spricht man dann von einer selbsterregten Schwingung. Bei rein mechanischen Systemen wie unserem Vorderrad sind dabei oft Stick-Slip-Schwingungen die Ursache, bei denen z.B. die Bremse kurzzeitig auf der Bremsscheibe blockiert und sich dann wieder losreißt. Das charakteristische Merkmal, das diesen Mechanismus treibt, ist dabei eine fallende Kennlinie: bei fast allen Materialpaarungen ist die Haftkraft der Bremse größer als die Reibkraft.

Aufgabenstellung konkretisieren

Wir erwarten, den gesuchten Mechanismus nur anhand der Dynamik des Vorderrades beschreiben zu können. Das Vorderrad wird deshalb am Steuersatz vom Rahmen getrennt und dort – gedacht - in einer starren Führung mit konstanter horizontaler Geschwindigkeit v₀ geführt. Um das Modell einfach zu halten, untersuchen wir Schwingungen nur in der Radebene. Das ist eine wesentliche Vereinfachung, weil wir bei Schwingungen unter Einwirkung der Bremse von Bewegungen des Rades um die Steuerrad-Achse rechnen müssen. Diese Vernachlässigen wir. Eine weitere Vereinfachung führen wir durch Setzen des Steuerwinkels von 90° ein. Damit vernachlässigen wir den Beitrag einer vertikalen Bewegung: beim Schwingen der Gabel in der Radebene bleibt der Steuersatz unverändert in der Ausgangshöhe. Diese Auf- und Ab-Bewegung berücksichtigen wir also nicht.

System strukturieren

Unser verbleibendes System besteht nun aus

• Federgabel (Länge $H$) und Bremssattel (Abmessungen $h$ und $b$),
• Nabe (Außenradius $r_1$)mit Bremsscheibe (Radius $r_2$)
• Felge (Innenradius $R_2$)und Mantel (Außenradius $R_1$) sowie den
• Speichen.

Dieses System wollen wir als dynamisches System mit Bewegungen nur in der Radebene beschreiben. Wir machen folgende Annahmen für die Modellierung: Als starre Körper beschrieben wir die Teilkomponenten

• Felge & Mantel sowie,
• Nabe & Bremsscheibe.
• Als rein elastischen Körper beschreiben wir die Speichen, die eine Verdrehung zwischen Nabe und Felge erlauben.

Als Kontinuum mit Masse und Elastizität beschrieben wir die Federgabel. Diese hat einen über ihre Länge veränderlichen Querschnitt.

Als Referenzpunkte wählen wir $A$: den Aufstandspunkt des Rades auf dem Asphalt, $B$: den Berührungspunkt zwischen Bremsscheibe und Bremsbelag, $C$: die Achse des Rades, die Naben und Gabel verbindet sowie $N_0,N_1,N_2$: als Punkte entlang der x-Achse der Federgabel. Um die Auslenkung der Federgabel zu erfassen, führen wir materielle Koordinaten $x,z$ nach Vorgabe des Euler-Bernoulli-Balkens ein. Den Ursprung des Koordinatensystems legen wir passend in die Wurzel der Gabel bei $N_0$.

Vorderradgabel mit Scheibenbremse.

Vorderradgabel mit Scheibenbremse.

Der Einfachheit halber sollen $C$ und $N_2$ zusammen fallen. Wir modellieren die Gabel mit zwei Finiten Elementen: von $N_0$ nach $N_1$ und von $N_1$ nach $N_2$.

Als Koordinaten der Drehbewegung führen wir $R_1\mathrm{\Omega }t=v_0$ und relativ dazu ${\mathrm{\Psi }}_1(t)$ für Felge/Mantel und ${\mathrm{\Psi }}_2(t)$ für Nabe/Bremsscheibe ein.

Freikörperbild Vorderrrad.

Freikörperbild Gabel.

Koordinaten der Gabel für $N_1$.

Die Bewegung der Gabel erfassen wir zunächst an den Punkten $N_0,N_1,N_2$ mit den Koordinaten der Bewegung $W_i(t)$ (horizontale Auslenkung) und ${\mathrm{\Phi }}_i(t)$ (Kippen des Querschnitts) für $i=0,1,2$.

Schnittlasten.

Querschnitt.

$\underset{\_}{\tilde{Q}}=\left(\begin{array}{c}{W}_0\\ {\mathrm{\Phi }}_0\\ W_1\\ {\mathrm{\Phi }}_1\\ W_2\\ {\mathrm{\Phi }}_2,\\ {\mathrm{\Psi }}_1,\\ {\mathrm{\Psi }}_2\end{array}\right)$

$\underset{\_}{\delta \tilde{Q}}=\left(\begin{array}{c}\delta W_0\\ \delta {\mathrm{\Phi }}_0\\ \delta W_1\\ \delta {\mathrm{\Phi }}_1\\ \delta W_2\\ \delta {\mathrm{\Phi }}_2,\\ \delta {\mathrm{\Psi }}_1,\\ \delta {\mathrm{\Psi }}_2\end{array}\right)$

$\underset{\_}{Y}=\left[\begin{array}{c}\underset{\_}{Q}\\ \underset{\_}{\dot{Q}}\end{array}\right]$

$\begin{array}{ll}\underset{\_}{\dot{Y}}& =\underset{\_}{f}\left(\underset{\_}{Y}\right)\\ & =\left[\begin{array}{l}\underset{\_}{\dot{Q}}\\ -{\underset{\_}{\underset{\_}{M}}}^{-1}\cdot \underset{\_}{\underset{\_}{K}}\cdot \underset{\_}{Q}+{\underset{\_}{\underset{\_}{M}}}^{-1}\cdot \underset{\_}{P}\end{array}\right]\end{array}$

$\underset{\_}{\underset{\_}{M}}\cdot \underset{\_}{\ddot{Q}}+\underset{\_}{\underset{\_}{K}}\cdot \underset{\_}{Q}=\underset{\_}{P}(\underset{\_}{Q},\underset{\_}{\dot{Q}})$

$\begin{array}{lcc}\delta W& =& \delta W^a-\delta \mathrm{\Pi }\\ & \stackrel{!}{=}& 0\end{array}$

$\delta \mathrm{\Pi }=\delta {\mathrm{\Pi }}_G+\delta {\mathrm{\Pi }}_S$

$\delta {\mathrm{\Pi }}_S=K_S\cdot ({\mathrm{\Psi }}_2-{\mathrm{\Psi }}_1)\cdot (\delta {\mathrm{\Psi }}_2-\delta {\mathrm{\Psi }}_1)$

$\delta {\mathrm{\Pi }}_G=\delta {\mathrm{\Pi }}_{G1}+\delta {\mathrm{\Pi }}_{G2}$

$\delta {\mathrm{\Pi }}_{Gi}=\underset{0}{\overset{{\ell }_i}{\int }}{M}_i(x)\cdot \delta {w_i}^{″}(x)dx$

$M_i(x)=E\cdot I(x)\cdot {w_i}^{″}(x)$

$w_i(x)={\underset{\_}{Q}}_i^T\cdot \underset{\_}{\phi }$

$\underset{\_}{\phi }=\left[\begin{array}{c}(\xi -1{)}^2\cdot (2\cdot \xi +1)\\ {\ell }_i\cdot \xi \cdot (\xi -1{)}^2\\ -{\xi }^2\cdot (2\xi -3)\\ {\ell }_i\cdot {\xi }^2\cdot (\xi -1)\end{array}\right]$

${\underset{\_}{\tilde{Q}}}_i=\left(\begin{array}{c}{W}_{i-1}\\ {\mathrm{\Phi }}_{i-q}\\ W_i\\ {\mathrm{\Phi }}_i\end{array}\right)$

$\delta {\mathrm{\Pi }}_{Gi}=\underset{0}{\overset{{\ell }_i}{\int }}E\cdot I_i(x)\cdot (W_{i-1}{{\phi }_1}^{″}\cdot \delta W_{i-1}{{\phi }_1}^{″}+{\mathrm{\Phi }}_{i-1}{{\phi }_2}^{″}\cdot \delta W_{i-1}{{\phi }_1}^{″}+W_i{{\phi }_3}^{″}\cdot \delta W_{i-1}{{\phi }_1}^{″}+\dots +{\mathrm{\Phi }}_i{{\phi }_4}^{″}\cdot \delta {\mathrm{\Phi }}_i{{\phi }_4}^{″})$

$(.):=\frac{d(.)}{dx}$

$\delta {\mathrm{\Pi }}_{Gi}=\delta Q_i^T\cdot {\underset{\_}{\underset{\_}{K}}}_i\cdot Q_i$

$k_{i,jk}=\underset{0}{\overset{{\ell }_i}{\int }}E\cdot I_i(x){{\phi }_j}^{″}\cdot {{\phi }_k}^{″}dx$

$I_i(x)=\frac{\pi }{64}(D_i(x{)}^4-d_i(x{)}^4)$

$\begin{array}{ccccc}{D}_i(x)& =& D_{i-1}\cdot ({\xi }_1-1)& +& D_i\cdot {\xi }_1\\ d_i(x)& =& d_{i-1}\cdot ({\xi }_1-1)& +& d_i\cdot {\xi }_1\end{array}$

${\xi }_1=\frac{x}{{\ell }_1}$

${\xi }_2=\frac{(x-H)}{{\ell }_2}$

$\frac{d(.)}{dx}=\frac{d(.)}{d{\xi }_i}\cdot \frac{1}{{\ell }_i}$

$\underset{\_}{\underset{\_}{K}}=\left(\begin{array}{cccccc}{k}_{1,33}+k_{2,11}& k_{1,34}+k_{2,12}& k_{2,13}& k_{2,14}& 0& 0\\ k_{1,34}+k_{2,12}& k_{1,44}+k_{2,22}& k_{2,23}& k_{2,24}& 0& 0\\ k_{2,13}& k_{2,23}& k_{2,33}& k_{2,34}& 0& 0& \\ k_{2,14}& k_{2,24}& k_{2,34}& k_{2,44}& 0& 0& \\ 0& 0& 0& 0& K_S& -K_S\\ 0& 0& 0& 0& -K_S& K_S\\ \end{array}\right)$

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{array}“): {\displaystyle \underline{\underline{A}} = \left( \begin{array}{ccccccc} &&&&&&0\\ &&&\underline{\underline{K}}} &&0\\ &&&&&&0\\ 0&0&0&0&1&0&1&0 \end{array} }

$\underset{\_}{\underset{\_}{\tilde{K}}}=\left(\begin{array}{cccccccc}{k}_{1,11}& k_{1,12}& k_{1,13}& k_{1,14}& 0& 0& 0& 0\\ k_{1,12}& k_{1,22}& k_{1,23}& k_{1,24}& 0& 0& 0& 0\\ k_{1,13}& k_{1,23}& k_{1,33}+k_{2,11}& k_{1,34}+k_{2,12}& k_{2,13}& k_{2,14}& 0& 0\\ k_{1,14}& k_{1,24}& k_{1,34}+k_{2,12}& k_{1,44}+k_{2,22}& k_{2,23}& k_{2,24}& 0& 0\\ 0& 0& k_{2,13}& k_{2,23}& k_{2,33}& k_{2,34}& 0& 0& \\ 0& 0& k_{2,14}& k_{2,24}& k_{2,34}& k_{2,44}& 0& 0& \\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& K_S& -K_S\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& -K_S& K_S\\ \end{array}\right)$

$\underset{\_}{\underset{\_}{\tilde{M}}}=\left(\begin{array}{cccccccc}{m}_{1,11}& m_{1,12}& k_{m,13}& m_{1,14}& 0& 0& 0& 0\\ m_{1,12}& m_{1,22}& k_{m,23}& m_{1,24}& 0& 0& 0& 0\\ m_{1,13}& m_{1,23}& k_{m,33}+m_{2,11}& m_{1,34}+m_{2,12}& m_{2,13}& m_{2,14}& 0& 0\\ m_{1,14}& m_{1,24}& k_{m,34}+m_{2,12}& m_{1,44}+m_{2,22}& m_{2,23}& m_{2,24}& 0& 0\\ 0& 0& m_{2,13}& m_{2,23}& m_{2,33}+M_f+M_n& m_{2,34}& 0& 0& \\ 0& 0& m_{2,14}& m_{2,24}& m_{2,34}& m_{2,44}& 0& 0& \\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& J_f& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& J_n\\ \end{array}\right)$

${\underset{\_}{r}}_{B,1}=\left(\begin{array}{c}H-h-b\cdot \sin ({\mathrm{\Phi }}_1(t))\\ -v_{0}t+W_1(t)+b\cdot \cos ({\mathrm{\Phi }}_1(t))\end{array}\right)$

${\underset{\_}{r}}_{B,2}=\left(\begin{array}{c}H-r_2\cdot \cos (\mathrm{\Omega }t+{\mathrm{\Psi }}_2(t)+{\mathrm{\Theta }}_2)\\ -v_{0}t+W_2(t)-r_2\cdot \sin (\mathrm{\Omega }t+{\mathrm{\Psi }}_2(t)+{\mathrm{\Theta }}_2)\end{array}\right)$

${\underset{\_}{r}}_A=\left(\begin{array}{c}H-R_1\cdot \cos (\mathrm{\Omega }t+{\mathrm{\Psi }}_1(t)+{\mathrm{\Theta }}_1)\\ -v_{0}t+W_1(t)-R_1\cdot \sin (\mathrm{\Omega }t+{\mathrm{\Psi }}_1(t)+{\mathrm{\Theta }}_1)\end{array}\right)$

${\underset{\_}{v}}_{B,rel}={\underset{\_}{\dot{r}}}_{B,1}-{\underset{\_}{\dot{r}}}_{B,2}$

$\begin{array}{lll}{\underset{\_}{v}}_{A,rel}& =& {\underset{\_}{\dot{r}}}_A\\ & =& \left(\begin{array}{c}0\\ -v_0+R_1\cdot (\mathrm{\Omega }+{\dot{\mathrm{\Psi }}}_1(t))+{\dot{W}}_2(t)\end{array}\right)\end{array}$

$\dot{(.)}:=\frac{d(.)}{dt}$

$\delta W^a=\delta W_A^a+\delta W_B^a+\delta W_{d^{\prime }Alembert}^a$

$\begin{array}{lll}{\mathrm{\Theta }}_1& =& -\mathrm{\Omega }t-{\mathrm{\Psi }}_1(t)+\pi \\ {\mathrm{\Theta }}_2& =& -\mathrm{\Omega }t-{\mathrm{\Psi }}_1(t)+\psi \end{array}$

$\delta {\underset{\_}{r}}_{B,1}=\left(\begin{array}{c}-\delta {\mathrm{\Phi }}_{1}b\\ \delta W_1\end{array}\right)$

$\delta {\underset{\_}{r}}_{B2}=\left(\begin{array}{c}{r}_2\cdot \delta {\mathrm{\Psi }}_2\sin (\psi )\\ \delta W_2-r_2\cdot \delta {\mathrm{\Psi }}_2\cos (\psi )\end{array}\right)$

$\delta {\underset{\_}{r}}_A=\left(\begin{array}{c}0\\ \delta W_2+R_1\cdot \delta {\mathrm{\Psi }}_1\end{array}\right)$

$\delta W_A^a={\underset{\_}{F}}_A^T\cdot \delta {\underset{\_}{r}}_A$

$\delta W_B^a={\underset{\_}{F}}_B^T\cdot \delta {\underset{\_}{r}}_{B,1}-{\underset{\_}{F}}_B^T\cdot \delta {\underset{\_}{r}}_{B,2}$

${\underset{\_}{F}}_B=\left(\begin{array}{c}{B}_x\\ B_z\end{array}\right)$

${\underset{\_}{F}}_A=\left(\begin{array}{c}{A}_V\\ A_H\end{array}\right)$

$\begin{array}{lll}h& =& r_2\cos (\psi )\\ b& =-& r_2\sin (\psi )\end{array}$

$\delta W_A^a+\delta W_B^a=B_z\cdot \delta W_1-b\cdot B_x\cdot \delta {\mathrm{\Phi }}_1+\delta W_2\dot{(}{A}_H-B_z)+\delta {\mathrm{\Psi }}_1\cdot R_1\cdot A_H+\delta {\mathrm{\Psi }}_2\cdot (r_2\cdot B_z\cdot \cos (\psi )-r_2\cdot B_x\cdot \sin (\psi ))$

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