Sources/Lexikon/Quaternionen für Drehungen

Einheits-Quaternionen sind ein probates Werkzeug, um die räumliche Orientierung von Körpern zu beschreiben und räumliche Drehungen durchzuführen.

3D visualization einer Rotation bzgl. der Euler-Axe $\overrightarrow{r}$ um den Winkel ϕ.

Dabei wird die Rotation durch einen Drehwinkel ϕ um eine Rotationsachse

$\overrightarrow{r}=r_x{\overrightarrow{e}}_x+r_y{\overrightarrow{e}}_y+r_z{\overrightarrow{e}}_z$

beschreiben. Bei Einheits-Quaternionen gilt

$\sqrt{r_x^2+r_y^2+r_z^2}=1$.

Die Rotation wird dann durch das Quadruple

$\underset{\_}{q}=[\cos \phi ,r_x\cdot \sin \phi ,r_y\cdot \sin \phi ,r_z\cdot \sin \phi ]$

erfasst.

Die Transformationsmatrix können wir dann durch

${\underset{\_}{\underset{\_}{D}}}_Q(\underset{\_}{q}(t))=\left(\begin{array}{ccc}1-2({q_3(t)}^2+{q_2(t)}^2)& 2(q_1(t)q_2(t)-q_0(t)q_3(t))& 2(q_1(t)q_3(t)+q_0(t)q_2(t))\\ 2(q_0(t)q_3(t)+q_1(t)q_2(t))& 1-2({q_3(t)}^2+{q_1(t)}^2)& 2(q_2(t)q_3(t)-q_0(t)q_1(t))\\ 2(q_1(t)q_3(t)-q_0(t)q_2(t))& 2(q_2(t)q_3(t)+q_0(t)q_1(t))& 1-2({q_2(t)}^2+{q_1(t)}^2)\end{array}\right)$

abgebildet. Als unabhängige Koordinaten eignen sich die $\underset{\_}{q}(t)$ allerdings nicht: die Bedingung, dass die Euler-Achse ein Einheitsvektor sein muss, lässt sich nur sehr schwer in die Lösung eines Anfangswertproblemes einbauen.