Sources/Lexikon/Kugelkoordinaten

In Kugelkoordinaten oder räumlichen Polarkoordinaten wird ein Punkt P im dreidimensionalen Raum durch seinen Abstand vom Ursprung und zwei Winkel angegeben.

Kugelkoordinaten r, φ₁, φ₂ eines Punktes P und kartesisches Koordinatensystem mit den Achsen x₁, x₂,x₃.

So ist der Vektor vom Ursprung zum Punkt P

$\overrightarrow{r}=r\cdot {\overrightarrow{e}}_r$

mit

${\overrightarrow{e}}_r=\left(\begin{array}{c}\sin ({\phi }_1)\cos ({\phi }_2)\\ \sin ({\phi }_1)\sin ({\phi }_2)\\ \cos ({\phi }_1)\end{array}\right)$.

Die Kugelkoordinaten kann man - ähnlich wie bei den Euler-Winkeln -zur Definition eines neuen, lokalen Koordinatensystems nutzen. Neben dem Flächen-Normalenvektor ${\overrightarrow{e}}_r$ spannen dabei die Tangentialvektoren ${\overrightarrow{e}}_{\phi ,1},{\overrightarrow{e}}_{\phi ,2}$ zu φ₁ und φ₂ eine neue Basis ${\overrightarrow{\underset{\_}{e}}}_K$ auf.

Einheitsvektoren der Orthogonalbasis ${\overrightarrow{\underset{\_}{e}}}_K=[{\overrightarrow{e}}_{\phi ,1},{\overrightarrow{e}}_{\phi ,2},{\overrightarrow{e}}_r]$, die in Punkt P der Kugel mit ${\overrightarrow{e}}_r$ die Flächennormale definieren und mit ${\overrightarrow{e}}_{\phi ,1},{\overrightarrow{e}}_{\phi ,2}$ die Tangentialebene aufspannen.

Die Koordinatentransformation erfolgt über

$\left(\begin{array}{c}{\overrightarrow{e}}_{\phi ,1}\\ {\overrightarrow{e}}_{\phi ,2}\\ {\overrightarrow{e}}_r\end{array}\right)={\underset{\_}{\underset{\_}{D}}}_{12}({\phi }_1(t),{\phi }_2(t))\left(\begin{array}{c}{\overrightarrow{e}}_{x,1}\\ {\overrightarrow{e}}_{x,2}\\ {\overrightarrow{e}}_{x,3}\end{array}\right)$

mit der Transformationsmatrix

${\underset{\_}{\underset{\_}{D}}}_{12}({\phi }_1(t),{\phi }_2(t))=\left(\begin{array}{ccc}\cos ({\phi }_1(t))\cos ({\phi }_2(t))& \cos ({\phi }_1(t))\sin ({\phi }_2(t))& -\sin ({\phi }_1(t))\\ -\sin ({\phi }_2(t))& \cos ({\phi }_2(t))& 0\\ \sin ({\phi }_1(t))\cos ({\phi }_2(t))& \sin ({\phi }_1(t))\sin ({\phi }_2(t))& \cos ({\phi }_1(t))\end{array}\right)$

Umrechnen von Euler-Winkel in Kugel-Koordinaten

Oft kann man räumliche Polarkoordinaten anschaulicher interpretieren als Euler-Winkel. Polarkoordinaten können allerdings zu Singularitäten führen wie in GYRQ. Wir schreiben hier deshalb eine Transformationsvorschrift an, mit der wir Euler-Winkel in Polarkoordinaten übersetzten können.

Dazu geben wir die räumlichen Koordinaten eines Punkts P mit einer Koordinatentransformation einerseits durch Euler-Drehmatrizen und andererseits durch Polarkoordinaten an. Dazu müssen wir auch die Drehung um eine dritte Achse verwenden. Wir wählen hier für die Euler-Transformation

${\underset{\_}{\underset{\_}{D}}}_{[2,1,3]}^E({\phi }_1,{\phi }_2,{\phi }_3)={\underset{\_}{\underset{\_}{D}}}_3({\phi }_3)\cdot {\underset{\_}{\underset{\_}{D}}}_1({\phi }_1)\cdot {\underset{\_}{\underset{\_}{D}}}_2({\phi }_2)$

mit den Winkeln φ₁, φ₂, φ₃ sowie die Polarkoordinaten mit einer anschließenden Drehung um die ${\overrightarrow{e}}_r$-Achse

${\underset{\_}{\underset{\_}{D}}}_{[1/2,3]}^K({\theta }_1,{\theta }_2,{\theta }_3)={\underset{\_}{\underset{\_}{D}}}_3({\theta }_3)\cdot {\underset{\_}{\underset{\_}{D}}}_{12}({\theta }_1,{\theta }_2)$

mit den Winkeln θ₁, θ₂, θ₃.

Damit ein beliebiger Punkt nach beiden Transformationen gleich ist, muss

$(a_x,a_y,a_z)\cdot {\underset{\_}{\underset{\_}{D}}}_{[2,1,3]}^E({\phi }_1,{\phi }_2,{\phi }_3)=(a_x,a_y,a_z)\cdot {\underset{\_}{\underset{\_}{D}}}_{[1/2,3]}^K({\theta }_1,{\theta }_2,{\theta }_3)$

gelten. Diese Beziehungen kann man sukzessive nach den sin- und cos-Koeffizienten auflösen. Sie liefern

$\begin{array}{lcl}{\sin \left({\theta }_3\right)}^2& =& \frac{{\sin \left({\phi }_2\right)}^2{\sin \left({\phi }_3\right)}^2+2\sin \left({\phi }_1\right)\cos \left({\phi }_2\right)\sin \left({\phi }_2\right)\cos \left({\phi }_3\right)\sin \left({\phi }_3\right)+(1-{\cos \left({\phi }_1\right)}^2){\cos \left({\phi }_2\right)}^2{\cos \left({\phi }_3\right)}^2}{1-{\cos \left({\phi }_1\right)}^2{\cos \left({\phi }_2\right)}^2}\\ \cos \left({\theta }_3\right)& =& \frac{\sin \left({\phi }_2\right)\cos \left({\phi }_3\right)\sin \left({\phi }_3\right)+\sin \left({\phi }_1\right)\cos \left({\phi }_2\right){\cos \left({\phi }_3\right)}^2-\sin \left({\phi }_1\right)\cos \left({\phi }_2\right){\sin \left({\theta }_3\right)}^2}{\sin \left({\phi }_2\right)\sin \left({\theta }_3\right)}\\ \sin \left({\theta }_2\right)& =& -\frac{\sin \left({\phi }_1\right)\sin \left({\theta }_3\right)}{\sin \left({\phi }_2\right)\sin \left({\phi }_3\right)+\sin \left({\phi }_1\right)\cos \left({\phi }_2\right)\cos \left({\phi }_3\right)}\\ \cos \left({\theta }_2\right)& =& \frac{\cos \left({\phi }_1\right)\sin \left({\phi }_2\right)\sin \left({\theta }_3\right)}{\sin \left({\phi }_2\right)\sin \left({\phi }_3\right)+\sin \left({\phi }_1\right)\cos \left({\phi }_2\right)\cos \left({\phi }_3\right)}\\ \sin \left({\theta }_1\right)& =& \frac{\sin \left({\phi }_2\right)\sin \left({\phi }_3\right)+\sin \left({\phi }_1\right)\cos \left({\phi }_2\right)\cos \left({\phi }_3\right)}{\sin \left({\theta }_3\right)}\\ \cos \left({\theta }_1\right)& ={\displaystyle }& \cos \left({\phi }_1\right)\cos \left({\phi }_2\right)\\ \end{array}$

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/* Euler-Winkel */
D[1](φ) := matrix([1,0,0],[0,cos(φ),sin(φ)],[0,-sin(φ),cos(φ)]);
D[2](φ) := matrix([cos(φ),0,-sin(φ)],[0,1,0],[sin(φ),0,cos(φ)]);
D[3](φ) := matrix([cos(φ),sin(φ),0],[-sin(φ),cos(φ),0],[0,0,1]);

/* Kugelkoordinanten */
D[12](θ,φ):= matrix([ cos(θ)*cos(φ), cos(θ)*sin(φ), -sin(θ)],
                    [       -sin(φ),        cos(φ),     0  ],
                    [ sin(θ)*cos(φ), sin(θ)*sin(φ),  cos(θ)]);



/* Zusammenhang Euler-Winkel - Kugelkoordinaten*/
/* Euler -> Kugel */

equ: matrix([a[x],a[y],a[z]]).D[3](θ[3]).D[12](θ[1],θ[2]) - matrix([a[x],a[y],a[z]]).D[3](φ[3]).D[1](φ[1]).D[2](φ[2]);
equ: flatten(makelist(coeff(args(equ),[a[x],a[y],a[z]][i]),i,1,3));
equ: makelist(equ[i]=0,i,1,9);
repl: solve([equ[5],equ[6],equ[7],equ[8],equ[9]],[cos(θ[3]),sin(θ[2]),cos(θ[2]),sin(θ[1]),cos(θ[1])])[1];
equ: transpose(subst(repl,equ));
repl: append(trigsimp(repl), subst([sin(φ[1])^2=1-cos(φ[1])^2],trigsimp(solve(equ[1],sin(θ[3])^2))));
equ: trigsimp(transpose(subst(repl,equ)));

Links

1. Kugelkoordinaten auf Wikipedia
2. Sources/Lexikon/Eulersche Winkel
3. Quaternionen für Drehungen
4. Geographische Koordinaten

Literature

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