Sources/Lexikon/Kugelkoordinaten

Definition

In Kugelkoordinaten oder räumlichen Polarkoordinaten wird ein Punkt P im dreidimensionalen Raum durch seinen Abstand vom Ursprung und zwei Winkel angegeben.

Kugelkoordinaten r, φ₁, φ₂ eines Punktes P und kartesisches Koordinatensystem mit den Achsen x₁, x₂,x₃.

So ist der Vektor vom Ursprung zum Punkt P

$\overrightarrow{r}=r\cdot {\overrightarrow{e}}_r$

mit

${\overrightarrow{e}}_r=\left(\begin{array}{c}\sin ({\phi }_1)\cos ({\phi }_2)\\ \sin ({\phi }_1)\sin ({\phi }_2)\\ \cos ({\phi }_1)\end{array}\right)$.

Die Kugelkoordinaten kann man - ähnlich wie bei den Euler-Winkeln -zur Definition eines neuen, lokalen Koordinatensystems nutzen. Neben dem Flächen-Normalenvektor ${\overrightarrow{e}}_r$ spannen dabei die Tangentialvektoren ${\overrightarrow{e}}_{\phi ,1},{\overrightarrow{e}}_{\phi ,2}$ zu φ₁ und φ₂ eine neue Basis ${\overrightarrow{\underset{\_}{e}}}_K$ auf.

Einheitsvektoren der Orthogonalbasis ${\overrightarrow{\underset{\_}{e}}}_K=[{\overrightarrow{e}}_{\phi ,1},{\overrightarrow{e}}_{\phi ,2},{\overrightarrow{e}}_r]$, die in Punkt P der Kugel mit ${\overrightarrow{e}}_r$ die Flächennormale definieren und mit ${\overrightarrow{e}}_{\phi ,1},{\overrightarrow{e}}_{\phi ,2}$ die Tangentialebene aufspannen.

Die Koordinatentransformation erfolgt über

$\left(\begin{array}{c}{\overrightarrow{e}}_{\phi ,1}\\ {\overrightarrow{e}}_{\phi ,2}\\ {\overrightarrow{e}}_r\end{array}\right)={\underset{\_}{\underset{\_}{D}}}_{12}({\phi }_1(t),{\phi }_2(t))\left(\begin{array}{c}{\overrightarrow{e}}_{x,1}\\ {\overrightarrow{e}}_{x,2}\\ {\overrightarrow{e}}_{x,3}\end{array}\right)$

mit der Transformationsmatrix

${\underset{\_}{\underset{\_}{D}}}_{12}({\phi }_1(t),{\phi }_2(t))=\left(\begin{array}{ccc}\cos ({\phi }_1(t))\cos ({\phi }_2(t))& \cos ({\phi }_1(t))\sin ({\phi }_2(t))& -\sin ({\phi }_1(t))\\ -\sin ({\phi }_2(t))& \cos ({\phi }_2(t))& 0\\ \sin ({\phi }_1(t))\cos ({\phi }_2(t))& \sin ({\phi }_1(t))\sin ({\phi }_2(t))& \cos ({\phi }_1(t))\end{array}\right)$

Transformation von Euler-Winkeln

Oft kann man räumliche Polarkoordinaten besser interpretieren als Euler-Winkel. Wir schreiben deshalb hier eine Transformationsvorschrift an, mit der Euler-Winkel in Polarkoordinaten übersetzten kann.

Dabei geben wir von einem Punkt P in Euler-Koordinaten mit

$\begin{array}{l}\cos \left({\theta }_3\right)=\frac{\sin \left({\phi }_2\right)\cos \left({\phi }_3\right)\sin \left({\phi }_3\right)+\sin \left({\phi }_1\right)\cos \left({\phi }_2\right){\cos \left({\phi }_3\right)}^2-\sin \left({\phi }_1\right)\cos \left({\phi }_2\right){\sin \left({\theta }_3\right)}^2}{\sin \left({\phi }_2\right)\sin \left({\theta }_3\right)}\\ \sin \left({\theta }_2\right)=-\frac{\sin \left({\phi }_1\right)\sin \left({\theta }_3\right)}{\sin \left({\phi }_2\right)\sin \left({\phi }_3\right)+\sin \left({\phi }_1\right)\cos \left({\phi }_2\right)\cos \left({\phi }_3\right)}\\ \cos \left({\theta }_2\right)=\frac{\cos \left({\phi }_1\right)\sin \left({\phi }_2\right)\sin \left({\theta }_3\right)}{\sin \left({\phi }_2\right)\sin \left({\phi }_3\right)+\sin \left({\phi }_1\right)\cos \left({\phi }_2\right)\cos \left({\phi }_3\right)}\\ \sin \left({\theta }_1\right)=\frac{\sin \left({\phi }_2\right)\sin \left({\phi }_3\right)+\sin \left({\phi }_1\right)\cos \left({\phi }_2\right)\cos \left({\phi }_3\right)}{\sin \left({\theta }_3\right)}\\ \cos \left({\theta }_1\right)=\cos \left({\phi }_1\right)\cos \left({\phi }_2\right)\\ {\sin \left({\theta }_3\right)}^2=\frac{{\sin \left({\phi }_2\right)}^2{\sin \left({\phi }_3\right)}^2+2\sin \left({\phi }_1\right)\cos \left({\phi }_2\right)\sin \left({\phi }_2\right)\cos \left({\phi }_3\right)\sin \left({\phi }_3\right)+(1-{\cos \left({\phi }_1\right)}^2){\cos \left({\phi }_2\right)}^2{\cos \left({\phi }_3\right)}^2}{1-{\cos \left({\phi }_1\right)}^2{\cos \left({\phi }_2\right)}^2}\end{array}$

${\displaystyle }$

Links

1. Kugelkoordinaten auf Wikipedia
2. Sources/Lexikon/Eulersche Winkel
3. Quaternionen für Drehungen
4. Geographische Koordinaten

Literature

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