Sources/Lexikon/Kugelkoordinaten

Definition

In Kugelkoordinaten oder räumlichen Polarkoordinaten wird ein Punkt P im dreidimensionalen Raum durch seinen Abstand vom Ursprung und zwei Winkel angegeben.

Kugelkoordinaten r, φ₁, φ₂ eines Punktes P und kartesisches Koordinatensystem mit den Achsen x₁, x₂,x₃.

So ist der Vektor vom Ursprung zum Punkt P

${\vec {r}}=r\cdot {\vec {e}}_{r}$

mit

${\vec {e}}_{r}=\left({\begin{array}{c}\sin(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2})\\\sin(\varphi _{1})\sin(\varphi _{2})\\\cos(\varphi _{1})\end{array}}\right)$.

Die Kugelkoordinaten kann man - ähnlich wie bei den Euler-Winkeln -zur Definition eines neuen, lokalen Koordinatensystems nutzen. Neben dem Flächen-Normalenvektor ${\vec {e}}_{r}$ spannen dabei die Tangentialvektoren ${\vec {e}}_{\varphi ,1},{\vec {e}}_{\varphi ,2}$ zu φ₁ und φ₂ eine neue Basis ${\vec {\underline {e}}}_{K}$ auf.

Einheitsvektoren der Orthogonalbasis ${\vec {\underline {e}}}_{K}=\left[{\vec {e}}_{\varphi ,1},{\vec {e}}_{\varphi ,2},{\vec {e}}_{r}\right]$, die in Punkt P der Kugel mit ${\vec {e}}_{r}$ die Flächennormale definieren und mit ${\vec {e}}_{\varphi ,1},{\vec {e}}_{\varphi ,2}$ die Tangentialebene aufspannen.

Die Koordinatentransformation erfolgt über

$\left({\begin{array}{c}{\vec {e}}_{\varphi ,1}\\{\vec {e}}_{\varphi ,2}\\{\vec {e}}_{r}\end{array}}\right)={\underline {\underline {D}}}_{12}\left(\varphi _{1}(t),\varphi _{2}(t)\right)\left({\begin{array}{c}{\vec {e}}_{x,1}\\{\vec {e}}_{x,2}\\{\vec {e}}_{x,3}\end{array}}\right)$

mit der Transformationsmatrix

${\underline {\underline {D}}}_{12}\left(\varphi _{1}(t),\varphi _{2}(t)\right)={\begin{pmatrix}\cos {\left({{\varphi }_{1}}(t)\right)}\cos {\left({{\varphi }_{2}}(t)\right)}&\cos {\left({{\varphi }_{1}}(t)\right)}\sin {\left({{\varphi }_{2}}(t)\right)}&-\sin {\left({{\varphi }_{1}}(t)\right)}\\-\sin {\left({{\varphi }_{2}}(t)\right)}&\cos {\left({{\varphi }_{2}}(t)\right)}&0\\\sin {\left({{\varphi }_{1}}(t)\right)}\cos {\left({{\varphi }_{2}}(t)\right)}&\sin {\left({{\varphi }_{1}}(t)\right)}\sin {\left({{\varphi }_{2}}(t)\right)}&\cos {\left({{\varphi }_{1}}(t)\right)}\end{pmatrix}}$

Transformation von Euler-Winkeln

Oft kann man räumliche Polarkoordinaten besser interpretieren als Euler-Winkel. Wir schreiben deshalb hier eine Transformationsvorschrift an, mit der Euler-Winkel in Polarkoordinaten übersetzten kann.

Dabei geben wir von einem Punkt P in Euler-Koordinaten mit

${\displaystyle }$

\begin{array}{l}\cos{\left( {{\theta }_3}\right) }=\frac{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_3}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }+\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } {{\cos{\left( {{\varphi }_3}\right) }}^{2}}-\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } {{\sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}^{2}}}{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}\\ \sin{\left( {{\theta }_2}\right) }=-\frac{\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }+\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_3}\right) }}\\ \cos{\left( {{\theta }_2}\right) }=\frac{\cos{\left( {{\varphi }_1}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }+\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_3}\right) }}\\ \sin{\left( {{\theta }_1}\right) }=\frac{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }+\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_3}\right) }}{\sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}\\ \cos{\left( {{\theta }_1}\right) }=\cos{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) }\\ {{\sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}^{2}}=\frac{{{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) }}^{2}} {{\sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }}^{2}}+2 \sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_3}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }+\left( 1-{{\cos{\left( {{\varphi }_1}\right) }}^{2}}\right) {{\cos{\left( {{\varphi }_2}\right) }}^{2}} {{\cos{\left( {{\varphi }_3}\right) }}^{2}}}{1-{{\cos{\left( {{\varphi }_1}\right) }}^{2}} {{\cos{\left( {{\varphi }_2}\right) }}^{2}}}\end{array}

${\displaystyle }$

Links

1. Kugelkoordinaten auf Wikipedia
2. Sources/Lexikon/Eulersche Winkel
3. Quaternionen für Drehungen
4. Geographische Koordinaten

Literature

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