Sources/Lexikon/Kugelkoordinaten: Unterschied zwischen den Versionen

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In Kugelkoordinaten oder räumlichen Polarkoordinaten wird ein Punkt ''P'' im dreidimensionalen Raum durch seinen Abstand vom Ursprung und zwei Winkel angegeben.  
In Kugelkoordinaten oder räumlichen Polarkoordinaten wird ein Punkt ''P'' im dreidimensionalen Raum durch seinen Abstand vom Ursprung und zwei Winkel angegeben.  
[[Datei:Kugelkoordinaten-01.png|210px|left|mini|Kugelkoordinaten r, φ<sub>1</sub>, φ<sub>2</sub> eines Punktes ''P'' und kartesisches Koordinatensystem mit den Achsen ''x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>,x<sub>3</sub>''.]]
[[Datei:Kugelkoordinaten-01.png|210px|left|mini|Kugelkoordinaten r, ''φ<sub>1</sub>, φ<sub>2</sub>'' eines Punktes ''P'' und kartesisches Koordinatensystem mit den Achsen ''x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>,x<sub>3</sub>''.]]


Die Kugelkoordinaten kann man - ähnlich wie bei den [[Sources/Lexikon/Eulersche_Winkel|Euler-Winkeln]] -zur Definition eines neuen, lokalen  Koordinatensystems nutzen.
Die Kugelkoordinaten kann man - ähnlich wie bei den [[Sources/Lexikon/Eulersche_Winkel|Euler-Winkeln]] -zur Definition eines neuen, lokalen  Koordinatensystems nutzen.
Neben dem Flächen-Normalenvektor <math>\vec{e}_r</math> spannen dabei die Tangentialvektoren <math>\vec{e}_{\varphi,1}, \vec{e}_{\varphi,2}</math> zu φ<sub>1</sub> und φ<sub>2</sub> eine neue Basis <math>\vec{\underline{e}}_K</math> auf.
Neben dem Flächen-Normalenvektor <math>\vec{e}_r</math> spannen dabei die Tangentialvektoren <math>\vec{e}_{\varphi,1}, \vec{e}_{\varphi,2}</math> zu ''φ<sub>1</sub>'' und ''φ<sub>2</sub>'' eine neue Basis <math>\vec{\underline{e}}_K</math> auf.
[[Datei:Kugelkoordinaten-02.png|210px|right|mini|Einheitsvektoren der Orthogonalbasis <math>\vec{\underline{e}}_K = \left[\vec{e}_r, \vec{e}_{\varphi,1}, \vec{e}_{\varphi,2}\right]</math>, die in Punkt ''P'' der Kugel mit <math>\vec{e}_r</math> die Flächennormale definieren und mit <math>\vec{e}_{\varphi,1}, \vec{e}_{\varphi,2}</math> die Tangentialebene aufspannen.]]
[[Datei:Kugelkoordinaten-02.png|210px|right|mini|Einheitsvektoren der Orthogonalbasis <math>\vec{\underline{e}}_K = \left[\vec{e}_{\varphi,1}, \vec{e}_{\varphi,2}, \vec{e}_r\right]</math>, die in Punkt ''P'' der Kugel mit <math>\vec{e}_r</math> die Flächennormale definieren und mit <math>\vec{e}_{\varphi,1}, \vec{e}_{\varphi,2}</math> die Tangentialebene aufspannen.]]
Die Transformationsmatrix  
Die Koordinatentransformation erfolgt über
::<math>
\left(\begin{array}{c}\vec{e}_{\varphi,1}\\\vec{e}_{\varphi,2}\\\vec{e}_r\end{array}\right) = \underline{\underline{D}}_{12}\left( \varphi_1(t),\varphi_2(t) \right) \left(\begin{array}{c}\vec{e}_{x,1}\\\vec{e}_{x,2}\\\vec{e}_{x,3}\end{array}\right)
</math>
mit der Transformationsmatrix  
::<math>
::<math>
\underline{\underline{D}}_{12}\left( \varphi_1(t),\varphi_2(t) \right)  
\underline{\underline{D}}_{12}\left( \varphi_1(t),\varphi_2(t) \right)  

Version vom 4. April 2022, 11:48 Uhr

In Kugelkoordinaten oder räumlichen Polarkoordinaten wird ein Punkt P im dreidimensionalen Raum durch seinen Abstand vom Ursprung und zwei Winkel angegeben.

Kugelkoordinaten r, φ1, φ2 eines Punktes P und kartesisches Koordinatensystem mit den Achsen x1, x2,x3.

Die Kugelkoordinaten kann man - ähnlich wie bei den Euler-Winkeln -zur Definition eines neuen, lokalen Koordinatensystems nutzen. Neben dem Flächen-Normalenvektor er spannen dabei die Tangentialvektoren eφ,1,eφ,2 zu φ1 und φ2 eine neue Basis e_K auf.

Einheitsvektoren der Orthogonalbasis e_K=[eφ,1,eφ,2,er], die in Punkt P der Kugel mit er die Flächennormale definieren und mit eφ,1,eφ,2 die Tangentialebene aufspannen.

Die Koordinatentransformation erfolgt über

(eφ,1eφ,2er)=D__12(φ1(t),φ2(t))(ex,1ex,2ex,3)

mit der Transformationsmatrix

D__12(φ1(t),φ2(t))=(cos(φ1(t))cos(φ2(t))cos(φ1(t))sin(φ2(t))sin(φ1(t))sin(φ2(t))cos(φ2(t))0sin(φ1(t))cos(φ2(t))sin(φ1(t))sin(φ2(t))cos(φ1(t)))


Links

  1. Kugelkoordinaten auf Wikipedia
  2. Sources/Lexikon/Eulersche Winkel

Literature

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