Sources/Lexikon/Spannungs-Dehnungs-Beziehung (Stress-Strain-Relation): Unterschied zwischen den Versionen

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äöl
 
Der Zusammenhang zwischen Dehnung un Spannung für isotropes, linear-elastisches Werkstoffverhalten wird durch
 
<math>\underline{\sigma} = \underline{\underline{E}}\cdot \underline{\varepsilon}</math>
 
beschrieben. In Komponenten-Schreibweise ist dies
 
<math>\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{xz}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}2\mu +\lambda &\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &2\mu +\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda &2\mu +\lambda &0&0&0\\0&0&0&2\mu &0&0\\0&0&0&0&2\mu &0\\0&0&0&0&0&2\mu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\\varepsilon _{zz}\\\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}</math>,
 
wobei ''λ'' und ''μ'' die Lamé'schen Konstanten sind und zum Elastizitäts-Modul ''E'' und der Querkontraktion ''ν'' folgende Beziehung haben:
 
<math>\begin{array}{l}\displaystyle \lambda=\frac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}\\\displaystyle \mu = \frac {E }{2(1+\nu )}\end{array}</math><!-------------------------------------------------------------------------------->
 
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Alle anderen Werkstoff-Gesetze lassen sich daraus ableiten, z.B. für den ebenen Spannungszustand mit
 
<math>\sigma_{zz}=0, \sigma_{xz}=0, \sigma_{yz}=0</math>
 
erhalten wir
 
<math>\displaystyle {{\sigma}_{\mathit{xx}}}=\frac{2\lambda\mu{{\epsilon}_{\mathit{yy}}}+\left( 4{{\mu}^{2}}+4\lambda\mu\right) \,{{\epsilon}_{\mathit{xx}}}}{2\mu+\lambda},{{\sigma}_{\mathit{yy}}}=\frac{\left( 4{{\mu}^{2}}+4\lambda\mu\right) \,{{\epsilon}_{\mathit{yy}}}+2\lambda\mu{{\epsilon}_{\mathit{xx}}}}{2\mu+\lambda},{{\sigma}_{\mathit{xy}}}=2\mu{{\epsilon}_{\mathit{xy}}},{{\epsilon}_{\mathit{zz}}}=-\frac{\lambda{{\epsilon}_{\mathit{yy}}}+\lambda{{\epsilon}_{\mathit{xx}}}}{2\mu+\lambda},{{\epsilon}_{\mathit{yz}}}=0,{{\epsilon}_{\mathit{xz}}}=0</math>
 
In Matrixschreibweise erhalten wir
 
<math>\left(\begin{array}{c}\sigma_{xx}\\ \sigma_{yy}\\ \sigma_{xy} \end{array}\right) =  \left(\begin{array}{ccc} \frac{4{{\mu}^{2}}+4\lambda\mu}{2\mu+\lambda} & \frac{2\lambda\mu}{2\mu+\lambda}& 0\\ \frac{2\lambda\mu}{2\mu+\lambda}&\frac{4{{\mu}^{2}}+4\lambda\mu}{2\mu+\lambda}&0\\ 0 & 0 & 2 \mu  \end{array}\right) \cdot  \left(\begin{array}{c}\varepsilon_{xx}\\ \varepsilon_{yy}\\ \varepsilon_{xy} \end{array}\right) </math>
 
bzw mit ''E'' und ''ν''
 
<math>\left(\begin{array}{c}\sigma_{xx}\\ \sigma_{yy}\\ \sigma_{xy} \end{array}\right) =  \left(\begin{array}{ccc} \frac{E}{1-{{\nu}^{2}}} & \frac{E\;\nu}{1-{{\nu}^{2}}} & 0\\ \frac{E\;\nu}{1-{{\nu}^{2}}} & \frac{E}{1-{{\nu}^{2}}} & 0\\ 0 & 0 & \frac{E}{\nu+1}  \end{array}\right) \cdot  \left(\begin{array}{c}\varepsilon_{xx}\\ \varepsilon_{yy}\\ \varepsilon_{xy} \end{array}\right) </math>.
<!-------------------------------------------------------------------------------->
 
 
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Ganz entsprechend erhalten wir für
 
<math>\sigma_{yy}=0, \sigma_{zz}=0, \sigma_{xz}=0, \sigma_{yz}=0, \sigma_{xy}=0</math>
 
die Ergebnisse
 
<math>\displaystyle {{\sigma}_{\mathit{xx}}}=\frac{\left( 2{{\mu}^{2}}+3\lambda\mu\right) \,{{\epsilon}_{\mathit{xx}}}}{\mu+\lambda},{{\epsilon}_{\mathit{yy}}}=-\frac{\lambda{{\epsilon}_{\mathit{xx}}}}{2\mu+2\lambda},{{\epsilon}_{\mathit{zz}}}=-\frac{\lambda{{\epsilon}_{\mathit{xx}}}}{2\mu+2\lambda},{{\epsilon}_{\mathit{yz}}}=0,{{\epsilon}_{\mathit{xz}}}=0,{{\epsilon}_{\mathit{xy}}}=0</math>
 
bzw.
 
<math>\displaystyle {{\sigma}_{\mathit{xx}}}=E\,{{\epsilon}_{\mathit{xx}}},{{\epsilon}_{\mathit{yy}}}=-\nu{{\epsilon}_{\mathit{xx}}},{{\epsilon}_{\mathit{zz}}}=-\nu{{\epsilon}_{\mathit{xx}}},{{\epsilon}_{\mathit{yz}}}=0,{{\epsilon}_{\mathit{xz}}}=0,{{\epsilon}_{\mathit{xy}}}=0</math><!-------------------------------------------------------------------------------->
 
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Version vom 21. April 2021, 13:12 Uhr

Der Zusammenhang zwischen Dehnung un Spannung für isotropes, linear-elastisches Werkstoffverhalten wird durch

σ_=E__ε_

beschrieben. In Komponenten-Schreibweise ist dies

[σxxσyyσzzσyzσxzσxy]=[2μ+λλλ000λ2μ+λλ000λλ2μ+λ0000002μ0000002μ0000002μ][εxxεyyεzzεyzεxzεxy],

wobei λ und μ die Lamé'schen Konstanten sind und zum Elastizitäts-Modul E und der Querkontraktion ν folgende Beziehung haben:

λ=Eν(1+ν)(12ν)μ=E2(1+ν)

Allgemeines Werkstoffgesetzt (3D)

Text


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Alle anderen Werkstoff-Gesetze lassen sich daraus ableiten, z.B. für den ebenen Spannungszustand mit

σzz=0,σxz=0,σyz=0

erhalten wir

σxx=2λμϵyy+(4μ2+4λμ)ϵxx2μ+λ,σyy=(4μ2+4λμ)ϵyy+2λμϵxx2μ+λ,σxy=2μϵxy,ϵzz=λϵyy+λϵxx2μ+λ,ϵyz=0,ϵxz=0

In Matrixschreibweise erhalten wir

(σxxσyyσxy)=(4μ2+4λμ2μ+λ2λμ2μ+λ02λμ2μ+λ4μ2+4λμ2μ+λ0002μ)(εxxεyyεxy)

bzw mit E und ν

(σxxσyyσxy)=(E1ν2Eν1ν20Eν1ν2E1ν2000Eν+1)(εxxεyyεxy).


Ebener Spannugnszustand

Text


1+1





Ganz entsprechend erhalten wir für

σyy=0,σzz=0,σxz=0,σyz=0,σxy=0

die Ergebnisse

σxx=(2μ2+3λμ)ϵxxμ+λ,ϵyy=λϵxx2μ+2λ,ϵzz=λϵxx2μ+2λ,ϵyz=0,ϵxz=0,ϵxy=0

bzw.

σxx=Eϵxx,ϵyy=νϵxx,ϵzz=νϵxx,ϵyz=0,ϵxz=0,ϵxy=0

Eindimensionaler Spannungszustand

Text


1+1