Sources/Lexikon/Spannungs-Dehnungs-Beziehung (Stress-Strain-Relation)

Der Zusammenhang zwischen Dehnung un Spannung für isotropes, linear-elastisches Werkstoffverhalten wird durch

${\underline {\sigma }}={\underline {\underline {E}}}\cdot {\underline {\varepsilon }}$

beschrieben. In Komponenten-Schreibweise ist dies

$\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{xz}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}2\mu +\lambda &\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &2\mu +\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda &2\mu +\lambda &0&0&0\\0&0&0&2\mu &0&0\\0&0&0&0&2\mu &0\\0&0&0&0&0&2\mu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\\varepsilon _{zz}\\\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}$,

wobei λ und μ die Lamé'schen Konstanten sind und zum Elastizitäts-Modul E und der Querkontraktion ν folgende Beziehung haben:

${\begin{array}{l}\displaystyle \lambda ={\frac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}\\\displaystyle \mu ={\frac {E}{2(1+\nu )}}\end{array}}$

Allgemeines Werkstoffgesetzt (3D)

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Alle anderen Werkstoff-Gesetze lassen sich daraus ableiten, z.B. für den ebenen Spannungszustand mit

$\sigma _{zz}=0,\sigma _{xz}=0,\sigma _{yz}=0$

erhalten wir

$\displaystyle {{\sigma }_{\mathit {xx}}}={\frac {2\lambda \mu {{\epsilon }_{\mathit {yy}}}+\left(4{{\mu }^{2}}+4\lambda \mu \right)\,{{\epsilon }_{\mathit {xx}}}}{2\mu +\lambda }},{{\sigma }_{\mathit {yy}}}={\frac {\left(4{{\mu }^{2}}+4\lambda \mu \right)\,{{\epsilon }_{\mathit {yy}}}+2\lambda \mu {{\epsilon }_{\mathit {xx}}}}{2\mu +\lambda }},{{\sigma }_{\mathit {xy}}}=2\mu {{\epsilon }_{\mathit {xy}}},{{\epsilon }_{\mathit {zz}}}=-{\frac {\lambda {{\epsilon }_{\mathit {yy}}}+\lambda {{\epsilon }_{\mathit {xx}}}}{2\mu +\lambda }},{{\epsilon }_{\mathit {yz}}}=0,{{\epsilon }_{\mathit {xz}}}=0$

In Matrixschreibweise erhalten wir

$\left({\begin{array}{c}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{xy}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{ccc}{\frac {4{{\mu }^{2}}+4\lambda \mu }{2\mu +\lambda }}&{\frac {2\lambda \mu }{2\mu +\lambda }}&0\\{\frac {2\lambda \mu }{2\mu +\lambda }}&{\frac {4{{\mu }^{2}}+4\lambda \mu }{2\mu +\lambda }}&0\\0&0&2\mu \end{array}}\right)\cdot \left({\begin{array}{c}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\\varepsilon _{xy}\end{array}}\right)$

bzw mit E und ν

$\left({\begin{array}{c}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{xy}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{ccc}{\frac {E}{1-{{\nu }^{2}}}}&{\frac {E\;\nu }{1-{{\nu }^{2}}}}&0\\{\frac {E\;\nu }{1-{{\nu }^{2}}}}&{\frac {E}{1-{{\nu }^{2}}}}&0\\0&0&{\frac {E}{\nu +1}}\end{array}}\right)\cdot \left({\begin{array}{c}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\\varepsilon _{xy}\end{array}}\right)$.

Ebener Spannugnszustand

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Ganz entsprechend erhalten wir für

$\sigma _{yy}=0,\sigma _{zz}=0,\sigma _{xz}=0,\sigma _{yz}=0,\sigma _{xy}=0$

die Ergebnisse

$\displaystyle {{\sigma }_{\mathit {xx}}}={\frac {\left(2{{\mu }^{2}}+3\lambda \mu \right)\,{{\epsilon }_{\mathit {xx}}}}{\mu +\lambda }},{{\epsilon }_{\mathit {yy}}}=-{\frac {\lambda {{\epsilon }_{\mathit {xx}}}}{2\mu +2\lambda }},{{\epsilon }_{\mathit {zz}}}=-{\frac {\lambda {{\epsilon }_{\mathit {xx}}}}{2\mu +2\lambda }},{{\epsilon }_{\mathit {yz}}}=0,{{\epsilon }_{\mathit {xz}}}=0,{{\epsilon }_{\mathit {xy}}}=0$

bzw.

$\displaystyle {{\sigma }_{\mathit {xx}}}=E\,{{\epsilon }_{\mathit {xx}}},{{\epsilon }_{\mathit {yy}}}=-\nu {{\epsilon }_{\mathit {xx}}},{{\epsilon }_{\mathit {zz}}}=-\nu {{\epsilon }_{\mathit {xx}}},{{\epsilon }_{\mathit {yz}}}=0,{{\epsilon }_{\mathit {xz}}}=0,{{\epsilon }_{\mathit {xy}}}=0$

Eindimensionaler Spannungszustand

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