Sources/Lexikon/Euler-Bernoulli-Balken: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 21. April 2021, 05:41 Uhr

Ein Modell für schlanke Stäbe, bei der die elastische Verformung nur durch innere Momente erfasst wird heißt Euler-Bernoulli-Blaken.

Annahmen für das Modell:

Eine Theorie, die auch die Schubverformung der Querschnitte berücksichtigt ist der Timoshenko-Balken.

Einen Einblick in die Theorie gibt DGEB.

Biegedifferentialgleichung 4.ter Ordnung	Formänderungs-Energie
$\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}M(x)=-q(x){\text{ und mit }}M(x)=-E\,I\,w''(x)$ $\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\left(E\,I\cdot {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}w(x)\right)=+q(x)$ Oft können wir davon ausgehen, dass E und I konstant sind, dann gilt $\displaystyle E\,I\,w^{IV}=q\;\;{\text{ mit }}\;\;w^{IV}:={\frac {d^{4}}{dx^{4}}}(w)$	Für das Verfahren von Ritz und die Methode der Finiten Elemente brauchen wir die Formänderungsenergie $\Pi _{EBB}=\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{\ell }E\,I\cdot w''^{2}dx$ bzw. $\delta \Pi _{EBB}=\displaystyle \int _{0}^{\ell }E\,I\cdot w''\cdot \delta w''dx$ Und beide Formulierungen gelten unabhängig davon, ob E und I konstant sind - oder nicht.

Seiten dazu:

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 <tr><th>Biegedifferentialgleichung 4.ter Ordnung</th><th>Formänderungs-Energie</th></tr>
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-* <math>\displaystyle \frac{d^2}{dx^2}M(x) = -q(x) \text{ und mit } M(x) = -E\,I\,w''(x)</math>
+::<math>\displaystyle \frac{d^2}{dx^2}M(x) = -q(x) \text{ und mit } M(x) = -E\,I\,w''(x)</math>
-* <math>\displaystyle \frac{d^2}{dx^2} \left( E\,I \cdot \frac{d^2}{dx^2} w(x)\right) = +q(x)</math>
+::<math>\displaystyle \frac{d^2}{dx^2} \left( E\,I \cdot \frac{d^2}{dx^2} w(x)\right) = +q(x)</math>
 Oft können wir davon ausgehen, dass ''E'' und ''I'' konstant sind, dann gilt
-* <math>\displaystyle E\,I\, w^{IV} = q \;\;\text{ mit }\;\; w^{IV} := \frac{d^4}{dx^4}(w)</math>
+::<math>\displaystyle E\,I\, w^{IV} = q \;\;\text{ mit }\;\; w^{IV} := \frac{d^4}{dx^4}(w)</math>
 </td><td>Für das Verfahren von Ritz und die Methode der Finiten Elemente brauchen wir die [[Sources/Lexikon/Formänderungsenergie|Formänderungsenergie]]
-<math>\Pi_{EBB} = \displaystyle \frac{1}{2}\int_0^\ell E\,I \cdot w''^2 dx</math>
+::<math>\Pi_{EBB} = \displaystyle \frac{1}{2}\int_0^\ell E\,I \cdot w''^2 dx</math>
 bzw.
-<math>\delta \Pi_{EBB} = \displaystyle \int_0^\ell E\,I \cdot w''\cdot \delta w'' dx</math>
+::<math>\delta \Pi_{EBB} = \displaystyle \int_0^\ell E\,I \cdot w''\cdot \delta w'' dx</math>
 Und beide Formulierungen gelten unabhängig davon, ob ''E'' und ''I'' konstant sind - oder nicht.