Sources/Anleitungen/FEM-Formulierung für den Euler-Bernoulli-Balken: Unterschied zwischen den Versionen

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===Trial-Functions===
===Trial-Functions===
Die Koordinaten eines Finiten Elements sind<blockquote><blockquote><math>\underline{Q}(t) = \left(\begin{array}{l}W_{i-1}(t)\\\Phi_{i-1}(t)\\W_{i}(t)\\\Phi_{i}(t)\end{array}\right)</math>.
Die Koordinaten eines Finiten Elements sind
Der Ansatz für die Näherung der Auslenkung ''w(x,t)'' ist</blockquote><math>\displaystyle w(x,t) = \sum_{i=1}^4 Q_i(t) \cdot \phi_i(x)</math></blockquote>
 
::<math>\underline{Q}(t) = \left(\begin{array}{l}W_{i-1}(t)\\\Phi_{i-1}(t)\\W_{i}(t)\\\Phi_{i}(t)\end{array}\right)</math>.
 
Der Ansatz für die Näherung der Auslenkung ''w(x,t)'' ist
 
::<math>\displaystyle w(x,t) = \sum_{i=1}^4 Q_i(t) \cdot \phi_i(x)</math>
 
Die Drehwinkel sind hier so gewählt, dass 
Die Drehwinkel sind hier so gewählt, dass 


<math>\displaystyle \frac{d}{dx} w(x)|_{x=x_i} = \Phi_i</math>.
::<math>\displaystyle \frac{d}{dx} w(x)|_{x=x_i} = \Phi_i</math>.
 


[[Datei:Anleitung-EBB-FEM-01.png|mini|none|Nodal and independent Coordinates]]


===Trialfunctions===


Die einzelnen Trial-Functions sind:
Die einzelnen Trial-Functions sind:


<table class="wikitable" style="background-color:white; float: left; margin-right:14px;
<table class="wikitable" style="background-color:white; margin-right:14px;
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<tr><th>linker Rand (Knoten "''i-1''")
<tr><th>linker Rand (Knoten "''i-1''")</th><th>rechter Rand (Knoten "''i''")</th></tr>
</th><th>rechter Rand (Knoten "''i''")
<tr><td>[[Datei:Anleitung-EBB-FEM-02.png|mini|Trial-Function for ''W<sub>i-1</sub>'']]</td><td>[[Datei:Anleitung-EBB-FEM-04.png|mini|Trial-Function for ''W<sub>i</sub>'']]</td></tr>
</th></tr>
<tr><th><math>\phi_1(\xi) = (\xi-1)^2 \cdot (2\;\xi+1)</math></th><th><math>\phi_3(\xi) = \xi^2 \cdot (3-2\;\xi)</math></th></tr>
<tr><td></td><td></td></tr>
<tr><td>[[Datei:Anleitung-EBB-FEM-03.png|mini|Trial-Function für ''Φ<sub>i-1</sub>'']]</td><td>[[Datei:Anleitung-EBB-FEM-05.png|mini|Trial-Function für ''Φ<sub>i</sub>'']]</td></tr>
<tr><th><math>\phi_2(\xi) = \ell_i \cdot \xi \cdot (\xi-1)^2</math></th><th><math>\phi_4(\xi) = \ell_i \cdot \xi^2 \cdot (\xi-1)</math></th></tr>
</table>
</table>


=== Faltungsintegrale ===
... für die symmetrische Massenmatrix. Tabelliert sind die Werte der Integrale
::<math>\displaystyle \frac{m_{ij}}{\varrho A} = \int_0^\ell \phi_i \cdot \phi_j \; dx</math>
<table class="wikitable" style="background-color:white; margin-right:14px;">
<tr><th>                </th><th>''ϕ<sub>1</sub>''</th><th>''ϕ<sub>2</sub>''</th><th>''ϕ<sub>3</sub>''</th><th>''ϕ<sub>4</sub>''</th></tr>
<tr><th>''ϕ<sub>1</sub>''</th><td></td><td></td><td></td><td></td></tr>
<tr><th>''ϕ<sub>2</sub>''</th><td></td><td></td><td></td><td></td></tr>
<tr><th>''ϕ<sub>3</sub>''</th><td></td><td></td><td></td><td></td></tr>
<tr><th>''ϕ<sub>4</sub>''</th><td></td><td></td><td></td><td></td></tr>
</table>


.. fir die symmetrische Steifigkeitsmatrix. Tabelliert sind die Werte der Integrale


=== Faltungsintegrale ===
... für die symmetrische Massenmatrix. Tabelliert sind die Werte der Integrale


<nowiki>:</nowiki>


<hr/>
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[[Datei:Anleitung-EBB-FEM-04.png|mini|Trial-Function for ''W<sub>i</sub>'']]
Anleitung-EBB-RHS-01
[[Datei:Anleitung-EBB-psi-1.png|rahmenlos|100x100px]]
[[Datei:Anleitung-EBB-psi-1.png|rahmenlos|100x100px]]
[[Datei:Anleitung-EBB-phi-2.png|rahmenlos|100x100px]][[Datei:Anleitung-EBB-psi-03.png|rahmenlos|100x100px]][[Datei:Anleitung-EBB-psi-04.png|rahmenlos|100x100px]]
[[Datei:Anleitung-EBB-phi-2.png|rahmenlos|100x100px]]
[[Datei:Anleitung-EBB-FEM-02.png|mini|Trial-Function for ''W<sub>i-1</sub>'']]
[[Datei:Anleitung-EBB-psi-03.png|rahmenlos|100x100px]]
[[Datei:Anleitung-EBB-FEM-03.png|mini|Trial-Function für ''Φ<sub>i-1</sub>'']]
[[Datei:Anleitung-EBB-psi-04.png|rahmenlos|100x100px]]
[[Datei:Anleitung-EBB-FEM-05.png|mini|Trial-Function für ''Φ<sub>i</sub>'']]
[[Datei:Anleitung-EBB-FEM-01.png|mini|Nodal and independent Coordinats]]

Version vom 19. April 2021, 13:00 Uhr


Diese Seite fasst die wichtigsten Ergebnisse für die FEM-Formulierung zum Euler-Bernoulli-Balken zusammen.

Maxima-Code

Hier finden Sie den Sourcecode für die Herleitung der Elelemt-Matrizen.




Trial-Functions

Die Koordinaten eines Finiten Elements sind

Q_(t)=(Wi1(t)Φi1(t)Wi(t)Φi(t)).

Der Ansatz für die Näherung der Auslenkung w(x,t) ist

w(x,t)=i=14Qi(t)ϕi(x)

Die Drehwinkel sind hier so gewählt, dass 

ddxw(x)|x=xi=Φi.
Nodal and independent Coordinates

Trialfunctions

Die einzelnen Trial-Functions sind:

linker Rand (Knoten "i-1")rechter Rand (Knoten "i")
Trial-Function for Wi-1
Trial-Function for Wi
ϕ1(ξ)=(ξ1)2(2ξ+1)ϕ3(ξ)=ξ2(32ξ)
Trial-Function für Φi-1
Trial-Function für Φi
ϕ2(ξ)=iξ(ξ1)2ϕ4(ξ)=iξ2(ξ1)

Faltungsintegrale

... für die symmetrische Massenmatrix. Tabelliert sind die Werte der Integrale

mijϱA=0ϕiϕjdx
ϕ1ϕ2ϕ3ϕ4
ϕ1
ϕ2
ϕ3
ϕ4

.. fir die symmetrische Steifigkeitsmatrix. Tabelliert sind die Werte der Integrale



Links

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Literature

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