Sources/Anleitungen/FEM-Formulierung für den Euler-Bernoulli-Balken: Unterschied zwischen den Versionen
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===Trial-Functions=== | ===Trial-Functions=== | ||
Die Koordinaten eines Finiten Elements sind | Die Koordinaten eines Finiten Elements sind | ||
Der Ansatz für die Näherung der Auslenkung ''w(x,t)'' ist | |||
::<math>\underline{Q}(t) = \left(\begin{array}{l}W_{i-1}(t)\\\Phi_{i-1}(t)\\W_{i}(t)\\\Phi_{i}(t)\end{array}\right)</math>. | |||
Der Ansatz für die Näherung der Auslenkung ''w(x,t)'' ist | |||
::<math>\displaystyle w(x,t) = \sum_{i=1}^4 Q_i(t) \cdot \phi_i(x)</math> | |||
Die Drehwinkel sind hier so gewählt, dass | Die Drehwinkel sind hier so gewählt, dass | ||
<math>\displaystyle \frac{d}{dx} w(x)|_{x=x_i} = \Phi_i</math>. | ::<math>\displaystyle \frac{d}{dx} w(x)|_{x=x_i} = \Phi_i</math>. | ||
[[Datei:Anleitung-EBB-FEM-01.png|mini|none|Nodal and independent Coordinates]] | |||
===Trialfunctions=== | |||
Die einzelnen Trial-Functions sind: | Die einzelnen Trial-Functions sind: | ||
<table class="wikitable" style="background-color:white | <table class="wikitable" style="background-color:white; margin-right:14px; | ||
"> | "> | ||
<tr><th>linker Rand (Knoten "''i-1''") | <tr><th>linker Rand (Knoten "''i-1''")</th><th>rechter Rand (Knoten "''i''")</th></tr> | ||
</th><th>rechter Rand (Knoten "''i''") | <tr><td>[[Datei:Anleitung-EBB-FEM-02.png|mini|Trial-Function for ''W<sub>i-1</sub>'']]</td><td>[[Datei:Anleitung-EBB-FEM-04.png|mini|Trial-Function for ''W<sub>i</sub>'']]</td></tr> | ||
</th></tr> | <tr><th><math>\phi_1(\xi) = (\xi-1)^2 \cdot (2\;\xi+1)</math></th><th><math>\phi_3(\xi) = \xi^2 \cdot (3-2\;\xi)</math></th></tr> | ||
<tr><td></td><td></td></tr> | <tr><td>[[Datei:Anleitung-EBB-FEM-03.png|mini|Trial-Function für ''Φ<sub>i-1</sub>'']]</td><td>[[Datei:Anleitung-EBB-FEM-05.png|mini|Trial-Function für ''Φ<sub>i</sub>'']]</td></tr> | ||
<tr><th><math>\phi_2(\xi) = \ell_i \cdot \xi \cdot (\xi-1)^2</math></th><th><math>\phi_4(\xi) = \ell_i \cdot \xi^2 \cdot (\xi-1)</math></th></tr> | |||
</table> | </table> | ||
=== Faltungsintegrale === | |||
... für die symmetrische Massenmatrix. Tabelliert sind die Werte der Integrale | |||
::<math>\displaystyle \frac{m_{ij}}{\varrho A} = \int_0^\ell \phi_i \cdot \phi_j \; dx</math> | |||
<table class="wikitable" style="background-color:white; margin-right:14px;"> | |||
<tr><th> </th><th>''ϕ<sub>1</sub>''</th><th>''ϕ<sub>2</sub>''</th><th>''ϕ<sub>3</sub>''</th><th>''ϕ<sub>4</sub>''</th></tr> | |||
<tr><th>''ϕ<sub>1</sub>''</th><td></td><td></td><td></td><td></td></tr> | |||
<tr><th>''ϕ<sub>2</sub>''</th><td></td><td></td><td></td><td></td></tr> | |||
<tr><th>''ϕ<sub>3</sub>''</th><td></td><td></td><td></td><td></td></tr> | |||
<tr><th>''ϕ<sub>4</sub>''</th><td></td><td></td><td></td><td></td></tr> | |||
</table> | |||
.. fir die symmetrische Steifigkeitsmatrix. Tabelliert sind die Werte der Integrale | |||
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Version vom 19. April 2021, 13:00 Uhr
Diese Seite fasst die wichtigsten Ergebnisse für die FEM-Formulierung zum Euler-Bernoulli-Balken zusammen.
Maxima-Code
Hier finden Sie den Sourcecode für die Herleitung der Elelemt-Matrizen.
Trial-Functions
Die Koordinaten eines Finiten Elements sind
- .
Der Ansatz für die Näherung der Auslenkung w(x,t) ist
Die Drehwinkel sind hier so gewählt, dass
- .

Trialfunctions
Die einzelnen Trial-Functions sind:
linker Rand (Knoten "i-1") | rechter Rand (Knoten "i") |
---|---|
![]() | ![]() |
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Faltungsintegrale
... für die symmetrische Massenmatrix. Tabelliert sind die Werte der Integrale
ϕ1 | ϕ2 | ϕ3 | ϕ4 | |
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ϕ1 | ||||
ϕ2 | ||||
ϕ3 | ||||
ϕ4 |
.. fir die symmetrische Steifigkeitsmatrix. Tabelliert sind die Werte der Integrale
Links
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Literature
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