Gelöste Aufgaben/UEBO: Unterschied zwischen den Versionen

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Wieso die Näherungslösung - besonders für ''α=½'' - so schlecht ist, erkennt man beim Auftragen der Biegemomente im Stab für
* die analytische Lösung
<math>\displaystyle \frac{M(x)}{M} = \left\{
\begin{array}{cl}
-\xi&\ldots\text{ für } \xi<\frac{1}{2}\\
1-\xi&\ldots\text{ sonst. }
\end{array}
\right.</math> und
* die numerische Lösung
<math>\displaystyle \frac{M(x)}{M} = \frac{1}{4} (2 \xi-1)</math>.
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Version vom 19. April 2021, 06:28 Uhr


Aufgabenstellung

Diese Problemstellung liefert einen Näherungsansatz für eine Standardlösung zum Euler-Bernoulli-Balken.

Der Euler-Bernoulli-Balken AB wird durch ein Moment M zwischen den beiden gelenkigen Lagern belastet. 


Lageplan

Gesucht ist eine Lösung für die Biegelinie mit dem Ansatz von Ritz und zwei Trial-Funktionen.

(Weg "1" wie in UEBH beschrieben.)

Lösung mit Maxima

Beim Verfahren von Ritz arbeiten wir mit

tmp

Wir berechnen die Potentielle Energie U des Systems in Abhängigkeit von den generalisierten Koordinaten Wi und erhalten aus

dUdWi=!0

die Gleichung für den gesuchten Koeffizienten Wi der Trial-Funktionen.

Header

Text




tmp

Um die Lösung dimensionslos zu machen, nutzen wir die analytische Lösung des Problems , hier die Beträge der maximalen Auslenkung des Balkens für a = ℓ und der Verdrehung des Balkens am Momenten-Angriffspunkt für a = ℓ/2:


Wmax=M293EI

die maximale Auslenkung des Balkens für a=


ΦM=M12EI die Verdrehung des Balkens am Momenten-Angriffspunkt für a=/2

Dimensionslose Orts-Koordinaten sind

x=ξ,a=α..


Declarations

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tmp

Bei der Suche nach passenden Trial-Functions ϕ lassen wir uns ebenfalls von der analytischen Lösung des Problems "inspirieren":

wa=M23EI((3α26α+2)ξ+ξ33<ξα>2)

Der Funktionsverlauf von wa hat zwei charakteristische Ausprägungen:

... für a=0... für a=ℓ/2
Diese Lösung - mit dem angreifenden Moment in A - hat eine starke symmetrische Komponente bzgl der Stab-Mitte. Diese Lösung - mit dem angreifenden Moment in der Stab-Mitte - ist punktsymmetrisch zum Momenten-Angriffspunkt.


Und so wählen wir unsere Trial-Functions als

ϕ1=c1ξ(1ξ) und ϕ2=c2ξ(1ξ)(αξ)

.

Trial-Functions

Für α=7∙ℓ/10 sehen sie so aus;

Die Koeffizienten c1 und c2 haben wir dabei so gewählt, dass

ϕ1(12)=1ϕ2(α)=1.

Mit den neuen, gesuchten Wichtungsfaktoren qw und qϕ ist die Ansatzfunktion zur Lösung mit dem Verfahren von Rayleigh-Ritz damit

w(ξ)=M23EI(qw(4ξξ233)+qϕ(ξ3+(1+α)ξ2αξ))

Aufgrund der gewählten Skalierungsfaktoren erwarten wir als Ergebnis näherungsweise

  • für α=½: qw ≈ 0 und qϕ ≈ 1,
  • für α= 0: qw ≈ 1 und qϕ ≈ 0.

Formfunctions

Text




tmp

Für die Gleichgewichtsbedingungen setzten wir Π (aus Abschnitt Euler-Bernoulli-Balken) und A in U ein und schreiben die skalare Gleichung allgemein in Matrizenform an. Dabei müssen wir

dϕx=dϕξdξx=1

berücksichtigen und erhalten mit der Arbeitsfunktion des Moments

A=Mw|ξ=α

das Potential in Matrix-Schreibweise:

U=12Q_TA__Q_Q_Tb_.

wobei

Q_=(qwqϕ).

Einsetzen der Ansatzfunktion in die Formänderungsenergie und die Arbeitsfunktion liefert für die Matrizen A und b:

A__=(128811635232α3521635232α3528α238α3+83),

b_=(833216α3322α2α2).


Potential Energy

Text




tmp

Diese Gleichung erfüllt die Gleichgewichtsbedingungen

dUdQi=!0,

wenn

(128811635232α3521635232α3528α238α3+83)(qwqp)=(833216α3322α2α2).

Equilibrium Conditions

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tmp

Auflösen der Gleichungen nach den unbekannten Koordinaten qw und qϕ liefert

qw=3328(2+7α9α2+6α3)qϕ=12(16α+6α2).

Damit ist die gesuchte Näherungs-Lösung

w(ξ)=M26EI((3α26α+2)ξ+(9α2+12α3)ξ2+(6α26α+1)ξ3).


Solving

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tmp

Verlauf der Koordinaten qw, qϕ

Die gesuchten Koordinaten  qw und qΦ sind dimensionslos. Wir können sie direkt für verschiedene Werte von α auftragen.

Wir sehen:

  • für α=½: die Lösung wird - wie erwartet - nur durch ϕ2 beschreiben - also qw ≈ 0 und qϕ ≈ 1; allerdings ist die Qualität der Lösung mit qϕ = 1/4 sehr schlecht - hier drückt der Sprung in der Momenten-Kennlinie der analytischen Lösung auf das Ergebnis (s.u.).
  • für α= 0: die Lösung wird - wie erwartet - primär durch ϕ1 beschreiben, also qw ≈ 1 und qϕ ≈ 0. Hier zeigt die Lösung mit qw = 1.3 und qϕ = -0.5 einen recht großen Lösungs-Anteil der punktsymmetrischen Trial-Function.
Parameterstudie Biegelinie

Und so sieht die normierte Biegelinie des Balkens im Vergleich von Ritz-Näherung zu analytischer Lösung für verschiedene Werte von a aus:

Die dicken Linien gehören zu Näherung nach dem Ritz-Ansatz, die dünnen zur analytischen Lösung. Je weiter der Momenten-Angriffspunkt in die Balken-Mitte rückt und besonders für α=1/2 liefert der Ritz-Ansatz kein überzeugendes Ergebnis. Hier müssten wir mehr Trial-Functions "spendieren".

Vergleich: analytische / numerische Lösung für den Biegemomenten-Verlauf.


Post-Processing

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Wieso die Näherungslösung - besonders für α=½ - so schlecht ist, erkennt man beim Auftragen der Biegemomente im Stab für

  • die analytische Lösung

M(x)M={ξ für ξ<121ξ sonst.  und

  • die numerische Lösung

M(x)M=14(2ξ1).

Post-Processing - Nachtrag

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