Gelöste Aufgaben/UEBL

Aufgabenstellung

Die Problemstellung ist identisch zu UEBI (und UEBJ, UEBK):

Der Euler-Bernoulli-Balken AB wird durch seine Gewichtskraft belastet. Er ist in A fest eingespannt und hat eine konstante Breite b sowie eine zwischen A und B linear veränderliche Höhe h.

Lageplan

Gesucht ist eine Näherungslösung mit der Methode der Finiten Elementen, die nur Elemente mit stückweise konstanten Querschnitts-Eigenschaften zulassen.

Gegeben sind für den Balken:

• Länge ℓ, Breite b,
• E-Modul E, Dichte ρ und
• die Höhe h₀=b und h₁ jeweils in A und B; dazwischen ist die Höhe linear veränderlich.

tmp

Unsere FEM-Formulierung mit kubischen Ansatz-Polynomen für Euler-Bernoulli-Balken ist auf Stäbe mit elementweise konstantem Querschnitt beschränkt: E und I müssen je Element konstant sein.

Für dieses Problem können wir die Formulierung also - nominell - nicht anwenden. Wir müssten im Abschnitt Virtuelle Formänderungsenergie die Integration für linear-veränderliche Querschnittsflächen ansetzen und durchführen.

Das machen wir hier nicht.

FE-Modell

Wir schauen uns an, wie die Lösung für das Ersatz-Modell aussieht, bei dem wir uns den Originalstab durch einen stufenweise abgesetzten Stab ersetzt denken - hier für zwei Elemente.

Die Querschnittseigenschaften je Element seien die des Original-Stabes im Element-Mittelpunkt.

Header

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Wir benutzen die Parameter-Deklarationen aus UEBI und laden außerdem die analytische Lösung von dort.

Einziger Unterschied: um die Element-Länge ℓ_i in Element "i" eindeutig von der Gesamt-Länge des Stabes zu unterscheiden, wählen wir für die Gesamt-Länge den Parameter ℓ₀ statt ℓ.

Declarations

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tmp

Wir verwenden aus Abschnitt FEM-Formulierung für den Euler-Bernoulli-Balken

• die Standard Element-Steifigkeitsmatrix

$\displaystyle {\underline {\underline {K}}}_{i}={\frac {EI_{i}}{\ell _{i}^{3}}}\;{\begin{pmatrix}12&6\cdot {{\ell }_{i}}&-12&6\cdot {{\ell }_{i}}\\6\cdot {{\ell }_{i}}&4\cdot {{\ell }_{i}^{2}}&-6\cdot {{\ell }_{i}}&2\cdot {{\ell }_{i}^{2}}\\-12&-6\cdot {{\ell }_{i}}&12&-6\cdot {{\ell }_{i}}\\6\cdot {{\ell }_{i}}&2\cdot {{\ell }_{i}^{2}}&-6\cdot {{\ell }_{i}}&4\cdot {{\ell }_{i}^{2}}\end{pmatrix}}$

• und die Element-"Rechte Seite "

${\underline {P}}_{i}=\rho \,A_{i}\,g\,\ell _{i}\cdot {\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {1}{2}}\\\displaystyle {\frac {{\ell }_{i}}{12}}\\\displaystyle {\frac {1}{2}}\\-\displaystyle {\frac {{\ell }_{i}}{12}}\end{pmatrix}}$.

Hier dürfen also der (mittlere) Querschnittsflächeninhalt A_i, das (mittlere) Flächenmoment I_i und die Länge ℓ_i je Element unterschiedliche Werte annehmen.

Ab hier haben wir einige Freiheiten und die füllen wir folgendermaßen:

• Die Anzahl der Finiten Element ist 3.
• Die Element-Längen wählen wir so, dass sie sich in Stab-Längsrichtung verdoppeln, also

$\ell _{i+1}=2\cdot \ell _{i}$

Dann sind mit

$\lambda _{i}:=\ell _{i}/\ell _{0}$

die relativen Element-Längen

$\displaystyle {{\lambda }_{1}}={\frac {1}{7}},{{\lambda }_{2}}={\frac {2}{7}},{{\lambda }_{3}}={\frac {4}{7}}$.

Für diese drei Element bestimmen wir die "mid-point"-Querschnittseigenschaften zu

$\displaystyle {\tilde {A}}_{1}={\frac {\left({\frac {13\cdot {{h}_{0}}}{7}}+{\frac {{h}_{1}}{7}}\right)\cdot b}{2}},{\tilde {A}}_{2}={\frac {\left({\frac {10\cdot {{h}_{0}}}{7}}+{\frac {4\cdot {{h}_{1}}}{7}}\right)\cdot b}{2}},{\tilde {A}}_{3}={\frac {\left({\frac {4\cdot {{h}_{0}}}{7}}+{\frac {10\cdot {{h}_{1}}}{7}}\right)\cdot b}{2}}$

und

$\displaystyle {\tilde {I}}_{1}={\frac {{{\left({\frac {13\cdot {{h}_{0}}}{7}}+{\frac {{h}_{1}}{7}}\right)}^{3}}\cdot b}{96}},{\tilde {I}}_{2}={\frac {{{\left({\frac {10\cdot {{h}_{0}}}{7}}+{\frac {4\cdot {{h}_{1}}}{7}}\right)}^{3}}\cdot b}{96}},{\tilde {I}}_{3}={\frac {{{\left({\frac {4\cdot {{h}_{0}}}{7}}+{\frac {10\cdot {{h}_{1}}}{7}}\right)}^{3}}\cdot b}{96}}$

Einsetzen und komponieren der Gesamt-Systemmatrix - mit Einarbeiten der geometrischen Randbedingungen - liefert

${\frac {{{b}^{4}}\cdot E}{{\ell }_{0}^{3}}}\cdot {\begin{pmatrix}{\frac {21411}{64}}&-{\frac {16227\cdot {{\ell }_{0}}}{896}}&-27&{\frac {27\cdot {{\ell }_{0}}}{7}}&0&0\\-{\frac {16227\cdot {{\ell }_{0}}}{896}}&{\frac {8865\cdot {{\ell }_{0}^{2}}}{3136}}&-{\frac {27\cdot {{\ell }_{0}}}{7}}&{\frac {18\cdot {{\ell }_{0}^{2}}}{49}}&0&0\\-27&-{\frac {27\cdot {{\ell }_{0}}}{7}}&{\frac {14553}{512}}&-{\frac {6183\cdot {{\ell }_{0}}}{1792}}&-{\frac {729}{512}}&{\frac {729\cdot {{\ell }_{0}}}{1792}}\\{\frac {27\cdot {{\ell }_{0}}}{7}}&{\frac {18\cdot {{\ell }_{0}^{2}}}{49}}&-{\frac {6183\cdot {{\ell }_{0}}}{1792}}&{\frac {1395\cdot {{\ell }_{0}^{2}}}{1568}}&-{\frac {729\cdot {{\ell }_{0}}}{1792}}&{\frac {243\cdot {{\ell }_{0}^{2}}}{3136}}\\0&0&-{\frac {729}{512}}&-{\frac {729\cdot {{\ell }_{0}}}{1792}}&{\frac {729}{512}}&-{\frac {729\cdot {{\ell }_{0}}}{1792}}\\0&0&{\frac {729\cdot {{\ell }_{0}}}{1792}}&{\frac {243\cdot {{\ell }_{0}^{2}}}{3136}}&-{\frac {729\cdot {{\ell }_{0}}}{1792}}&{\frac {243\cdot {{\ell }_{0}^{2}}}{1568}}\end{pmatrix}}\cdot {\underline {Q}}=m\,g\cdot {\begin{pmatrix}{\frac {25}{98}}\\{\frac {23\cdot {{\ell }_{0}}}{4116}}\\{\frac {20}{49}}\\{\frac {16\cdot {{\ell }_{0}}}{1029}}\\{\frac {12}{49}}\\-{\frac {8\cdot {{\ell }_{0}}}{343}}\end{pmatrix}}$.

FEM-Formulation

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Das lineare Gleichungssystem lösen wir mit der Referenz-Auslenkung

$\displaystyle {\hat {W}}={\frac {q_{ref}\,\ell _{0}^{4}}{8\,E\,I_{ref}}}$

und

$\displaystyle q_{ref}={\frac {m\,g}{\ell _{0}}},E\,I_{ref}=E\,b\,{\frac {\left(\displaystyle {\frac {h_{0}+h_{1}}{2}}\right)^{3}}{12}}$

zu

${\begin{array}{ccl}\displaystyle {\frac {W_{0}}{\hat {W}}}&=&0,\\\displaystyle {\frac {\Phi _{0}}{\hat {W}}}&=&0,\\\displaystyle {\frac {W_{1}}{\hat {W}}}&=&0.016,\\\displaystyle {\frac {\Phi _{1}}{\hat {W}}}&=&\displaystyle {\frac {0.2093}{\ell _{0}}},\\\displaystyle {\frac {W_{2}}{\hat {W}}}&=&0.1317,\\\displaystyle {\frac {\Phi _{2}}{\hat {W}}}&=&\displaystyle {\frac {0.5545}{\ell _{0}}},\\\displaystyle {\frac {W_{3}}{\hat {W}}}&=&0.5937,\\\displaystyle {\frac {\Phi _{3}}{\hat {W}}}&=&\displaystyle {\frac {0.8932}{\ell _{0}}}\end{array}}$

mit den Bezeichnungen nach Abschnitt FEM: Trial-Functions für kubische Ansatz-Polynome.

Solving

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Die Ergebnisse schauen wir uns als dimensionsloser Darstellung an, wobei wir wie in UEBI die Standard-Lösungen für den Balken unter konstanter Streckenlast als Referenz-Lösung ansetzen.

Wir finden

• ... für die Auslenkung w:

  

  Biegelinie w(x)

• ... für den Kippwinkel ϕ:

  

  Kippwinkel ϕ(x)

• ... für das Biegemoment M:

  

  Biegemomentenverlauf M(x)

• ... für die Querkraft Q:

  

  Querkraftverlauf Q(x)

Post-Processing

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