Gelöste Aufgaben/UEBJ

Aufgabenstellung

Der Euler-Bernoulli-Balken AB wird durch seine Gewichtskraft belastet. Er ist in A fest eingespannt und hat eine konstante Breite b sowie eine zwischen A und B linear veränderliche Höhe h.

Für diese Aufgabe gibt es in UEBI eine analytische Lösung - hier schauen wir uns an, wie sich die Qualität der Näherungslösungen mit der Steigerung der Anzahl der Trial-Functions ändert.

Lageplan

Gesucht ist die Biegeline und Schnittkraftverläufe mit dem Ansatz von Ritz und mehreren Trial-Funktionen.

Gegeben sind für den Balken:

• Länge ℓ, Breite b,
• E-Modul E, Dichte ρ und
• die Höhe h₀=b und h₁ jeweils in A und B; dazwischen ist die Höhe linear veränderlich.

Lösung mit Maxima

Beim Verfahren von Ritz arbeiten wir mit

• dem Prinzip vom Minimum der Potentiellen Energie und
• Ansatzfunktionen über die gesamte Länge des Balkens.

Um die Lösung dimensionslos zu machen, nutzen wir die analytische Lösung des einseitig fest eingespannten Balkens  mit konstanten I unter einer konstanten Streckenlast q₀. Hier ist die maximale Auslenkung

${\begin{array}{lcl}\displaystyle {\hat {w}}:={\frac {q_{ref}\,\ell ^{4}}{8EI_{ref}}}&{\text{ mit }}&q_{ref}=A_{ref}\,\rho \,g\\&&A_{ref}=h_{ref}\cdot b{\text{ und}}\\&&h_{ref}=\displaystyle {\frac {h_{0}+h_{1}}{2}}\end{array}}$.

Damit können wir uns die Lösungen dieses Problems als Vielfaches der analytischen Lösung eines ähnlichen Problems denken.

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In diesem Problem werden wir Lösungen zu verschiedenen Ansatzfunktionen miteinander vergleichen.

Es geht also nicht nur um die Berechnung einer Lösung - sondern vieler.

Header

Text

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Wir arbeiten mit den System-Parametern

${\begin{array}{lcl}\xi &=&\displaystyle {\frac {x}{\ell }},\\q(\xi )&=&A(\xi )\,\rho \,g,\\A(\xi )&=&b\,h(\xi ),\\I(\xi )&=&\displaystyle {\frac {b\cdot h^{3}(\xi )}{12}},\\h(\xi )&=&h_{0}\cdot (1-\xi )+h_{1}\cdot \xi {\text{ und}}\\h_{1}&=&\alpha \,h_{0}.\end{array}}$

Für die numerische Lösung verwenden wir - wie in UEBI -

$\alpha =\displaystyle {\frac {1}{2}}$.

Declarations

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Gesucht ist hier ein Ansatz mit polynomialen Trial Functions. Wir probieren verschiedene Ansätze aus, die wir mit "i" kennzeichnen, also

$w_{i}(\xi )={\hat {w}}\cdot \displaystyle \sum _{j_{min}}^{J}W_{i,j}\cdot \phi _{j}(\xi )$

und den gesuchten Koeffizienten W_ij. Die ϕ_j müssen dabei alle geometrischen Randbedingungen erfüllen, also:

${\begin{array}{ll}w_{i}(0)&=0,\\w_{i}'(0)&=0.\end{array}}$.

Die Funktionen müssen nicht die Randbedingungen für Schnittlasten in B erfüllen - schließlich suchen wir nach einer Näherungslösung!

Diese Funktionen ϕ_j zu konstruieren ist einfach: wir brauchen lediglich eine doppelte Nullstelle in $\xi =0$. Das erreichen wir, indem wir nur Polynome ab einem Grad ≥ 2 (also j_min=2) zulassen:

$\phi _{j}(\xi )=\xi ^{j}{\text{ mit }}j\geq 2$.

Damit ist

$w_{i}(\xi )={\hat {w}}\cdot \displaystyle \sum _{2}^{J}W_{i,j}\cdot \xi ^{j}$.

Die freien Koeffizienten W_ij sind nun die anteiligen Auslenkungen in B.

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Für die Gleichgewichtsbedingungen setzten wir die Formänderungsenergie Π (aus dem Abschnitt Euler-Bernoulli-Balken)

$\displaystyle \Pi ={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\ell }M(x)\,w''(x)dx$

und die Arbeitsfunktion der Gewichtskraft A

$\displaystyle {\bf {A}}=\int _{0}^{\ell }q(x)\,w(x)dx$

in U ein und schreiben die skalare Gleichung allgemein in Matrizenform an. Dabei müssen wir

$\displaystyle {\frac {d\phi }{x}}={\frac {d\phi }{\xi }}\cdot \underbrace {\displaystyle {\frac {d\xi }{x}}} _{\displaystyle ={\frac {1}{\ell }}}$

berücksichtigen und erhalten

${\bf {U}}=\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot \displaystyle {\underline {Q}}^{T}\cdot {\underline {\underline {A}}}\cdot {\underline {Q}}-{\underline {Q}}^{T}\cdot {\underline {b}}$.

In der Spaltenmatrix

${\underline {Q}}=\left({\begin{array}{l}W_{i,2}\\\vdots \\W_{i,I}\end{array}}\right)$

stehen nun zwischen einer und I-1 Gewichtungsfaktoren W_ij : die gesuchten Unbekannten.

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Die Gleichgewichtsbedingungen

$\displaystyle {\frac {d{\bf {U}}}{dW_{ij}}}{\stackrel {!}{=}}0$,

liefern uns die benötigte Anzahl von Gleichungen, z.B. für i=3:

${\begin{array}{cl}0=&{{W}_{3,3}}\cdot \left(36+72\cdot \alpha +108\cdot {{\alpha }^{2}}+144\cdot {{\alpha }^{3}}\right)+{{W}_{3,2}}\cdot \left(60+60\cdot \alpha +60\cdot {{\alpha }^{2}}+60\cdot {{\alpha }^{3}}\right)-30\cdot {{\alpha }^{3}}-70\cdot {{\alpha }^{2}}-50\cdot \alpha -10\\0=&{{W}_{3,3}}\cdot \left(36+108\cdot \alpha +216\cdot {{\alpha }^{2}}+360\cdot {{\alpha }^{3}}\right)+{{W}_{3,2}}\cdot \left(36+72\cdot \alpha +108\cdot {{\alpha }^{2}}+144\cdot {{\alpha }^{3}}\right)-24\cdot {{\alpha }^{3}}-54\cdot {{\alpha }^{2}}-36\cdot \alpha -6\end{array}}$.

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Hier - für i=3 - ist

${\begin{array}{ll}{{W}_{3,2}}&=\displaystyle {\frac {1+8\cdot \alpha +34\cdot {{\alpha }^{2}}+94\cdot {{\alpha }^{3}}+164\cdot {{\alpha }^{4}}+148\cdot {{\alpha }^{5}}+51\cdot {{\alpha }^{6}}}{6\cdot {{\alpha }^{6}}+24\cdot {{\alpha }^{5}}+60\cdot {{\alpha }^{4}}+120\cdot {{\alpha }^{3}}+60\cdot {{\alpha }^{2}}+24\cdot \alpha +6}}\\{{W}_{3,3}}&=\displaystyle -{\frac {5\cdot {{\alpha }^{2}}+20\cdot {{\alpha }^{3}}+35\cdot {{\alpha }^{4}}+30\cdot {{\alpha }^{5}}+10\cdot {{\alpha }^{6}}}{3\cdot {{\alpha }^{6}}+12\cdot {{\alpha }^{5}}+30\cdot {{\alpha }^{4}}+60\cdot {{\alpha }^{3}}+30\cdot {{\alpha }^{2}}+12\cdot \alpha +3}}\end{array}}$.===Rayleigh-Ritz Approach=== Text

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Für die verschiedenen Ansätze (Polynimial-Grade der Trial-Functions) erhaltem wir Lösungen, die die analytische Lösung aus UEBI unterschiedlich gut approximieren. Hier wählen wir als Ansätze die Polynome bis zum Grad 2, 3 und 4.

Parameterstudie: Biegelinie w(x)

Und so berechnen wir die normierten Absenkungen des Balkens für die verschiedenen Ansätze: Für Moment- und Querkraftverläufe erhalten wir

Parameterstudie Biegemomentenverlauf M(x)

Parameterstudie Querkraftverlauf Q(x)

Post-Processing

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