Sources/Lexikon/Euler-Bernoulli-Balken/Standard-Lösungen

Biegelinien-Tabelle in Anlehnung an Literatur: Gross e.a.: Formeln und Aufgaben zur Technischen Mechanik 2.

Wir nutzen dafür

Das Föppel-Symbol:

$<\xi -\alpha {>}^n=\{\begin{array}{ll}0& \text{ für }\xi <\alpha \\ {(\xi -\alpha )}^n& \text{ sonst}\end{array}$

Eine Dimensionslose Schreibweise:

$x=\xi \cdot \ell$

,

$a=\alpha \cdot \ell$

Kragbalken

Skizze	$EIw{\text{'}}_A$	$EIw{\text{'}}_B$	$EIw(\xi )$	$EI{w}_{max}$
	$0$	$\frac{a^2}{2}F$	$\frac{{\ell }^3}{6}F(3\alpha {\xi }^2-{\xi }^3+<\xi -\alpha {>}^3)$	$\frac{{\ell }^3}{3}F\text{ für }\alpha =1$

Balken unter Endmoment

Skizze	$EIw{\text{'}}_A$	$EIw{\text{'}}_B$	$EIw(\xi )$	$EI{w}_{max}$
	$0$	$M\ell$	$\frac{1}{2}M{\ell }^2{\xi }^2$	$\frac{1}{2}M{\ell }^2$

Balken Streckenlast

Skizze	$EIw{\text{'}}_A$	$EIw{\text{'}}_B$	$EIw(\xi )$	$EI{w}_{max}$
	$\frac{q_0{\ell }^3}{24}$	$-\frac{q_0{\ell }^3}{24}$	$\frac{q_0{\ell }^4}{24}(3{\xi }^5-10{\xi }^3+7\xi )$	$\frac{5q_0{\ell }^4}{384}$

Einzellast, doppeltgelenkige Lagerung

Skizze	$EIw{\text{'}}_A$	$EIw{\text{'}}_B$	$EIw(\xi )$	$EI{w}_{max}$
	$\frac{F{\ell }^2}{6}({\alpha }^3-3\cdot {\alpha }^2+2\cdot \alpha )$	$-\frac{F{\ell }^2}{6}({-\alpha }^3+\alpha )$	$\frac{F{\ell }^3}{6}((\alpha -1)\cdot {\xi }^4+(2\cdot \alpha -3\cdot {\alpha }^2+{\alpha }^3)\cdot \xi +<\xi -\alpha {>}^3)$	$\frac{F{\ell }^3}{48}\text{ für }\alpha =1/2$

Einzelmoment, doppeltgelenkige Lagerung

Skizze	$EIw{\text{'}}_A$	$EIw{\text{'}}_B$	$EIw(\xi )$	$EI{w}_{max}$
	$\begin{array}{ll}& \frac{M\ell }{6}(3\cdot {\alpha }^2-6\cdot \alpha +2)\\ =& -\frac{M\ell }{24}\text{ für }\alpha =1/2,\xi =0\end{array}$	$\frac{M\ell }{6}(3{\alpha }^2-1)$	$\frac{M{\ell }^2}{6}({\xi }^3+\xi (2-6\alpha +3{\alpha }^2)-3\cdot <\xi -\alpha {>}^2)$	$\frac{M{\ell }^2}{72\sqrt{3}}\text{ für }\alpha =1/2$ ⚠ Achtung: ! Das ist das Maximum der Auslenkung für α=1/2, nicht das absolute Maximum !

Maxima Source Code

Zum Nachrechnen steht hier der Quellcodes des CAS.

📑 toggle code

/*******************************************************/ /* MAXIMA script */ /* version: wxMaxima 15.08.2 */ /* author: Andreas Baumgart */ /* last updated: 2018-02-16 */ /* ref: TMC, Labor 3 */ /* description: analytische Lösung für load-case-5 */ /* */ /*******************************************************/

feld: makelist(w[i](x) = sum(C[i,j]*x^j,j,0,3),i,1,2);

BC : [subst([x=0], subst(feld,w[1](x)) )=0,

     subst([x=0],diff(subst(feld,w[1](x)),x,2))=0,
     subst([x=a],     subst(feld,w[1](x))     )=subst([x=a],     subst(feld,w[2](x))     ),
     subst([x=a],diff(subst(feld,w[1](x)),x,1))=subst([x=a],diff(subst(feld,w[2](x)),x,1)),
     subst([x=a],diff(subst(feld,w[1](x)),x,3))=subst([x=a],diff(subst(feld,w[2](x)),x,3)),
     EI*subst([x=a],diff(subst(feld,w[1](x)),x,2))-M=EI*subst([x=a],diff(subst(feld,w[2](x)),x,2)),
     subst([x=l],     subst(feld,w[2](x))     )=0,
     subst([x=l],diff(subst(feld,w[2](x)),x,2))=0];

IC : flatten(makelist(makelist(C[i,j],j,0,3),i,1,2));

sol[1]: solve(BC,IC)[1]; sol[2]: ratsimp(subst([x=xi*l,a=alpha*l],subst(sol[1],feld)));

/* foeppel - part */ expand(subst(sol[2],w[2](xi*l)-w[1](xi*l))/(M*l^2/(6*EI))); ratsimp(subst(sol[2],w[1](xi*l))/(M*l^2/(6*EI)));

plot2d(subst([xi=t,alpha=1/2],[[parametric,xi,subst(sol[2],w[1](xi*l))/(M*l^2/(6*EI)),[t,0,alpha]],

                              [parametric,xi,subst(sol[2],w[2](xi*l))/(M*l^2/(6*EI)),[t,alpha,1]]]),
                            [legend,"ξ<α","ξ>α"],
                            [xlabel, "x/l →"],
                            [ylabel, "w(x)/W →"]);

/* maximum */ maxi : solve(diff(subst([alpha=1/2],subst(sol[2],w[1](xi*l))),xi)=0,xi); WM : -subst([3^(5/2) = 3^2*sqrt(3)], ratsimp(subst(maxi[2],subst([alpha=1/2],subst(sol[2],w[1](xi*l)))))); PM : ratsimp(subst([xi=0],subst([alpha=1/2],diff(subst(sol[2],w[1](xi*l)),xi)/l)));

Kragbalken Streckenlast

Skizze	$EIw{\text{'}}_A$	$EIw{\text{'}}_B$	$EIw(\xi )$	$EI{w}_{max}$
	$0$	$\frac{q_0{\ell }^3}{6}$	$\frac{q_0{\ell }^4}{24}({\xi }^4-4{\xi }^3+6{\xi }^2)$	$\frac{q_0{\ell }^4}{8}$