Gelöste Aufgaben/UEBB

Aufgabenstellung

Lageplan

Der Euler-Bernoulli-Balken AB wird durch eine linear veränderliche Streckenlast belastet. Gesucht ist die Lösung für w(x) mit dem Ansatz von Ritz und zwei Trial-Functions.

Lösung mit Matlab

Für dieses Problem finden wir in der Literatur die tabellierte Musterlösung

$EI\cdot w(x)=\displaystyle {\frac {q_{A}\ell ^{4}}{120}}\left(-1\cdot \xi ^{5}+5\cdot \xi ^{4}-10\cdot \xi ^{3}+10\cdot \xi ^{2}\right)$.

Die verwenden wir als Referenz, um die Qualität unserer Näherungslösung zu bewerten. Die Auslenkung der analytischen Lösung ist am rechten Rand (x=ℓ) ist maximal und beträgt

$\displaystyle w(\ell )={\frac {q_{A}\;\ell ^{4}}{30\;EI}}=:{\hat {w}}$Damit können wir die beiden Lösungen vergleichen und die Bewegungsgleichung nach Ritz dimensionslos machen.

Für den Ritz-Ansatz brauchen wir die Terme der Potentiellen Energie des Systems

$U=\Pi -A$,

wobei Π die Formänderungsenergie ist und A die Arbeitsfunktion der äußeren Last q(x).

Es ist

${\begin{array}{ll}\Pi &=\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{\ell }EI\;(w'')^{2}dx\\\displaystyle A&=\displaystyle \int _{\ell }q(x)\cdot w(x)dx{\text{ mit }}q(x)=q_{A}\left(1-{\frac {x}{\ell }}\right)\end{array}}$Für den Ritz-Ansatz verwenden wir Ganzfeld-Ansätze - also Formfunktionen für die Näherung der exakten Lösung, die sich über die gesamte Balkenlänge erstrecken.

Der Ansatz ist allgemein

${\tilde {w}}(x)=\sum W_{i}\cdot \phi _{i}(x)$,

wobei die ϕ_i die linear unabhängigen Formfunktionen und die W_i die Wichtungsfaktoren sind, die wir so bestimmen, dass die Gesamtlösung bestmöglich die gesuchte Funktion approximiert.

Für die wählen wir ausschließlich Polynome - die können wir bequem differenzieren und integrieren.

✔ Matlab© und Polynome:

Alle verwendeten Funktionen in diesem Beispiel sind Polynome. Matlab© bietet für die Manipulation von Polynomen eine Klasse von Functions an, die hier hilfreich sind: Matlab©: Polynomials

Header

Lösung mit Matlab R2015a

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% Matlab script                                       %
% version: Matlab R2015a                              %
% author: Andreas Baumgart                            %
% last updated: 2017-10-19                            % 
% ref: Gross e.a. TM 2 - Aufgaben zu Biegung, #7      %                              
% description: Lösung mit Ritz-Ansatz                 %
%                                                     %
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Formfunctions

Wir setzen zuerst für die Näherungslösung

$\displaystyle {\tilde {w}}(x)={\tilde {W}}_{2}\cdot \underbrace {\left({\frac {x}{\ell }}\right)^{2}} _{\displaystyle =:\phi _{2}}+{\tilde {W}}_{3}\cdot \underbrace {\left({\frac {x}{\ell }}\right)^{3}} _{\displaystyle =:\phi _{3}}$

an - in der die beiden ϕ_i die geometrischen Randbedingungen

${\begin{array}{ll}\phi _{i}(0)&=0\\\displaystyle {\frac {d\phi _{i}}{dx}}|_{x=0}&=0\end{array}}$

erfüllen.

Wir setzen jetzt dimensionslos an, also

${\tilde {W}}_{i}=\ell _{Bez}\cdot W_{i}$

und wählen als Bezugslänge

$\ell _{Bez}:=\displaystyle {\hat {w}}={\frac {q_{A}\;\ell ^{4}}{30\;EI}}$

Die berechnete Auslenkung des Balkens am rechten Rand sollte also im Idealfall - wenn analytische und approximierte Lösung gleich sind - zusammenfallen. Dann müssten wir herausbekommen:

$W_{2}+W_{3}=1$

Zusätzlich schreiben die ϕ_i mit der dimensionslose Koordinate ξ, so dass

$\phi _{2}=\xi ^{2}{\text{ und }}\phi _{3}=\xi ^{3}$

In Matlab-Notation sind das die Polynome

[0,1,0,0] und [1,0,0,0].

Uns fehlt noch das Polynom für die Streckenlast

$q(x)=q_{A}\left(1-\displaystyle {\frac {x}{\ell }}\right)$,

in Matlab bilden wir es durch [-1,1] ab.

% Ansatz-Polynome Definieren
% diese erfüllen die geometrischen Randbedingungen
phi = [[0,1,0,0];[1,0,0,0]]
% Matrizen für das lineare Gleichungssystem 
%                   in W[2] und W[3] vorbereiten
A = zeros(2,2)
b = zeros(2,1)

Potential Energy

Für die Gleichgewichtsbedingungen setzten wir Π und A in U ein und schreiben die skalare Gleichung in Matrizenform an. Dabei müssen wir

$\displaystyle {\frac {d\phi }{x}}={\frac {d\phi }{\xi }}\cdot \underbrace {\displaystyle {\frac {d\xi }{x}}} _{\displaystyle ={\frac {1}{\ell }}}$

und erhalten

$U={\frac {1}{2}}EI\displaystyle {\frac {{\hat {w}}^{2}}{\ell ^{3}}}{\underline {W}}^{T}\cdot {\underline {\underline {A}}}\cdot {\underline {W}}-q_{A}\;\ell \;{\hat {w}}\;{\underline {W}}^{T}\cdot {\underline {b}}$

mit

$a_{i,j}=\displaystyle \int _{0}^{1}\phi _{i}''(\xi )\cdot \phi _{j}''(\xi )d\xi {\text{ und }}b_{i}=\int _{0}^{1}\left(1-\xi \right)\cdot \phi _{i}(\xi )d\xi$.

Mit der analytischen Lösung für w(ℓ) oben bleibt

$\displaystyle U={\hat {w}}\;q_{A}\;\ell \left(\displaystyle {\frac {1}{2}}\;{\frac {1}{30}}\,{\underline {W}}^{T}\cdot {\underline {\underline {A}}}\cdot {\underline {W}}-{\underline {W}}^{T}\cdot {\underline {b}}\right)$

mit

${\underline {\underline {A}}}=\left({\begin{array}{c}4&6\\6&12\end{array}}\right),{\underline {b}}=\displaystyle {\frac {1}{60}}\cdot \left({\begin{array}{c}5\\3\end{array}}\right)$.

Die seltsam anmutende Notation mit 1/2*1/30 hat seinen Sinn in der Anknüpfung an die Minimum Prinzipe und die Lösung der Gleichgewichtsbeziehungen.

% Matrizen besetzen
for i= 1:2
   for j=1:2
      E = conv(
               polyder(polyder(phi(i,:))),
               polyder(polyder(phi(j,:))))
      I = polyint(E)
      A(i,j) = diff(polyval(I,[0 1]))
   end
   b(i,1) = diff(polyval(polyint(
                conv([-1,1],phi(i,:))),
                       [0 1]))
end

Equilibrium Conditions

Diese Gleichung erfüllt die Gleichgewichtsbedingungen

$\displaystyle {\frac {dU}{dW_{i}}}{\stackrel {!}{=}}0$,

wenn

${\frac {1}{30}}{\underline {\underline {A}}}\;{\underline {W}}={\underline {b}}$.

% left blank intentionally

Solving

Das lineare Gleichungssystem löst in Matlab der Befehl

linsolve(.,.) für uns.

Matlab: linsolve!

Hier ist

${\underline {x}}=\left[{\begin{array}{c}W_{2}\\W_{3}\end{array}}\right]$

und wir sehen: unser Wunsch

$W_{2}+W_{3}=1$

von oben ist sogar exakt - nicht nur näherungsweise - erfüllt!

% nach x (W[2],W[3]) lösen
x = linsolve(A/30,b)

Post-Processing

Die Näherungslösung und die analytische Lösung können wir jetzt im Vergleich auftragen:

Vergleich von analytischer und genäherter Lösung

% … und plotten
% analytische Ösung
a = [-1,5,-10,+10,0,0]/4.
% genäherte Lösung in Teilen
w = [x(1)*phi(1,:);
     x(2)*phi(2,:)]

xi = linspace(0,1,100)

p  = [polyval(a,xi);
      polyval(w(1,:),xi);
      polyval(w(2,:),xi)]

fig = plot(xi,p(1,:),xi,p(2,:)+p(3,:))
title('analytische und approximierte Lösung')
xlabel('ξ →') 
ylabel('w →') 
legend('analytic','Ritz-approx.')

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Links

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Literature

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