Gelöste Aufgaben/TC12: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 7. April 2021, 14:30 Uhr

Aufgabenstellung

Ein Stab ABC (E-Modul: E) besteht aus zwei Sektionen mit den Längen ℓ₁ bzw. ℓ₂ sowie den Flächenmomenten I₁ bzw. I₂. Die Sektionen haben jeweils einen quadratischen Querschnitt, Sektion AB ist durch eine konstante Streckenlast q₀ belastet, in B wirkt das Moment M_B0. Der Stab ist in A durch ein gelenkiges Festlager gelagert. In C ist das Stabende fest mit dem Umfang einer Rolle vom Radius r verbunden, die in D frei drehbar gelagert ist. In B sind die beiden Sektionen fest miteinander verbunden. Die Feder in B ist eine Translationsfeder mit der Steifigkeit k_B.

Interessant ist die kinematische Randbedingung aus der Rolle.

Gesucht ist die Analytische Lösung für den Euler-Bernoulli-Balken und die Verläufe der Schnittgrößen.

Ermitteln Sie für ein Euler-Bernoulli-Modell die analytischen Verläufe der Schnittgrößen und Verschiebungen im Balken für diese Parameter:

Erstellen Sie dazu ein Programm, mit einem Euler-Bernoulli-Modell für die Berechnung der analytischen Verläufe der Schnittgrößen und Verschiebungen im Balken. Bestimmen Sie Querschnitts-Abmessungen der Sektionen so, dass die maximale Auslenkung des Systems 10 mm beträgt.

Lösung mit Maxima

Die Aufgabe ist ein klassisches Randwertproblem:

zwei Gebiete, in denen ein Euler-Bernoulli-Balken in AB und BC durch eine Streckenlast q belastet ist (in Bereich II ist die Streckenlast allerdings Null) und somit durch die Differentialbeziehung

$E I_{i} w_{i}^{I V} (x_{i}) = q (x_{i}), i = {1, 2}$ berschrieben wird.

Rand- und Übergangsbedingungen in den Punkten A, B, C

Wir verwenden x_i und ξ_i als Koordinaten je Bereich, in der Übersicht sieht das Randwertproblem so aus:

Rand A	Bereich I	Übergang B	Bereich II	Rand C

tmp

Wir lösen die Feld-Differentialgleichung exakt und passen die Integrationskonstanten an die Rand- und Übergangsbedingungen an.

Header

Text

1+1

tmp

Wir definieren zunächst die bekannten Parameter zu

$\begin{array}{ll} {E I}_{2} & = 2 \cdot {E I}_{1} \\ ℓ_{2} & = \frac{ℓ_{1}}{2} \\ r & = \frac{ℓ_{1}}{4} \\ M_{B} & = q_{0} \cdot ℓ_{1}^{2} \\ k_{B} & = \frac{3 \cdot {E I}_{1}}{ℓ_{1}^{3}} \\ w_{m a x} & = 90 mm \end{array}$ .

Weitere brauchen nicht.

Declarations

Text

1+1

tmp

In Bereich I und II gilt dieselbe Bewegungs-Differentialgleichung

$E I_{i} w_{i}^{I V} (x_{i}) = q (x_{i}), i = {1, 2} mit q (x_{i}) = q_{0} \cdot ϕ_{0} (ξ) + q_{1} \cdot ϕ_{1} (ξ)$ ,

die wir durch Integration lösen und dann bereichsweise anpassen.

So gilt für Bereich II: q₀ = 0.

Die allgemeine Lösung ist mit

... für Bereich I:

$\begin{array}{l} w_{1} (x) : = \frac{24 \cdot C_{1, 0} + 24 \cdot C_{1, 1} \cdot x + 12 \cdot C_{1, 2} \cdot x^{2} + 4 \cdot C_{1, 3} \cdot x^{3} + q_{0} \cdot x^{4}}{24 \cdot {E I}_{1}} \\ ϕ_{1} (x) : = \frac{24 \cdot C_{1, 1} + 24 \cdot C_{1, 2} \cdot x + 12 \cdot C_{1, 3} \cdot x^{2} + 4 \cdot q_{0} \cdot x^{3}}{24 \cdot {E I}_{1}} \\ M_{1} (x) : = - \frac{24 \cdot C_{1, 2} + 24 \cdot C_{1, 3} \cdot x + 12 \cdot q_{0} \cdot x^{2}}{24} \\ Q_{1} (x) : = - \frac{24 \cdot C_{1, 3} + 24 \cdot q_{0} \cdot x}{24} \end{array}$

... für Bereich II:

$\begin{array}{l} w_{2} (x) : = \frac{120 \cdot l_{2} \cdot C_{2, 0} + 120 \cdot l_{2} \cdot C_{2, 1} \cdot x + 60 \cdot l_{2} \cdot C_{2, 2} \cdot x^{2} + 20 \cdot l_{2} \cdot C_{2, 3} \cdot x^{3}}{120 \cdot l_{2} \cdot {E I}_{2}} \\ ϕ_{2} (x) : = \frac{120 \cdot l_{2} \cdot C_{2, 1} + 120 \cdot l_{2} \cdot C_{2, 2} \cdot x + 60 \cdot l_{2} \cdot C_{2, 3} \cdot x^{2}}{120 \cdot l_{2} \cdot {E I}_{2}} \\ M_{2} (x) : = - \frac{120 \cdot l_{2} \cdot C_{2, 2} + 120 \cdot l_{2} \cdot C_{2, 3} \cdot x}{120 \cdot l_{2}} \\ Q_{2} (x) : = - C_{2, 3} \end{array}$ .

Generic Solutions for Euler-Bernoulli-Beam

Text

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tmp

Für die 2*4 = 8 Integrationskonstanten

$[C_{1, 0}, C_{1, 1}, C_{1, 2}, C_{1, 3}, C_{2, 0}, C_{2, 1}, C_{2, 2}, C_{2, 3}]$

suchen wir jetzt die passenden Gleichungen aus Rand- und Übergangsbedingungen.

Zur besseren Übersicht nennen wir die Schnitt-Momente und -Kräfte nach den jeweiligen Knotenpunkten A, B, C und fügen als Index ein + / - hinzu, um die Seite (+: rechts vom Knoten, -: links vom Knoten) zu kennzeichnen, wenn diese unterschiedlich sind.

Boundary Conditions

Text

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tmp

Prepare for Solver

Text

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Solving

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Post-Processing

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Links

...

Literature

...

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 <table class="wikitable" style="background-color:white;">
 <tr><th>Rand<br/>A</th><th>Bereich I</th><th>Übergang<br/>B</th><th>Bereich II</th><th>Rand<br/>C</th></tr>
-<tr><td></td><td>[[Datei:TC12-11AB.png|rahmenlos|alternativtext=|200x200px]]</td><td></td><td>[[Datei:TC12-11BC.png|rahmenlos|alternativtext=|260x260px]]</td><td></td></tr>
+<tr><td></td><td>[[Datei:TC12-11AB.png|rahmenlos|alternativtext=|250x250px]]</td><td></td><td>[[Datei:TC12-11BC.png|rahmenlos|alternativtext=|150x150px]]</td><td></td></tr>
-<tr><td>[[Datei:TC12-11A.png|116x116px|rahmenlos|alternativtext=]]</td><td></td><td>[[Datei:TC12-11B.png|rahmenlos|alternativtext=|128x128px]]</td><td></td><td>[[Datei:TC12-11C1.png|rahmenlos|alternativtext=|116x116px]]<br/>
+<tr><td>[[Datei:TC12-11A.png|77x77px|rahmenlos|alternativtext=]]</td><td></td><td>[[Datei:TC12-11B.png|rahmenlos|alternativtext=|100x100px]]</td><td></td><td>[[Datei:TC12-11C1.png|rahmenlos|alternativtext=|116x116px]]<br/>
 [[Datei:TC12-11C2.png|rahmenlos|alternativtext=|116x116px]]
 </td></tr>
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 ==tmp==
-<!-------------------------------------------------------------------------------->
+Wir lösen die Feld-Differentialgleichung exakt und passen die Integrationskonstanten an die Rand- und Übergangsbedingungen an.<!-------------------------------------------------------------------------------->
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 ==tmp==
-<!-------------------------------------------------------------------------------->
+Wir definieren zunächst die bekannten Parameter zu
+<math>\begin{array}{ll}{{\mathit{E I}}_{2}}&=2\cdot {{\mathit{E I}}_{1}}\\{{\ell}_{2}}&\displaystyle =\frac{{{\ell}_{1}}}{2}\\ r&=\displaystyle \frac{{{\ell}_{1}}}{4}\\ {{M}_{B}}&={{q}_{0}}\cdot {{\ell}_{1}^{2}}\\{{k}_{B}}&\displaystyle =\frac{3\cdot {{\mathit{E I}}_{1}}}{{{\ell}_{1}^{3}}}\\w_{max}&=90 \text{mm}\end{array}</math>.
+Weitere brauchen nicht.<!-------------------------------------------------------------------------------->
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+In Bereich I und II gilt dieselbe Bewegungs-Differentialgleichung
+<math>E\; I_i w_i^{IV}(x_i) = q(x_i) ,\;\; i=\{1,2\} \text{ mit } q(x_i) = q_0\cdot\phi_0(\xi) + q_1\cdot\phi_1(\xi)</math>,
+die wir durch Integration lösen und dann bereichsweise anpassen.
+So gilt für Bereich II: ''q<sub>0</sub> = 0''.
+Die allgemeine Lösung ist mit
+... für Bereich I:
+<math>\begin{array}{l} {{w}_{1}}\left( x\right) := \frac{24\cdot {{C}_{1,0}}+24\cdot {{C}_{1,1}}\cdot x+12\cdot {{C}_{1,2}}\cdot {{x}^{2}}+4\cdot {{C}_{1,3}}\cdot {{x}^{3}}+{{q}_{0}}\cdot {{x}^{4}}}{24\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}   \\ {{\phi}_{1}}\left( x\right) := \frac{24\cdot {{C}_{1,1}}+24\cdot {{C}_{1,2}}\cdot x+12\cdot {{C}_{1,3}}\cdot {{x}^{2}}+4\cdot {{q}_{0}}\cdot {{x}^{3}}}{24\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}\\ {{M}_{1}}\left( x\right) :=-\frac{24\cdot {{C}_{1,2}}+24\cdot {{C}_{1,3}}\cdot x+12\cdot {{q}_{0}}\cdot {{x}^{2}}}{24}\\ {{Q}_{1}}\left( x\right) := -\frac{24\cdot {{C}_{1,3}}+24\cdot {{q}_{0}}\cdot x}{24}\end{array}</math>
+... für Bereich II:
+<math>\begin{array}{l} {{w}_{2}}\left( x\right) :=\frac{120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,0}}+120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,1}}\cdot x+60\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,2}}\cdot {{x}^{2}}+20\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,3}}\cdot {{x}^{3}}}{120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}\\ {{\phi}_{2}}\left( x\right) :=\frac{120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,1}}+120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,2}}\cdot x+60\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,3}}\cdot {{x}^{2}}}{120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}\\ {{M}_{2}}\left( x\right) :=-\frac{120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,2}}+120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,3}}\cdot x}{120\cdot {{l}_{2}}}\\ {{Q}_{2}}\left( x\right) :=-{{C}_{2,3}} \end{array}</math>.<!-------------------------------------------------------------------------------->
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+Für die 2*4 = 8 Integrationskonstanten
+<math>\left[ C_{1,0},C_{1,1},C_{1,2},C_{1,3},C_{2,0},C_{2,1},C_{2,2},C_{2,3}\right]</math>
+suchen wir jetzt die passenden Gleichungen aus Rand- und Übergangsbedingungen.
+Zur besseren Übersicht nennen wir die Schnitt-Momente und -Kräfte nach den jeweiligen Knotenpunkten ''A, B, C'' und fügen als Index ein + / - hinzu, um die Seite (+: rechts vom Knoten, -: links vom Knoten) zu kennzeichnen, wenn diese unterschiedlich sind.<!-------------------------------------------------------------------------------->
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Gelöste Aufgaben/TC12: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 7. April 2021, 14:30 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgabenstellung

Lösung mit Maxima

tmp

Header

tmp

Declarations

tmp

Generic Solutions for Euler-Bernoulli-Beam

tmp

Boundary Conditions

tmp

Prepare for Solver

tmp

Solving

tmp

Post-Processing

Navigationsmenü

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Version vom 7. April 2021, 14:30 Uhr

Aufgabenstellung

Lösung mit Maxima

tmp

Header

tmp

Declarations

tmp

Generic Solutions for Euler-Bernoulli-Beam

tmp

Boundary Conditions

tmp

Prepare for Solver

tmp

Solving

tmp

Post-Processing

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