Gelöste Aufgaben/T313

Aufgabenstellung

Stäbe waren früher das zentrale Bauteil in Leichtbau-Konstruktionen. In dieser Aufgabe geht es um die Komposition der Gesamt-Steifigkeitsmatrix für ein Stabwerk. Das Stabwerk besteht aus 5 Stäben gleicher Dehnsteifigkeit EA und wird durch die Kräfte F, 2F belastet.

Lageplan

Gesucht sind Stabkräfte und Verschiebung der Knotenpunkte des Systems mit dem Prinzip der vertuellen Verrückungen.

Lösung mit Maxima

Dazu verwenden wir die Element-Steifigkeitsmatrix aus den Ergebnissen von Aufgabe T312.

In der Gleichgewichtsbedinung beim Prinzip der virtuellen Verrückungen 

${\begin{array}{rl}\delta W=&\delta W^{a}-\delta \Pi \\{\stackrel {!}{=}}&0\end{array}}$

teilen wir 

$\displaystyle \Pi =\sum _{i}\delta \,\Pi _{i}$

in die virtuelle Formänderungsenergie δΠ_i je Stab auf.

tmp

Für die Aufgabe nutzen wir die Ergebnisse aus T312. Dort haben wir die Anteile der viruellen Formänderungsenergievon

$\delta \Pi _{i}$

allgemein aufgeschrieben.

Bezeichnung von Stäben und Knoten

Den Stäben und Knoten geben wir Nummern - so können wir sie leichter ansprechen.

Header

Text

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Aus dem Lageplan lesen wir paarweise die x/y-Koordinaten der Knotenpunkte I, II, III, IV ab:

${\begin{array}{lll}N=[&[0,&0],\\&[2a,&a],\\&[2a,&0],\\&[4a,&0]\;]\end{array}}$.

Für die Stäbe erfassen wir die Nummern Ihrer Start- und End-Knotenpunkte:

${\begin{array}{ll}R=[&[1,2]\\&[1,3]\\&[2,3]\\&[2,4]\\&[3,4]\;]\end{array}}$.

Parameter

Text

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Aus diesen Parametern können wir alle Elemente der Element-Steifigkeitsmatrix K_E

$\delta \Pi _{i}=[{{\mathit {\delta \,u}}_{k}},{{\mathit {\delta \,v}}_{k}},{{\mathit {\delta \,u}}_{l}},{{\mathit {\delta \,v}}_{l}}]\cdot \underbrace {{{k}_{i}}\cdot {\begin{pmatrix}{{\xi }_{x}^{2}}&{{\xi }_{x}}\cdot {{\xi }_{y}}&-{{\xi }_{x}^{2}}&-{{\xi }_{x}}\cdot {{\xi }_{y}}\\{{\xi }_{x}}\cdot {{\xi }_{y}}&{{\xi }_{y}^{2}}&-{{\xi }_{x}}\cdot {{\xi }_{y}}&-{{\xi }_{y}^{2}}\\-{{\xi }_{x}^{2}}&-{{\xi }_{x}}\cdot {{\xi }_{y}}&{{\xi }_{x}^{2}}&{{\xi }_{x}}\cdot {{\xi }_{y}}\\-{{\xi }_{x}}\cdot {{\xi }_{y}}&-{{\xi }_{y}^{2}}&{{\xi }_{x}}\cdot {{\xi }_{y}}&{{\xi }_{y}^{2}}\end{pmatrix}}} _{\displaystyle =:{\underline {\underline {K}}}_{E}}\cdot {\begin{pmatrix}{{u}_{k}}\\{{v}_{k}}\\{{u}_{l}}\\{{v}_{l}}\end{pmatrix}}$(vgl. T312)

je Stab berechnen.

Element Stiffness Matrix

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Die skalaren Gleichgewichtsbeziehungen können wir auch als

$\underbrace {\delta {\underline {Q}}^{T}\cdot {\underline {P}}} _{\displaystyle =\delta W^{a}}-\underbrace {\delta {\underline {Q}}^{T}\cdot {\underline {\underline {K}}}\cdot {\underline {Q}}} _{\displaystyle =\delta \Pi }=0$

schreiben. Die Gesamt-Steifigkeitsmatrix K aus dem Gesamt-Gleichungssystem

${\underline {\underline {K}}}\cdot {\underline {Q}}={\underline {P}}$

komponieren wir gleich aus den jeweiligen Element-Steifigkeitsmatrizen je Stab. "Komponieren", weil wir dabei nichts mehr berechnen müssen, sondern die Elemente der Element-Steifigkeitsmatrix nur passend in die Gesamt-Steifigkeitsmatrix einsortieren müssen.

Es sind

${\underline {Q}}=\left({\begin{array}{c}u_{1}\\v_{1}\\u_{2}\\v_{2}\\u_{3}\\v_{3}\\u_{4}\\v_{4}\end{array}}\right),\;\;\delta {\underline {Q}}=\left({\begin{array}{c}\delta u_{1}\\\delta v_{1}\\\delta u_{2}\\\delta v_{2}\\\delta u_{3}\\\delta v_{3}\\\delta u_{4}\\\delta v_{4}\end{array}}\right)$

die Koordinaten der Verschiebungen der Knoten in x- und y-Richtung und ihre Variationen (ohne Berücksichtigung der Lager-Bindungen) sowie

${\underline {P}}=F\cdot \left({\begin{array}{c}0\\0\\1\\0\\0\\-2\\0\\0\end{array}}\right)$

die Last-Spaltenmatrix mit den Kräften F, 2F auf das Stabwerk, die aus

$\delta W^{a}=F\cdot \delta u_{2}+(-2F)\cdot \delta v_{3}$

kommt.

Beim Komponieren der Gesamt-Steifigkeitsmatrix gehen wir so vor:

Die virtuellen Formänderungs-Energien des Stabwerks setzen sich additiv aus den (hier fünf) virtuellen Formänderungsenergien je Stab zusammen:

$\delta \Pi =\delta \Pi _{1}+\delta \Pi _{2}+...\delta \Pi _{i}+...+\delta \Pi _{5}$

Jedes Matrix-Element der Element-Steifigkeitsmatrix für den Stab i gehört nun zu genau einer Kombination aus Verschiebung und virtueller Verschiebung. So taucht in Liste der Summanden für Stab 1 (Knoten I und II)auch der Term

$\delta \Pi _{i}=...+\delta v_{1}\cdot k_{23}\cdot \delta u_{2}+...$

auf.

Einarbeiten der Element-Steifigkeitsmatrix

Diesen müssen wir jetzt zur Gesamt-Steifigkeitsmatrix hinzuaddieren - so wie unten beschreiben.

Die Gesamt-Steifigkeitsmatrix erhalten wir schließlich zu

${\underline {\underline {K}}}=\displaystyle {\frac {EA}{a}}\;{\begin{pmatrix}{\frac {8+{{5}^{\frac {3}{2}}}}{2\cdot {{5}^{\frac {3}{2}}}}}&{\frac {2}{{5}^{\frac {3}{2}}}}&-{\frac {4}{{5}^{\frac {3}{2}}}}&-{\frac {2}{{5}^{\frac {3}{2}}}}&-{\frac {1}{2}}&0&0&0\\{\frac {2}{{5}^{\frac {3}{2}}}}&{\frac {1}{{5}^{\frac {3}{2}}}}&-{\frac {2}{{5}^{\frac {3}{2}}}}&-{\frac {1}{{5}^{\frac {3}{2}}}}&0&0&0&0\\-{\frac {4}{{5}^{\frac {3}{2}}}}&-{\frac {2}{{5}^{\frac {3}{2}}}}&{\frac {8}{{5}^{\frac {3}{2}}}}&0&0&0&-{\frac {4}{{5}^{\frac {3}{2}}}}&{\frac {2}{{5}^{\frac {3}{2}}}}\\-{\frac {2}{{5}^{\frac {3}{2}}}}&-{\frac {1}{{5}^{\frac {3}{2}}}}&0&{\frac {2+{{5}^{\frac {3}{2}}}}{{5}^{\frac {3}{2}}}}&0&-1&{\frac {2}{{5}^{\frac {3}{2}}}}&-{\frac {1}{{5}^{\frac {3}{2}}}}\\-{\frac {1}{2}}&0&0&0&1&0&-{\frac {1}{2}}&0\\0&0&0&-1&0&1&0&0\\0&0&-{\frac {4}{{5}^{\frac {3}{2}}}}&{\frac {2}{{5}^{\frac {3}{2}}}}&-{\frac {1}{2}}&0&{\frac {8+{{5}^{\frac {3}{2}}}}{2\cdot {{5}^{\frac {3}{2}}}}}&-{\frac {2}{{5}^{\frac {3}{2}}}}\\0&0&{\frac {2}{{5}^{\frac {3}{2}}}}&-{\frac {1}{{5}^{\frac {3}{2}}}}&0&0&-{\frac {2}{{5}^{\frac {3}{2}}}}&{\frac {1}{{5}^{\frac {3}{2}}}}\end{pmatrix}}$

Diese Zuordnung - oder Komposition - macht man in komplexeren Programmen - wie FEM-Software - mit Inzidenztabellen.

Lösen müssen wir nun das lineare Gleichungssystem aus

${\begin{array}{rl}\delta W^{a}-\delta \Pi &=0\\\delta {\underline {Q}}^{T}\cdot \left({\underline {P}}-{\underline {\underline {K}}}\cdot {\underline {Q}}\right)&=0{\text{ und damit }}\\{\underline {\underline {K}}}\cdot {\underline {Q}}&={\underline {P}}\end{array}}$

Würden wir versuchen, diese Gleichungssystem direkt zu lösen, würden wir allerdings scheitern, denn:

• die Determinante von ${\underline {\underline {K}}}$ ist Null,

d.h. Zeilen oder Spalten der Matrix sind voneinander linear abhängig.

Compose total Stiffness Matrix

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Randbedingungen einarbeiten

Was noch fehlt: die Randbedingungen haben wir noch nicht eingearbeitet! Und die erhalten wir durch Streichen der betroffenen Zeilen und Spalten im Gleichungssystem.

Übrig bleibt

$\displaystyle {\frac {EA}{a}}\;\left({\begin{array}{llll}{\frac {8}{{5}^{\frac {3}{2}}}}&0&0&0\\0&{\frac {2+{{5}^{\frac {3}{2}}}}{{5}^{\frac {3}{2}}}}&0&-1\\0&0&1&0\\0&-1&0&1\end{array}}\right)\cdot \left({\begin{array}{c}u_{2}\\v_{2}\\u_{3}\\v_{3}\\\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}F\\0\\0\\-2F\\\end{array}}\right)$

Boundary Conditions

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Diese Gleichungssystem hat eine Lösung:

$\displaystyle {\begin{array}{lll}\displaystyle {{u}_{2}}\cdot {\frac {F\;a}{EA}}&={\frac {{5}^{\frac {3}{2}}}{8}}&\approx 1.4\\\displaystyle {{v}_{2}}\cdot {\frac {EA}{F\;a}}&=-{\frac {125+2\cdot {{5}^{\frac {3}{2}}}}{{{5}^{\frac {3}{2}}}+2}}&\approx -11.2\\{{u}_{3}}&=0\\\displaystyle {{v}_{3}}\cdot {\frac {EA}{F\;a}}&=-{{5}^{\frac {3}{2}}}-2&\approx -13.2\end{array}}$.

Solving

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In einer Nachlaufrechnung können wir nun auch noch die Stabkräfte bestimmen:

${\begin{array}{ll}S_{1}&=\displaystyle -{\frac {15\cdot a\cdot F}{4\cdot {\mathit {EA}}}}\\S_{2}&=0\\S_{3}&=\displaystyle {\frac {2\cdot a\cdot F}{\mathit {EA}}}\\S_{4}&=\displaystyle -{\frac {25\cdot a\cdot F}{4\cdot {\mathit {EA}}}}\\S_{5}&=0\end{array}}$

Post-Processing

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