Gelöste Aufgaben/T312

Aufgabenstellung

Bei Arbeiten mit elastischen Stäben stoßen wir immer wieder auf die gleiche Aufgabe: das Aufstellen der virtuellen Formänderungsenergie eines Stabes, den wir in ein System einbauen müssen.

Lageplan - einzelner Stab

Gesucht ist die allgemeine Formulierung für die virtuelle Formänderungsenergie eines Stabes in einem Stabwerk.

Lösung mit Maxima

Lorem Ipsum ....

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Die relevanten Größen wie die Stablänge ℓ_i, die Stablängung Δℓ_i und die Stabkraft S_i sind im Stabsystem definiert, wir brauchen aber die Größen in einem einheitlichen x,y - Referenzsystem.

Damit wir also nicht bei jeder Aufgabe wieder von vorn anfangen, die Δℓ_i als Funktion der Auslenkungen u_j, v_j der Knoten K,L im x,y - System herzuleiten, machen wir das ein Mal allgemein.

Dazu vergleichen wir den Stab in seiner verformten Konfiguration mit seiner Referenzkonfiguration - und schreiben die Terme der virtuellen Formänderungsenergie an.

Header

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Hier stehen die Deklarationen für spezielle Symbole zur Verwendung mit Maxima.

Declarations

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Koordinaten

Der Stab i hat die Knoten K und L, die im unverformten Stabwerk die Koordinaten

${\begin{array}{ll}P_{K}:[x_{k},y_{k}]\\P_{L}:[x_{l},y_{l}]\end{array}}$

haben.

Im verformten System sind

${\begin{array}{llc}P'_{K}:[x_{k}+u_{k},&y_{k}+v_{k}],\\P'_{L}:[x_{l}+u_{l},&y_{l}+v_{l}]\end{array}}$.

Kinematische Verträglichkeit

Mit dem Satz von Pythagoras stellen wir nun den Zusammenhang her zwischen der Stablänge in der Ausgangskonfiguration und der verformten Konfiguration des Stabes:

${\begin{array}{rcc}{{\left({{y}_{l}}-{{y}_{k}}\right)}^{2}}+{{\left({{x}_{l}}-{{x}_{k}}\right)}^{2}}&=&{{\ell }_{i}^{2}}\\{{\left((v_{l}-v_{k})+(y_{l}-y_{k})\right)^{2}+\left((u_{l}-u_{k})+(x_{l}-x_{k})\right)}^{2}}&=&{{\left({{\ell }_{i}}+{{\mathit {\Delta \ell }}_{i}}\right)}^{2}}\end{array}}$

Die zweite Zeile stellt den nichtlinearen Zusammenhang zwischen den Koordinaten der Knoten-Verschiebungen u_j,v_j und der Stablängung Δℓ_i her.

Den nichtlinearen Zusammenhang brauchen wir praktisch nie, weil wir meist von kleinen Verformungen des Systems ausgehen - und damit auch kleinen Stablängungen ausgehen.

Wir linearisieren deshalb den Ausdruck oben und erhalten

$\Delta \,\ell _{i}=\displaystyle {\frac {(x_{l}-x_{k})\cdot (u_{l}-u_{k})+(y_{l}-y_{k})\cdot (v_{l}-v_{k})}{\ell _{i}}}$

den wir den Abkürzungen

${\begin{array}{ll}{{x}_{l}}&={\mathit {\Delta x}}+{{x}_{k}}\\{{y}_{l}}&={\mathit {\Delta y}}+{{y}_{k}}\\{\mathit {\Delta x}}&={{\ell }_{i}}\cdot {{\xi }_{x}}\ {\mathit {\Delta y}}&={{\ell }_{i}}\cdot {{\xi }_{y}}\\{{\mathit {EA}}_{i}}&={{k}_{i}}\cdot {{\ell }_{i}}\end{array}}$

schrieben als

${{\mathit {\Delta \ell }}_{i}}=\left({{v}_{l}}-{{v}_{k}}\right)\cdot {{\xi }_{y}}+\left({{u}_{l}}-{{u}_{k}}\right)\cdot {{\xi }_{x}}$.

Kinematics

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Mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen schreiben wir die Gleichgewichtsbedingungen als

$\delta W=\delta W^{a}-\delta \Pi$

mit der virtuellen Formänderungsenergie δΠ aller Stäbe des Systems, also

$\delta \Pi =\displaystyle \sum _{i}\delta \Pi _{i}$

Für einen einzelnen Stab schrieben wir jetzt

${\begin{array}{ll}\delta \Pi &=\displaystyle A_{i}\int _{\ell }\sigma \cdot \delta \epsilon \;d{\tilde {x}}\\&=k_{i}\cdot \Delta \ell _{i}\cdot \delta \ell _{i}\end{array}}$

mit

$\displaystyle k_{i}={\frac {E\,A}{\ell _{i}}}$.

Mit den Ergebnissen von oben setzen wir also

in δΠ_i ein.

Virtual Strain Energy

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Die Terme schreiben wir noch etwas um, so dass man die Struktur hinter der virtuellen Formänderungsenergie erkennt - und erhalten:

$\delta \Pi _{i}={{k}_{i}}\cdot [{{\mathit {\delta \,u}}_{k}},{{\mathit {\delta \,v}}_{k}},{{\mathit {\delta \,u}}_{l}},{{\mathit {\delta \,v}}_{l}}]\cdot \underbrace {\begin{pmatrix}{{\xi }_{x}^{2}}&{{\xi }_{x}}\cdot {{\xi }_{y}}&-{{\xi }_{x}^{2}}&-{{\xi }_{x}}\cdot {{\xi }_{y}}\\{{\xi }_{x}}\cdot {{\xi }_{y}}&{{\xi }_{y}^{2}}&-{{\xi }_{x}}\cdot {{\xi }_{y}}&-{{\xi }_{y}^{2}}\\-{{\xi }_{x}^{2}}&-{{\xi }_{x}}\cdot {{\xi }_{y}}&{{\xi }_{x}^{2}}&{{\xi }_{x}}\cdot {{\xi }_{y}}\\-{{\xi }_{x}}\cdot {{\xi }_{y}}&-{{\xi }_{y}^{2}}&{{\xi }_{x}}\cdot {{\xi }_{y}}&{{\xi }_{y}^{2}}\end{pmatrix}} _{\displaystyle =:{\underline {\underline {K}}}_{E}}\cdot {\begin{pmatrix}{{u}_{k}}\\{{v}_{k}}\\{{u}_{l}}\\{{v}_{l}}\end{pmatrix}}$

Solving

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Stabwerkskräfte und deren Knoten-Verschiebungen können wir nun mit geringem Aufwand bearbeiten:

Wir addieren die virtuelle Formänderungsenergie δΠ_i für jeden Stab zur gesamten virtuellen Formänderungsenergie δΠ zusammen.

Das wäre zwar anschaulich richtig - aber unpraktisch. So würden wir große Ausdrücke erhalten für δΠ. Einfacher und für die Behandlung mit dem Computer praktischer ist folgendes Vorgehen:

Ausgangspunkt ist

• die Element-Steifigkeitsmatrix

${{\underline {\underline {K}}}_{E}}$

Wir erzeugen uns eine Steifigkeitsmatrix für die Verschiebungen aller Knoten des Stabwerks und sortieren die Elemente der Element-Steifigkeitsmatrix sukzessive und additiv in diese ein.

Wie das geht, zeigt T313.

Post-Processing

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