Gelöste Aufgaben/SKEB

Aufgabenstellung

Die Bewegung des Balkens wird durch das Zusammenspiel von elastischen Verformungen und Trägheitskräften bestimmt. Man nennt das "Schwingungen von Kontinua" - diese untersuchen wir hier. Der zentrale Aufgabe besteht in der Berechnung der homogenen Lösung - und der Anpassung der Lösungsanteile an die Anfangsbedingungen.

Lageplan

Gesucht ist analytische Lösung für Schwingungen des Euler-Bernoulli-Balkens beim Loslassen aus der enspannten Ruhelage.

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Für die mathematische Behandlung - insbesondere der Auflösung quadratischer Gleichungen - setzen wir in Maxima voraus, dass

$E>0,\;\;\;I>0,\;\;\;\ell _{0}>0,\;\;\;\varrho >0;$.

Header

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In der Gleichgewichtsbeziehung für den Euler-Bernoulli-Balken setzen wir als eingeprägte, äußere Streckenlast q(x,t) die D'Alembert'sche Trägheitskraft und die Gewichtskraft an, also

$q(x,t)=\varrho \;A\cdot g-\varrho \;A\cdot {\ddot {w}}(x,t)$

Die Lösung der linearen, partielle Bewegungsgleichung

$\varrho \,A\cdot {\ddot {w}}+E\,I\cdot {w}^{IV}=\varrho \,A\cdot g$

setzt sich dann aus zwei Lösungsanteilen, der partikularen Lösung w_p und der homogenen Lösung w_h, zusammen; wir schreiben

$w_{t}(x,t)=w_{p}(x,t)+w_{h}(x,t)$.

Equations of Motion

Text

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Die partikulare Lösung w_p erfüllt die "rechte Seite" der Bewegungsgleichung, also ϱ A⋅g:

$E\,I\cdot {w}_{p}^{IV}=\varrho \,A\cdot g$.

Die rechte Seite ist zeit-unveränderlich - so auch die partikulare Lösung.

Wir integrieren die Bewegungsgleichung vier Mal und erhalten

$\displaystyle E\,I\,w\left(x,t\right)={\frac {A\,g\,\rho {{x}^{4}}}{24}}+{{C}_{3}}\,{\frac {{x}^{3}}{6}}+{{C}_{2}}\,{\frac {{x}^{2}}{2}}+{{C}_{1}}\,x+{{C}_{0}}$.

Die vier Integrationskonstanten C_i müssen wir nun an die Randbedingungen

${\begin{array}{rl}w_{p}(0)&=0\\w_{p}'(0)&=0\\E\,I\,w_{p}''(\ell )&=0\\E\,I\,w_{p}'''(\ell )&=0\end{array}}$

anpassen, wir erhalten mit dem linearen Gleichungssystem

${\begin{array}{l}0={{C}_{0}}\\0={{C}_{1}}\\0={\frac {{{\ell }_{0}^{2}}Ag\rho }{2}}+{{\ell }_{0}}\,{{C}_{3}}+{{C}_{2}}\\0={{\ell }_{0}}Ag\rho +{{C}_{3}}\end{array}}$

die partikulare Lösung

$\displaystyle E\,I\,{w}_{p}\left(x\right)=A\,g\,\varrho \,\ell ^{4}\cdot \left({\frac {{\xi }^{4}}{24}}-{\frac {{\xi }^{3}}{6}}+{\frac {{\xi }^{2}}{4}}\right)$.

Statische Auslenkung

Die maximale Auslenkung - am rechten Rand - nutzen wir als Bezugslänge

$\displaystyle {{w}_{s}}={\frac {{{\ell }^{4}}\,A\,g\,\rho }{8\,E\,I}}$

Und so sieht w_p aus:

Particular Solution

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Die homogene Bewegungsgleichung

$\varrho \,A\cdot {\ddot {w}}+E\,I\cdot {w}^{IV}=0$

lässt Lösungen vom Typ

$\displaystyle {w}_{h}\left(x,t\right)={\hat {W}}\cdot {e}^{\kappa \,x}\cdot {e}^{j\,\omega _{0}\,t}\;\;\;{\text{ mit }}\;\;\;j={\sqrt {-1}}$

zu. Wir bekommen zu jedem ω₀ vier κ

${\begin{array}{l}\displaystyle \kappa _{1}=+{\frac {j\,\alpha }{\ell }},\\\displaystyle \kappa _{2}=-{\frac {\alpha }{\ell }},\\\displaystyle \kappa _{3}=-{\frac {j\,\alpha }{\ell }},\\\displaystyle \kappa _{4}=+{\frac {\alpha }{\ell }}\end{array}}\;\;{\text{ mit }}\;\;\displaystyle \alpha ^{4}={\frac {{{\ell }^{4}}\,A\,\rho }{E\,I}}\cdot {{\omega }_{0}^{2}}$,

also

$w_{h}(x,t)=\left({{\hat {W}}_{1}}\,{{e}^{\displaystyle {\frac {j\,\alpha \,x}{\ell }}}}+{{\hat {W}}_{3}}\,{{e}^{\displaystyle -{\frac {j\,\alpha \,x}{\ell }}}}+{{\hat {W}}_{4}}\,{{e}^{\displaystyle {\frac {\alpha x}{\ell }}}}+{{\hat {W}}_{2}}\,{{e}^{\displaystyle -{\frac {\alpha x}{\ell }}}}\right)\cdot e^{\displaystyle j\;\omega _{0}\,t}$

Die komplexen Exponenten deuten schon darauf hin: im Allgemeinen sind die Koeffizienten W_i ebenfalls komplex. Für dieses Beispiel macht es deshalb viel Sinn, diese allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung etwas anders hinzuschreiben. Wir nutzen dafür:

die Hyperbelfunktionen

${\begin{array}{l}\displaystyle \sinh(z)={\frac {e^{z}-e^{-z}}{2}}\\\displaystyle \cosh(z)={\frac {e^{z}+e^{-z}}{2}}\end{array}}$

die Euler'sche Formel

$\displaystyle e^{j\,z}=\cos(z)+j\cdot \sin(z)$

Dann lautet die allgemeine Lösung  

$\displaystyle {w}\left(x,t\right)=\left({{W}_{1}}\,{\sinh }\left({\frac {\alpha \,x}{\ell }}\right)+{{W}_{2}}\,\cosh {\left({\frac {\alpha \,x}{\ell }}\right)}+{{W}_{3}}\,\sin {\left({\frac {\alpha \,x}{\ell }}\right)}+{{W}_{4}}\,\cos {\left({\frac {\alpha \,x}{\ell }}\right)}\right)\cdot {{e}^{\displaystyle j\,{{\omega }_{0}}\,t}}$,

bei der wir davon ausgehen dürfen, dass alle W_i reellwertig sind.

Wie bei der partikularen Lösung w_p sind es die vier Integrationskonstanten W_i, die wir nun an die Randbedingungen

${\begin{array}{rl}w_{h}(0,t)&=0\\w_{h}'(0,t)&=0\\E\,I\,w_{h}''(\ell ,t)&=0\\E\,I\,w_{h}'''(\ell ,t)&=0\end{array}}$

anpassen müssen. Wir erhalten das lineare Gleichungssystem

${\begin{array}{ccc}\displaystyle {{W}_{2}}+{{W}_{4}}&=&0,\\\displaystyle {\frac {{{W}_{1}}\alpha }{\ell }}+{\frac {{{W}_{3}}\alpha }{\ell }}&=&0,\\\displaystyle {\frac {{{W}_{1}}\,{{\alpha }^{2}}\,{\sinh }\left(\alpha \right)}{\ell ^{2}}}+{\frac {{{W}_{2}}\,{{\alpha }^{2}}\,\cosh {\left(\alpha \right)}}{\ell ^{2}}}-{\frac {{{W}_{3}}\,{{\alpha }^{2}}\,\sin {\left(\alpha \right)}}{\ell ^{2}}}-{\frac {{{W}_{4}}\,{{\alpha }^{2}}\,\cos {\left(\alpha \right)}}{\ell ^{2}}}&=&0,\\\displaystyle {\frac {{{W}_{1}}\,{{\alpha }^{3}}\,\cosh {\left(\alpha \right)}}{\ell ^{3}}}+{\frac {{{W}_{2}}\,{{\alpha }^{3}}\,{\sinh }\left(\alpha \right)}{\ell ^{3}}}-{\frac {{{W}_{3}}\,{{\alpha }^{3}}\,\cos {\left(\alpha \right)}}{\ell ^{3}}}+{\frac {{{W}_{4}}\,{{\alpha }^{3}}\,\sin {\left(\alpha \right)}}{\ell ^{3}}}&=&0\end{array}}$,

vereinfacht und in Matrix-Schreibweise

$\underbrace {\begin{pmatrix}0&1&0&1\\1&0&1&0\\\operatorname {sinh} \left(\alpha \right)&\cosh {\left(\alpha \right)}&-\sin {\left(\alpha \right)}&-\cos {\left(\alpha \right)}\\\cosh {\left(\alpha \right)}&\operatorname {sinh} \left(\alpha \right)&-\cos {\left(\alpha \right)}&+\sin {\left(\alpha \right)}\end{pmatrix}} _{\displaystyle {\underline {\underline {D}}}(\kappa )}\cdot {\begin{pmatrix}W_{1}\\W_{2}\\W_{3}\\W_{4}\end{pmatrix}}={\underline {0}}$.

Für dieses lineare, homogenen Gleichungen gibt es nur dann nicht-triviale Lösungen, wenn die Matrix einen Rangabfall >= 1 hat, also

$\det({\underline {\underline {D}}}(\alpha )){\stackrel {!}{=}}0$.

Wir finden die charakteristische Gleichung

$-{{{\sinh }\left(\alpha \right)}^{2}}+{{\sin {\left(\alpha \right)}}^{2}}+{{\cosh {\left(\alpha \right)}}^{2}}+2\cos {\left(\alpha \right)}\,\cosh {\left(\alpha \right)}+{{\cos {\left(\alpha \right)}}^{2}}{\stackrel {!}{=}}0$.

Beim Plotten der Funktion sehen wir bereits, dass es mehr als eine Nullstelle gibt, hier bei α≈+/- 2 und α≈+/- 5.

Charakteristische Gleichung

Die charakteristische Gleichung können wir umformen zu

$\cos(\alpha )\cdot \cosh(\alpha )+1{\stackrel {!}{=}}0$

und beide Anteile auftragen. So wird klar, dass die beiden Funktionen sich wegen der Periodizität der cos-Funktion unendlich oft schneiden - es also unendlich viele Nullstellen gibt:

Nullstellensuche (Ausschnitt)

Nullstellensuche

Analytisch finden wir keine Lösungen dieser charakteristischen Gleichung - wir müssen sie numerisch bestimmen – hier mit der Maxima-Funktion "find_root". Die ersten (positiven) Lösungen sind

${\begin{array}{l}\alpha _{1}=1.875104068711961,\\\alpha _{2}=4.694091132974175,\\\alpha _{3}=7.854757438237613,\\\alpha _{4}=10.99554073487547,\\\alpha _{5}=14.13716839104647,\\\alpha _{6}=17.27875953208824\end{array}}$.

Sie zu finden ist einfach, weil die α_i für i>1 ungefähr π auseinander liegen - da können wir keine Nullstelle verpassen.

In diesen α_i stecken über $\omega _{0,i}=2\,\pi /T_{i}$ auch der Periodendauern, z.B. für die erste Mode

$\displaystyle T_{1}=0.5688\ldots \pi \ell ^{2}{\sqrt {\frac {\varrho \,A}{E\,I}}}$.

Wie bei einem normalen Eigenwertproblem berechnen wir nun die Eigenvektoren W aus der Beziehung

${\underline {\underline {D}}}(\alpha _{i})\cdot {\underline {W}}={\underline {0}}$.

Aus unendlich vielen Lösungen α_i folgen nun also auch unendlich viele W_j, die wir zu

$\left({\begin{array}{c}W_{1}\\W_{2}\\W_{3}\\W_{4}\end{array}}\right)_{j}=C_{j}\cdot \left({\begin{array}{r}\gamma _{j}\\-1\\-\gamma _{j}\\1\end{array}}\right){\text{ mit }}\displaystyle \gamma _{j}={\frac {\cosh {\left(\alpha _{j}\right)}+\cos {\left(\alpha _{j}\right)}}{\sinh \left(\alpha _{j}\right)+\sin {\left(\alpha _{j}\right)}}}$

bestimmen. Die homogene Lösung der Bewegungsgleichung ist also

$\displaystyle w_{h}(x,t)=\sum _{j=1}^{\infty }C_{j}\cdot \underbrace {\left(\gamma _{i},-1,-\gamma _{j},1\right)\cdot \left({\begin{array}{r}\sinh(\alpha _{j}\,\xi )\\\cosh(\alpha _{j}\,\xi )\\\sin(\alpha _{j}\,\xi )\\\cos(\alpha _{j}\,\xi )\end{array}}\right)} _{\displaystyle =:\phi _{j}(\xi )}\cdot e^{\displaystyle \omega _{0,j}\,t}{\text{ mit }}\xi ={\frac {x}{\ell }}$.

Denken Sie daran: die Eigenkreisfrequenz ω_0j ist dabei wieder eine Funktion von α_i - siehe oben. Die C_i sind wieder Konstanten, die wir brauchen, um die Lösung an die Anfangsbedingungen anzupassen. Zunächst schauen wir uns die Lösung jeweils zu einem α_i an. Diese Funktionen heißen Modalformen ϕ und deren Schwingungen können wir plotten:

Modalformen

Diese Moden ϕ_j können wir auch übereinander darstellen:

Homogeneous Solution

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Zum Zeitpunkt t=0 soll

$\underbrace {w_{h}(x,0)} _{\displaystyle =\sum _{j=1}^{\infty }C_{j}\cdot \phi _{j}(x)}+w_{p}(x)=0$

gelten. Das kriegen wir hin, indem wir die (unendlich vielen) C_i der homogenen Lösung passend wählend. Das klingt komplizierter als es ist - die Mathematik bereitet uns den Weg.

Die Beziehung oben multiplizieren wir dazu mit einer der Modalformen ϕ_k und bilden das Integral über die Balken-Lange ℓ, also

$\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }\left(C_{j}\cdot \int _{0}^{\ell }\phi _{j}(x)\cdot \phi _{k}(x)\;dx\right)+\int _{0}^{\ell }w_{p}(x)\cdot \phi _{k}(x)\;dx=0$

Wir projizieren also die Modalformen auf sich selbst und auf die partikulare Lösung. Und nutzen aus, dass diese Faltungs-Integrale der Modalformen eine besondere Eigenschaft haben:

$\displaystyle \int _{0}^{\ell }\phi _{j}\cdot \phi _{k}\;dx\left\{{\begin{array}{l}=0{\text{ für }}j\neq k\\\neq 0{\text{ für }}j=k\end{array}}\right.$

Man sagt: die Funktionen sind zueinander verallgemeinert orthogonal. Damit berechnen wir

${\begin{array}{l}C_{1}=0.506693895146775,\\C_{2}=0.007150056863941781,\\C_{3}=5.347110562156877\;10^{-4},\\C_{4}=9.955236981148623\;10^{-5},\\C_{5}=2.833383071646469\;10^{-5},\\C_{6}=1.038598312000442\;10^{-5}\\\;\;\;\;\;\vdots \end{array}}$,

Nur die erste Modalform liefert einen signifikanten Beitrag bei der Anpassung an die Anfangsbedingungen, wir nehmen bei der Auftragung der Gesamtlösung w_t(x,t) trotzdem die ersten sechs Modalformen mit:

Animation: Loslassen des Systems aus der unverformten Rugelage.

In der Animation sehen Sie das Loslassen des Stabes aus der unverformten, geraden Referenzlage für genau eine Periodenlänge T₁ der ersten Modalform. Allerdings ist die Schwingung, die entsteht, nicht T₁-periodisch - die anderen Modalformen leisten einen (kleinen) Beitrag, dessen Schwingungsperiode kein Vielfaches der Grundschwingung ist. Das sehen sie an dem kleinen "Ruck" in der Darstellung der Lösung, wenn nach der Dauer T₁ der Grundschwingung wieder die Anfangslage eingeblendet wird.

Adapt to Initial Condition

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Mode	Modalform ϕj	Mode	Modalform ϕj
#1 $\omega$

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Animation: Loslassen des Systems aus der unverformten Rugelage.

Modalformen

Nullstellensuche

Nullstellensuche (Ausschnitt)

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Statische Auslenkung

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