Gelöste Aufgaben/Kw98: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 31. März 2021, 12:09 Uhr

Aufgabenstellung

Ein Stab ABC ist durch eine lineare veränderliche Streckenlast q mit den Eckwerten q_A in A und q_B in B sowie dem Moment M_B in B belastet. Der Stab (E-Modul: E) besteht aus zwei Sektionen mit den Längen l₁ bzw. l₂ sowie den Flächenmomenten I₁ bzw. I₂. Der Stab ist in A durch ein gelenkiges Festlager, in C durch eine Schiebehülse gelagert, in B sind die beiden Sektionen fest miteinander verbunden. Die Feder in A ist eine Drehfester mit Steifigkeit K_A, die Federn in B und C sind Translationsfedern mit den Steifigkeiten k_B, k_C.

Gesucht ist die analytische Lösung für den Euler-Bernoulli-Balken.

Ermitteln Sie für ein Euler-Bernoulli-Modell die analytischen Verläufe der Schnittgrößen und Verschiebungen im Balken für diese Parameter:

Lösung mit Maxima

Die Aufgabe ist ein klassisches Randwertproblem:

zwei Gebiete, in denen ein Euler-Bernoulli-Balken in AB und BC durch eine Streckenlast q belastet ist (in Bereich II ist die Streckenlast allerdings Null) und somit durch die Differentialbeziehung
$E I_{i} w_{i}^{I V} (x_{i}) = q (x_{i}), i = {1, 2}$
berschrieben wird.
Rand- und Übergangsbedingungen in den Punkten A, B, C

Wir verwenden x_i und ξ_i als Koordinaten je Bereich, in der Übersicht sieht das Randwertproblem so aus:

Rand A	Bereich I	Übergang B	Bereich II	Rand C

Header

Diese Aufgabe mit der Methode der Finiten Elemente in KW96 gelöst.

Declarations

Wir definieren die Parameter

\begin{array}{l} q_{A} = \frac{3 \cdot k N}{m}, \\ l_{1} = \frac{7 \cdot m}{10}, \\ E I_{1} = 33600 N m^{2}, \\ l_{2} = \frac{21 m}{40}, \\ E I_{2} = 16800 N m^{2}, \\ K_{A} = 96 k N m, \\ k_{C} = \frac{22 k N}{m}, \\ k_{B} = \frac{98 k N}{m}, \\ q_{B} = \frac{12 N}{m m}, \\ M_{B} = 1470 N m \end{array}

.

und die Formfunktionen für die Streckenlast

\begin{array}{l} ϕ_{0} (ξ) : = 1 - ξ \\ ϕ_{1} (ξ) : = ξ \end{array}

.

Formfunctions

In Bereich I und II gilt dieselbe Bewegungs-Differentialgleichung

E I_{i} w_{i}^{I V} (x_{i}) = q (x_{i}), i = {1, 2} mit q (x_{i}) = q_{0} \cdot ϕ_{0} (ξ) + q_{1} \cdot ϕ_{1} (ξ)

,

die wir durch Integration lösen und dann bereichsweise anpassen.

So gilt für Bereich II: q₀ = 0 und q₁ = 0.

Die allgemeine Lösung ist mit

ϕ_{i} (x) = \frac{d w (x)}{d x}

... für Bereich I:

\begin{array}{l} w_{1} (x) : = \frac{120 \cdot l_{1} \cdot C_{1, 0} + 120 \cdot l_{1} \cdot C_{1, 1} \cdot x + 60 \cdot l_{1} \cdot C_{1, 2} \cdot x^{2} + 20 \cdot l_{1} \cdot C_{1, 3} \cdot x^{3} + 5 \cdot l_{1} \cdot x^{4} \cdot q_{A} + x^{5} \cdot (q_{B} - q_{A})}{120 \cdot l_{1} \cdot {E I}_{1}} \\ ϕ_{1} (x) : = \frac{120 \cdot l_{1} \cdot C_{1, 1} + 120 \cdot l_{1} \cdot C_{1, 2} \cdot x + 60 \cdot l_{1} \cdot C_{1, 3} \cdot x^{2} + 20 \cdot l_{1} \cdot x^{3} \cdot q_{A} + 5 \cdot x^{4} \cdot (q_{B} - q_{A})}{120 \cdot l_{1} \cdot {E I}_{1}} \\ M_{1} (x) : = - \frac{120 \cdot l_{1} \cdot C_{1, 2} + 120 \cdot l_{1} \cdot C_{1, 3} \cdot x + 60 \cdot l_{1} \cdot x^{2} \cdot q_{A} + 20 \cdot x^{3} \cdot (q_{B} - q_{A})}{120 \cdot l_{1}} \\ Q_{1} (x) : = - \frac{120 \cdot l_{1} \cdot C_{1, 3} + 120 \cdot l_{1} \cdot x \cdot q_{A} + 60 \cdot x^{2} \cdot (q_{B} - q_{A})}{120 \cdot l_{1}} \end{array}

... für Bereich II:

\begin{array}{l} w_{2} (x) : = \frac{120 \cdot l_{2} \cdot C_{2, 0} + 120 \cdot l_{2} \cdot C_{2, 1} \cdot x + 60 \cdot l_{2} \cdot C_{2, 2} \cdot x^{2} + 20 \cdot l_{2} \cdot C_{2, 3} \cdot x^{3}}{120 \cdot l_{2} \cdot {E I}_{2}} \\ ϕ_{2} (x) : = \frac{120 \cdot l_{2} \cdot C_{2, 1} + 120 \cdot l_{2} \cdot C_{2, 2} \cdot x + 60 \cdot l_{2} \cdot C_{2, 3} \cdot x^{2}}{120 \cdot l_{2} \cdot {E I}_{2}} \\ M_{2} (x) : = - \frac{120 \cdot l_{2} \cdot C_{2, 2} + 120 \cdot l_{2} \cdot C_{2, 3} \cdot x}{120 \cdot l_{2}} \\ Q_{2} (x) : = - C_{2, 3} \end{array}

.

Boundary Conditions

Für die 2*4 = 8 Integrationskonstanten

[C_{1, 0}, C_{1, 1}, C_{1, 2}, C_{1, 3}, C_{2, 0}, C_{2, 1}, C_{2, 2}, C_{2, 3}]

suchen wir jetzt die passenden Gleichungen aus Rand- und Übergangsbedingungen.

Zur besseren Übersicht nennen wir die Schnitt-Momente und -Kräfte nach den jeweiligen Knotenpunkten A, B, C und fügen als Index ein + / - hinzu, um die Seite (+: rechts vom Knoten, -: links vom Knoten) zu kennzeichnen.

Aus Rand "A"

	Geometrische Randbedingungen $w_{1} (0) = 0$ Kraft- und Momenten-Randbedingungen $K_{A} \cdot ϕ_{A} + M_{A, +} = 0 mit M_{A, +} = - E I_{1} \cdot w^{″} (x) \|_{x = 0}$

Aus Übergang "B"

	Geometrische Randbedingungen $w_{1} (ℓ_{1}) = w_{2} (ℓ_{1})$ $ϕ_{1} (ℓ_{1}) = ϕ_{2} (ℓ_{1})$ Kraft- und Momenten-Randbedingungen $- M_{B, -} - M_{B} + M_{B, +} = 0$ $- Q_{B, -} - k_{B} \cdot w_{B} + - Q_{B, +} = 0$

Aus Rand "C"

	Geometrische Randbedingungen $ϕ_{2} (ℓ_{2}) = 0$ Kraft- und Momenten-Randbedingungen $- Q_{C, -} - k_{C} \cdot w_{C} = 0$

Und das liefert das Gleichungssystem aus 8 Gleichungen

(\begin{matrix} \frac{C_{1, 0}}{{E I}_{1}} = 0 \\ \frac{C_{1, 1} \cdot K_{A}}{{E I}_{1}} - C_{1, 2} = 0 \\ \frac{ℓ_{1}^{4} \cdot q_{B}}{120 \cdot {E I}_{1}} + \frac{ℓ_{1}^{4} \cdot q_{A}}{30 \cdot {E I}_{1}} + \frac{ℓ_{1}^{3} \cdot C_{1, 3}}{6 \cdot {E I}_{1}} + \frac{ℓ_{1}^{2} \cdot C_{1, 2}}{2 \cdot {E I}_{1}} + \frac{ℓ_{1} \cdot C_{1, 1}}{{E I}_{1}} + \frac{C_{1, 0}}{{E I}_{1}} = \frac{C_{2, 0}}{{E I}_{2}} \\ \frac{ℓ_{1}^{3} \cdot q_{B}}{24 \cdot {E I}_{1}} + \frac{ℓ_{1}^{3} \cdot q_{A}}{8 \cdot {E I}_{1}} + \frac{ℓ_{1}^{2} \cdot C_{1, 3}}{2 \cdot {E I}_{1}} + \frac{ℓ_{1} \cdot C_{1, 2}}{{E I}_{1}} + \frac{C_{1, 1}}{{E I}_{1}} = \frac{C_{2, 1}}{{E I}_{2}} \\ \frac{ℓ_{1} \cdot q_{B}}{2} - \frac{C_{2, 0} \cdot k_{B}}{{E I}_{2}} + \frac{ℓ_{1} \cdot q_{A}}{2} - C_{2, 3} + C_{1, 3} = 0 \\ - M_{B} + \frac{ℓ_{1}^{2} \cdot q_{B}}{6} + \frac{ℓ_{1}^{2} \cdot q_{A}}{3} - C_{2, 2} + ℓ_{1} \cdot C_{1, 3} + C_{1, 2} = 0 \\ \frac{ℓ_{2}^{2} \cdot C_{2, 3}}{2 \cdot {E I}_{2}} + \frac{ℓ_{2} \cdot C_{2, 2}}{{E I}_{2}} + \frac{C_{2, 1}}{{E I}_{2}} = 0 \\ - \frac{ℓ_{2}^{3} \cdot C_{2, 3} \cdot k_{C}}{6 \cdot {E I}_{2}} - \frac{ℓ_{2}^{2} \cdot C_{2, 2} \cdot k_{C}}{2 \cdot {E I}_{2}} - \frac{ℓ_{2} \cdot C_{2, 1} \cdot k_{C}}{{E I}_{2}} - \frac{C_{2, 0} \cdot k_{C}}{{E I}_{2}} + C_{2, 3} = 0 \end{matrix})

für die Integrationskonstanten.

tmp

Das Gleichungssystem wollen wir als

$\underline{\underline{A}} \cdot \underline{x} = \underline{b}$

schreiben, also

$(\begin{matrix} \frac{1}{{E I}_{1}} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{K_{A}}{{E I}_{1}} & - 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{{E I}_{1}} & \frac{ℓ_{1}}{{E I}_{1}} & \frac{ℓ_{1}^{2}}{2 \cdot {E I}_{1}} & \frac{ℓ_{1}^{3}}{6 \cdot {E I}_{1}} & - \frac{1}{{E I}_{2}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{{E I}_{1}} & \frac{ℓ_{1}}{{E I}_{1}} & \frac{ℓ_{1}^{2}}{2 \cdot {E I}_{1}} & 0 & - \frac{1}{{E I}_{2}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{k_{B}}{{E I}_{2}} & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & ℓ_{1} & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{{E I}_{2}} & \frac{ℓ_{2}}{{E I}_{2}} & \frac{ℓ_{2}^{2}}{2 \cdot {E I}_{2}} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - \frac{k_{C}}{{E I}_{2}} & - \frac{ℓ_{2} \cdot k_{C}}{{E I}_{2}} & - \frac{ℓ_{2}^{2} \cdot k_{C}}{2 \cdot {E I}_{2}} & - \frac{ℓ_{2}^{3} \cdot k_{C} - 6 \cdot {E I}_{2}}{6 \cdot {E I}_{2}} \end{matrix}) \cdot \underline{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - \frac{ℓ_{1}^{4} \cdot q_{B}}{120 \cdot {E I}_{1}} - \frac{ℓ_{1}^{4} \cdot q_{A}}{30 \cdot {E I}_{1}} \\ - \frac{ℓ_{1}^{3} \cdot q_{B}}{24 \cdot {E I}_{1}} - \frac{ℓ_{1}^{3} \cdot q_{A}}{8 \cdot {E I}_{1}} \\ - \frac{ℓ_{1} \cdot q_{B}}{2} - \frac{ℓ_{1} \cdot q_{A}}{2} \\ M_{B} - \frac{ℓ_{1}^{2} \cdot q_{B}}{6} - \frac{ℓ_{1}^{2} \cdot q_{A}}{3} \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$

Die Matrix-Elemente sind für die Koeffizientenmatrix

$\begin{array}{l} a_{1, 1} = 1 / E I_{1} \\ a_{2, 2} = K_{A} / E I_{1} \\ a_{2, 3} = - 1 \\ a_{3, 1} = 1 / E I_{1} \\ a_{3, 2} = ℓ_{1} / E I_{1} \\ a_{3, 3} = ℓ_{1}^{2} / (2 \cdot E I_{1}) \\ a_{3, 4} = ℓ_{1}^{3} / (6 \cdot E I_{1}) \\ a_{3, 5} = - 1 / E I_{2} \\ a_{4, 2} = 1 / E I_{1} \\ a_{4, 3} = ℓ_{1} / E I_{1} \\ a_{4, 4} = ℓ_{1}^{2} / (2 \cdot E I_{1}) \\ a_{4, 6} = - 1 / E I_{2} \\ a_{5, 4} = 1 \\ a_{5, 5} = - k_{B} / E I_{2} \\ a_{5, 8} = - 1 \\ a_{6, 3} = 1 \\ a_{6, 4} = ℓ_{1} \\ a_{6, 7} = - 1 \\ a_{7, 6} = 1 / E I_{2} \\ a_{7, 7} = ℓ_{2} / E I_{2} \\ a_{7, 8} = ℓ_{2}^{2} / (2 \cdot E I_{2}) \\ a_{8, 5} = - k_{C} / E I_{2} \\ a_{8, 6} = - (ℓ_{2} \cdot k_{C}) / E I_{2} \\ a_{8, 7} = - (ℓ_{2}^{2} \cdot k_{C}) / (2 \cdot E I_{2}) \\ a_{8, 8} = - (ℓ_{2}^{3} \cdot k_{C} - 6 \cdot E I_{2}) / (6 \cdot E I_{2}) \end{array}$

und für die rechte Seite

$\begin{array}{l} b_{1} = 0 \\ b_{2} = 0 \\ b_{3} = (- (ℓ_{1}^{4} \cdot q_{B}) / (120 \cdot E I_{1})) - (ℓ_{1}^{4} \cdot q_{A}) / (30 \cdot E I_{1}) \\ b_{4} = (- (ℓ_{1}^{3} \cdot q_{B}) / (24 \cdot E I_{1})) - (ℓ_{1}^{3} \cdot q_{A}) / (8 \cdot E I_{1}) \\ b_{5} = (- (ℓ_{1} \cdot q_{B}) / 2) - (ℓ_{1} \cdot q_{A}) / 2 \\ b_{6} = M_{B} - (ℓ_{1}^{2} \cdot q_{B}) / 6 - (ℓ_{1}^{2} \cdot q_{A}) / 3 \\ b_{7} = 0 \\ b_{8} = 0 \end{array}$

Prepare for Solver

Text

tmp

Das Lösen des Gleichungssystems liefert

$\begin{array}{l} C_{1, 0} = 0, \\ C_{1, 1} = 246.1 N m^{2}, \\ C_{1, 2} = 703.2 N m, \\ C_{1, 3} = - 2404.3 N, \\ C_{2, 0} = 127.6 N m^{3}, \\ C_{2, 1} = 224.7 N m^{2}, \\ C_{2, 2} = - 979.8 N m, \\ C_{2, 3} = 2101.8 N \end{array}$

Solving

Text

tmp

Und die Ergebnisse können wir uns anschauen ...

... für w(x):

... für Φ(x):

... für M(x):

... für Q(x):

Post-Processing

Text

Links

...

Literature

...

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+<!-------------------------------------------------------------------------------->
-==tmp==
-Diese Aufgabe mit der [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Elemente Methode|Methode der Finiten Elemente]] in [[Gelöste Aufgaben/Kw96|KW96]] gelöst.<!-------------------------------------------------------------------------------->
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-|text=Text
+|text=
+Diese Aufgabe mit der [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Elemente Methode|Methode der Finiten Elemente]] in [[Gelöste Aufgaben/Kw96|KW96]] gelöst.
 |code=
 <syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
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+/*******************************************************/
+/* MAXIMA script                                       */
+/* version: wxMaxima 15.08.2                           */
+/* author: Andreas Baumgart                            */
+/* last updated: 2017-09-06                            */
+/* ref: TM-C, Labor 1                                  */
+/* description                                         */
+/*                                                     */
+/*******************************************************/
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 }}
-==tmp==
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 {{MyCodeBlock|title=Declarations
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+|text=
+Wir definieren die Parameter
+::<math>\begin{array}{l}q_{A}=\frac{3\cdot kN}{m},\\l_{1}=\frac{7\cdot m}{10}, \\EI_{1}=33600\; N\; {{m}^{2}},\\{{l}_{2}}=\frac{21\; m}{40},\\EI_{2}=16800\; N\;{{m}^{2}},\\{{K}_{A}}=96\;kN\; m,\\{{k}_{C}}=\frac{22\;kN}{m},\\{{k}_{B}}=\frac{98\;kN}{m},\\{{q}_{B}}=\frac{12\; N}{mm},\\{{M}_{B}}=1470\; Nm\end{array}</math>.
+und die Formfunktionen für die Streckenlast
+::<math>\begin{array}{l}{{\phi}_{0}}\left( \xi\right) :=1-\xi\\{{\phi}_{1}}\left( \xi\right) :=\xi\end{array}</math>.
 |code=
 <syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
-+1
+/* system parameter */
+units  : [mm = m/1000, cm = m/100];
+params : [q[A]=3*N/mm, l[1]=700*mm, EI[1] = 2.1*10^11*N/m^2 * 3*cm*(4*cm)^3/12];
+simple : [l[2] = 3/4*l[1], EI[2] = EI[1]/2,
+          K[A]=2*EI[1]/l[1], k[C] = 512/229*EI[1]/l[1]^3, k[B] = EI[1]/l[1]^3,
+          q[B] = 4*q[A], M[B] = q[A]*l[1]^2];
+params : append(params,makelist(lhs(simple[i])=subst(params,rhs(simple[i])),i,1,length(simple)));
+params : subst(units,params);
+/* form - functions  */
+phi[0](xi) := 1 - xi;
+phi[1](xi) :=     xi;
 </syntaxhighlight>
 }}
-==tmp==
+<!-------------------------------------------------------------------------------->
+{{MyCodeBlock|title=Formfunctions
+|text=
 In Bereich I und II gilt dieselbe Bewegungs-Differentialgleichung
-<math>E\; I_i w_i^{IV}(x_i) = q(x_i) ,\;\; i=\{1,2\} \text{ mit } q(x_i) = q_0\cdot\phi_0(\xi) + q_1\cdot\phi_1(\xi)</math>,
+::<math>E\; I_i w_i^{IV}(x_i) = q(x_i) ,\;\; i=\{1,2\} \text{ mit } q(x_i) = q_0\cdot\phi_0(\xi) + q_1\cdot\phi_1(\xi)</math>,
 die wir durch Integration lösen und dann bereichsweise anpassen.
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 Die allgemeine Lösung ist mit
-<math>\displaystyle \phi_i(x) = \frac{dw(x)}{dx}</math>
+::<math>\displaystyle \phi_i(x) = \frac{dw(x)}{dx}</math>
 ... für Bereich I:
-<math>\begin{array}{l} {{w}_{1}}\left( x\right) :=\frac{120\cdot {{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,0}}+120\cdot {{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,1}}\cdot x+60\cdot {{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,2}}\cdot {{x}^{2}}+20\cdot {{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,3}}\cdot {{x}^{3}}+5\cdot {{l}_{1}}\cdot {{x}^{4}}\cdot {{q}_{A}}+{{x}^{5}}\cdot \left( {{q}_{B}}-{{q}_{A}}\right) }{120\cdot {{l}_{1}}\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}\\ {{\phi}_{1}}\left( x\right) :=\frac{120\cdot {{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,1}}+120\cdot {{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,2}}\cdot x+60\cdot {{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,3}}\cdot {{x}^{2}}+20\cdot {{l}_{1}}\cdot {{x}^{3}}\cdot {{q}_{A}}+5\cdot {{x}^{4}}\cdot \left( {{q}_{B}}-{{q}_{A}}\right) }{120\cdot {{l}_{1}}\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}\\ {{M}_{1}}\left( x\right) :=-\frac{120\cdot {{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,2}}+120\cdot {{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,3}}\cdot x+60\cdot {{l}_{1}}\cdot {{x}^{2}}\cdot {{q}_{A}}+20\cdot {{x}^{3}}\cdot \left( {{q}_{B}}-{{q}_{A}}\right) }{120\cdot {{l}_{1}}}\\ {{Q}_{1}}\left( x\right) :=-\frac{120\cdot {{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,3}}+120\cdot {{l}_{1}}\cdot x\cdot {{q}_{A}}+60\cdot {{x}^{2}}\cdot \left( {{q}_{B}}-{{q}_{A}}\right) }{120\cdot {{l}_{1}}} \end{array}</math>
+::<math>\begin{array}{l} {{w}_{1}}\left( x\right) :=\frac{120\cdot {{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,0}}+120\cdot {{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,1}}\cdot x+60\cdot {{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,2}}\cdot {{x}^{2}}+20\cdot {{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,3}}\cdot {{x}^{3}}+5\cdot {{l}_{1}}\cdot {{x}^{4}}\cdot {{q}_{A}}+{{x}^{5}}\cdot \left( {{q}_{B}}-{{q}_{A}}\right) }{120\cdot {{l}_{1}}\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}\\ {{\phi}_{1}}\left( x\right) :=\frac{120\cdot {{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,1}}+120\cdot {{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,2}}\cdot x+60\cdot {{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,3}}\cdot {{x}^{2}}+20\cdot {{l}_{1}}\cdot {{x}^{3}}\cdot {{q}_{A}}+5\cdot {{x}^{4}}\cdot \left( {{q}_{B}}-{{q}_{A}}\right) }{120\cdot {{l}_{1}}\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}\\ {{M}_{1}}\left( x\right) :=-\frac{120\cdot {{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,2}}+120\cdot {{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,3}}\cdot x+60\cdot {{l}_{1}}\cdot {{x}^{2}}\cdot {{q}_{A}}+20\cdot {{x}^{3}}\cdot \left( {{q}_{B}}-{{q}_{A}}\right) }{120\cdot {{l}_{1}}}\\ {{Q}_{1}}\left( x\right) :=-\frac{120\cdot {{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,3}}+120\cdot {{l}_{1}}\cdot x\cdot {{q}_{A}}+60\cdot {{x}^{2}}\cdot \left( {{q}_{B}}-{{q}_{A}}\right) }{120\cdot {{l}_{1}}} \end{array}</math>
 ... für Bereich II:
-<math>\begin{array}{l} {{w}_{2}}\left( x\right) :=\frac{120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,0}}+120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,1}}\cdot x+60\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,2}}\cdot {{x}^{2}}+20\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,3}}\cdot {{x}^{3}}}{120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}\\ {{\phi}_{2}}\left( x\right) :=\frac{120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,1}}+120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,2}}\cdot x+60\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,3}}\cdot {{x}^{2}}}{120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}\\ {{M}_{2}}\left( x\right) :=-\frac{120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,2}}+120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,3}}\cdot x}{120\cdot {{l}_{2}}}\\ {{Q}_{2}}\left( x\right) :=-{{C}_{2,3}} \end{array}</math><!-------------------------------------------------------------------------------->
+::<math>\begin{array}{l} {{w}_{2}}\left( x\right) :=\frac{120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,0}}+120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,1}}\cdot x+60\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,2}}\cdot {{x}^{2}}+20\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,3}}\cdot {{x}^{3}}}{120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}\\ {{\phi}_{2}}\left( x\right) :=\frac{120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,1}}+120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,2}}\cdot x+60\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,3}}\cdot {{x}^{2}}}{120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}\\ {{M}_{2}}\left( x\right) :=-\frac{120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,2}}+120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,3}}\cdot x}{120\cdot {{l}_{2}}}\\ {{Q}_{2}}\left( x\right) :=-{{C}_{2,3}} \end{array}</math>.
-{{MyCodeBlock|title=Formfunctions
-|text=Text
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-+1
+/* solve ....*/
+dgl : EI[i]*diff(w(x),x,4) = q[0]*phi[0](x/l[i]) + q[1]*phi[1](x/l[i]);
+/* generic solution */
+displ : solve(integrate(integrate(integrate(integrate(dgl,x),x),x),x),w(x));
+sections: [[i=1, %c4=C[1,0], %c3=C[1,1], %c2=C[1,2], %c1=C[1,3], q[0]=q[A], q[1]=q[B]],
+           [i=2, %c4=C[2,0], %c3=C[2,1], %c2=C[2,2], %c1=C[2,3], q[0]= 0  , q[1]= 0  ]];
+/* section I */
+define(  w[1](x),  subst(sections[1],subst(displ,w(x))));
+define(Phi[1](x),  diff(w[1](x),x  ));
+define(  M[1](x), -EI[1]*diff(w[1](x),x,2));
+define(  Q[1](x), -EI[1]*diff(w[1](x),x,3));
+/* section II */
+define(  w[2](x),  subst(sections[2],subst(displ,w(x))));
+define(Phi[2](x),  diff(w[2](x),x  ));
+define(  M[2](x), -EI[2]*diff(w[2](x),x,2));
+define(  Q[2](x), -EI[2]*diff(w[2](x),x,3));
 </syntaxhighlight>
 }}
-==tmp==
+<!-------------------------------------------------------------------------------->
+{{MyCodeBlock|title=Boundary Conditions
+|text=
 Für die 2*4 = 8 Integrationskonstanten
-<math>\left[ C_{1,0},C_{1,1},C_{1,2},C_{1,3},C_{2,0},C_{2,1},C_{2,2},C_{2,3}\right]</math>
+::<math>\left[ C_{1,0},C_{1,1},C_{1,2},C_{1,3},C_{2,0},C_{2,1},C_{2,2},C_{2,3}\right]</math>
 suchen wir jetzt die passenden Gleichungen aus Rand- und Übergangsbedingungen.
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 <tr><td>[[Datei:Kw98-11B.png|rahmenlos|alternativtext=|162x162px]]
 </td><td>''Geometrische Randbedingungen''
-# <math>w_1(\ell_1)=w_2(\ell_1)</math>
+#<math>w_1(\ell_1)=w_2(\ell_1)</math>
-# <math>\phi_1(\ell_1) = \phi_2(\ell_1)</math>
+#<math>\phi_1(\ell_1) = \phi_2(\ell_1)</math>
 ''Kraft- und Momenten-Randbedingungen''
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 Und das liefert das Gleichungssystem aus 8 Gleichungen
-<math>\begin{pmatrix}\frac{{{C}_{1,0}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}}=0\\ \frac{{{C}_{1,1}}\cdot {{K}_{A}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}}-{{C}_{1,2}}=0\\ \frac{{{\ell}_{1}^{4}}\cdot {{q}_{B}}}{120\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{\ell}_{1}^{4}}\cdot {{q}_{A}}}{30\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{\ell}_{1}^{3}}\cdot {{C}_{1,3}}}{6\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{\ell}_{1}^{2}}\cdot {{C}_{1,2}}}{2\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{\ell}_{1}}\cdot {{C}_{1,1}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{C}_{1,0}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}}=\frac{{{C}_{2,0}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}}\\ \frac{{{\ell}_{1}^{3}}\cdot {{q}_{B}}}{24\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{\ell}_{1}^{3}}\cdot {{q}_{A}}}{8\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{\ell}_{1}^{2}}\cdot {{C}_{1,3}}}{2\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{\ell}_{1}}\cdot {{C}_{1,2}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{C}_{1,1}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}}=\frac{{{C}_{2,1}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}}\\ \frac{{{\ell}_{1}}\cdot {{q}_{B}}}{2}-\frac{{{C}_{2,0}}\cdot {{k}_{B}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}}+\frac{{{\ell}_{1}}\cdot {{q}_{A}}}{2}-{{C}_{2,3}}+{{C}_{1,3}}=0\\ -{{M}_{B}}+\frac{{{\ell}_{1}^{2}}\cdot {{q}_{B}}}{6}+\frac{{{\ell}_{1}^{2}}\cdot {{q}_{A}}}{3}-{{C}_{2,2}}+{{\ell}_{1}}\cdot {{C}_{1,3}}+{{C}_{1,2}}=0\\ \frac{{{\ell}_{2}^{2}}\cdot {{C}_{2,3}}}{2\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}+\frac{{{\ell}_{2}}\cdot {{C}_{2,2}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}}+\frac{{{C}_{2,1}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}}=0\\ -\frac{{{\ell}_{2}^{3}}\cdot {{C}_{2,3}}\cdot {{k}_{C}}}{6\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}-\frac{{{\ell}_{2}^{2}}\cdot {{C}_{2,2}}\cdot {{k}_{C}}}{2\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}-\frac{{{\ell}_{2}}\cdot {{C}_{2,1}}\cdot {{k}_{C}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}}-\frac{{{C}_{2,0}}\cdot {{k}_{C}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}}+{{C}_{2,3}}=0\end{pmatrix}
+::<math>\begin{pmatrix}\frac{{{C}_{1,0}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}}=0\\ \frac{{{C}_{1,1}}\cdot {{K}_{A}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}}-{{C}_{1,2}}=0\\ \frac{{{\ell}_{1}^{4}}\cdot {{q}_{B}}}{120\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{\ell}_{1}^{4}}\cdot {{q}_{A}}}{30\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{\ell}_{1}^{3}}\cdot {{C}_{1,3}}}{6\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{\ell}_{1}^{2}}\cdot {{C}_{1,2}}}{2\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{\ell}_{1}}\cdot {{C}_{1,1}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{C}_{1,0}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}}=\frac{{{C}_{2,0}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}}\\ \frac{{{\ell}_{1}^{3}}\cdot {{q}_{B}}}{24\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{\ell}_{1}^{3}}\cdot {{q}_{A}}}{8\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{\ell}_{1}^{2}}\cdot {{C}_{1,3}}}{2\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{\ell}_{1}}\cdot {{C}_{1,2}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{C}_{1,1}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}}=\frac{{{C}_{2,1}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}}\\ \frac{{{\ell}_{1}}\cdot {{q}_{B}}}{2}-\frac{{{C}_{2,0}}\cdot {{k}_{B}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}}+\frac{{{\ell}_{1}}\cdot {{q}_{A}}}{2}-{{C}_{2,3}}+{{C}_{1,3}}=0\\ -{{M}_{B}}+\frac{{{\ell}_{1}^{2}}\cdot {{q}_{B}}}{6}+\frac{{{\ell}_{1}^{2}}\cdot {{q}_{A}}}{3}-{{C}_{2,2}}+{{\ell}_{1}}\cdot {{C}_{1,3}}+{{C}_{1,2}}=0\\ \frac{{{\ell}_{2}^{2}}\cdot {{C}_{2,3}}}{2\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}+\frac{{{\ell}_{2}}\cdot {{C}_{2,2}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}}+\frac{{{C}_{2,1}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}}=0\\ -\frac{{{\ell}_{2}^{3}}\cdot {{C}_{2,3}}\cdot {{k}_{C}}}{6\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}-\frac{{{\ell}_{2}^{2}}\cdot {{C}_{2,2}}\cdot {{k}_{C}}}{2\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}-\frac{{{\ell}_{2}}\cdot {{C}_{2,1}}\cdot {{k}_{C}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}}-\frac{{{C}_{2,0}}\cdot {{k}_{C}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}}+{{C}_{2,3}}=0\end{pmatrix}
 </math>
-für die Integrationskonstanten.<!-------------------------------------------------------------------------------->
+für die Integrationskonstanten.
-{{MyCodeBlock|title=Boundary Conditions
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Gelöste Aufgaben/Kw98: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 31. März 2021, 12:09 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgabenstellung