Gelöste Aufgaben/Kw96

Aufgabenstellung

Ein Stab ABC ist durch eine lineare veränderliche Streckenlast q mit den Eckwerten q_A in A und q_B in B sowie dem Moment M_B in B belastet. Der Stab (E-Modul: E) besteht aus zwei Sektionen mit den Längen l₁ bzw. l₂ sowie den Flächenmomenten I₁ bzw. I₂. Der Stab ist in A durch ein gelenkiges Festlager, in C durch eine Schiebehülse gelagert, in B sind die beiden Sektionen fest miteinander verbunden. Die Feder in A ist eine Drehfester mit Steifigkeit K_A, die Federn in B und C sind Translationsfedern mit den Steifigkeiten k_B, k_C.

Lageplan

Gesucht ist die FEM Lösung für den Euler-Bernoulli-Balken unter Verwendung von zwei Finiten Elementen.

Systemparameter

Ermitteln Sie für ein Euler-Bernoulli-Modell die analytischen Verläufe der Schnittgrößen und Verschiebungen im Balken für die angegebenen Parameter:

tmp

Wir arbeiten mit den Standard-System-Matrizen nach Abschnitt "FEM-Formulierung für den Euler-Bernoulli-Balken".

Header

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tmp

System-Parameter sind:

${\begin{array}{l}\displaystyle {{q}_{A}}=3000{\frac {N}{m}},\\\displaystyle {\ell _{1}}={\frac {7\cdot m}{10}},\\\displaystyle {{\mathit {EI}}_{1}}=33600N{{m}^{2}},\\\displaystyle {\ell _{2}}={\frac {21}{40}}m,\\\displaystyle {{\mathit {EI}}_{2}}=16800N{{m}^{2}},\\\displaystyle {{K}_{A}}=96000Nm,\\\displaystyle {{k}_{C}}={\frac {256}{229}}\cdot {{k}_{B}},\\\displaystyle {{k}_{B}}={\frac {256}{229}}Nm,\\\displaystyle {{q}_{B}}=12000{\frac {N}{m}},\\\displaystyle {{M}_{B}}=1470Nm\end{array}}$

Declarations

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Die Ansatzfunktion für die Trial-Functions ist ein Polynom 3. Grades:

$\mathrm {w} \left(\xi \right):={{c}_{3}}\cdot {{\xi }^{3}}+{{c}_{2}}\cdot {{\xi }^{2}}+{{c}_{1}}\cdot \xi +{{c}_{0}}$

An den Rändern müssen die Auslenkung und Kippung mit den Knoten-Variablen übereinstimmen:

${\begin{array}{l}\displaystyle {{c}_{0}}={{W}_{i-1}},\\\displaystyle {\frac {{c}_{1}}{{l}_{i}}}={{\Phi }_{i-1}},\\\displaystyle {{c}_{3}}+{{c}_{2}}+{{c}_{1}}+{{c}_{0}}={{W}_{i}},\\\displaystyle {\frac {{{c}_{1}}+2\cdot {{c}_{2}}+3\cdot {{c}_{3}}}{{l}_{i}}}={{\Phi }_{i}}\end{array}}$

Trial-Functions

Damit ist die Ansatzfunktion des Finiten Elements mit den vier Knotenvariablen

$w(\xi )\;=\;\ell _{i}\cdot \Phi _{i}\cdot \left(\xi -1\right)\cdot \xi ^{2}+W_{i-1}\cdot \left(\xi -1\right)^{2}\cdot \left(1+2\cdot \xi \right)-W_{i}\cdot \xi ^{2}\cdot \left(2\cdot \xi -3\right)+\Phi _{i-1}\cdot \ell _{i}\cdot \left(\xi -1\right)^{2}\cdot \xi$

Formfunctions

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So sind die Element-Steifigkeitsmatrix

$\displaystyle {\underline {\underline {K}}}_{i}=\,{\frac {EI_{i}}{\ell _{i}^{3}}}{\begin{pmatrix}12&6\cdot {{\ell }_{i}}&-12&6\cdot {{\ell }_{i}}\\6\cdot {{\ell }_{i}}&4\cdot {{\ell }_{i}^{2}}&-6\cdot {{\ell }_{i}}&2\cdot {{\ell }_{i}^{2}}\\-12&-6\cdot {{\ell }_{i}}&12&-6\cdot {{\ell }_{i}}\\6\cdot {{\ell }_{i}}&2\cdot {{\ell }_{i}^{2}}&-6\cdot {{\ell }_{i}}&4\cdot {{\ell }_{i}^{2}}\end{pmatrix}}$

die Koordinaten des FE-Modells - hier für das Element "1":

${\underline {Q}}\,=\,{\begin{pmatrix}{{\Phi }_{0}}\\{{W}_{1}}\\{{\Phi }_{1}}\\{{W}_{2}}\end{pmatrix}}$.

Wir komponieren daraus die System-Steifigkeitsmatrix - durch Aufaddieren der Beiträge der beiden Elemente und Einarbeiten der Randbedingugnen - zu

${\underline {\underline {K}}}_{0}={\begin{pmatrix}{K_{A}}+{\frac {4{{\mathit {EI}}_{1}}}{\ell _{1}}}&-{\frac {6{{\mathit {EI}}_{1}}}{{\ell }_{1}^{2}}}&{\frac {2{{\mathit {EI}}_{1}}}{\ell _{1}}}&0\\-{\frac {6{{\mathit {EI}}_{1}}}{{\ell }_{1}^{2}}}&{k_{B}}+{\frac {12{{\mathit {EI}}_{2}}}{{\ell }_{2}^{3}}}+{\frac {12{{\mathit {EI}}_{1}}}{{\ell }_{1}^{3}}}&{\frac {6{{\mathit {EI}}_{2}}}{{\ell }_{2}^{2}}}-{\frac {6{{\mathit {EI}}_{1}}}{{\ell }_{1}^{2}}}&-{\frac {12{{\mathit {EI}}_{2}}}{{\ell }_{2}^{3}}}\\{\frac {2{{\mathit {EI}}_{1}}}{\ell _{1}}}&{\frac {6{{\mathit {EI}}_{2}}}{{\ell }_{2}^{2}}}-{\frac {6{{\mathit {EI}}_{1}}}{{\ell }_{1}^{2}}}&{\frac {4{{\mathit {EI}}_{2}}}{\ell _{2}}}+{\frac {4{{\mathit {EI}}_{1}}}{\ell _{1}}}&-{\frac {6{{\mathit {EI}}_{2}}}{{\ell }_{2}^{2}}}\\0&-{\frac {12{{\mathit {EI}}_{2}}}{{\ell }_{2}^{3}}}&-{\frac {6{{\mathit {EI}}_{2}}}{{\ell }_{2}^{2}}}&{k_{C}}+{\frac {12{{\mathit {EI}}_{2}}}{{\ell }_{2}^{3}}}\end{pmatrix}}$

Wie das geht, steht in Abschnitt Finite Elemente Methode.

Equilibrium Conditions

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Die Knotenvariablen sind damit

${\begin{array}{ll}W_{0}=0&\\\Phi _{0}=0.00624&\\W_{1}=0.00657m&\\\Phi _{1}=0.0123&\\W_{2}=0.00846m&\\\Phi _{2}=0&\end{array}}$

Solving

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Die Biegelinie des Balkens sieht damit so aus:

Post-Processing

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