Gelöste Aufgaben/Kw53

Aufgabenstellung

Eine Brücke ABC der Masse m_B und homogener Biegesteifigkeit EI ist in C gelenkig gelagert und in A sowie B mit einem Seil verbunden. Das undehnbare Seil wird dabei über eine kleine Rolle (Radius r ≪ ℓ) in D haftungsfrei geführt. In Punkt C ist die Brücke über eine Drehfeder der Steifigkeit K_C mit dem Lager verbunden. In A steht eine Person der Masse m_A.

Lageplan (wie Kw50)

Geben Sie die Lösung für ein Euler-Bernoulli-Modell der Brücke mit dem Verfahren von Rayleigh-Ritz (EBB) an - hier ohneLagrange-Multiplikator für die geometrische Zwangsbedingung.

Dies ist eine Näherungslösung zu Kw50.

Ermitteln Sie die genäherten Verläufe der Schnittgrößen und Verschiebungen im Balken für diese Parameter:

${\begin{array}{ll}K_{C}=&\displaystyle 5{\frac {E\,I}{\ell _{0}}}\\m_{A}=&\displaystyle {\frac {m_{B}}{5}}\end{array}}$

Lösung mit Maxima

In dieser Aufgabe berechnen wir eine Näherungslösung nach dem Verfahren von Rayleigh-Ritz (EBB) zu Kw50.

Alle Überlegungen zur Geometrie des Systems übernehmen wir.

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Für die Lösung nutzen wir hier das Ritz-Verfahren. Die geometrischen Zwangsbedingungen arbeiten wir direkt in die Trial-Functions ein.

Header

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Header

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tmp

Wir arbeiten mit den selben Parametern und Bezugslängen, wie in Kw50.

Declarations

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Nach "Ritz" wählen wir zwei Trial-Functions über die gesamte Stablänge. Als zugehörige, gesuchte Koordinaten wählen wir die Auslenkung in A und die Verdrehung in C, also

${\underline {Q}}=\left({\begin{array}{c}W_{A}\\\Phi _{C}\end{array}}\right)$.

Die Trial-Functions müssen dann diesen geoemtrischen Zwangsbedingungen genügen:

${\begin{array}{l}w(0)=W_{A}\\w(\ell _{1})=W_{B}{\mbox{ mit }}\displaystyle W_{B}=-{\frac {W_{A}}{\sqrt {3}}}\\\displaystyle {\frac {dw}{dx}}|_{x=\ell }=\Phi _{C}\end{array}}$.

Mit einem Polynom 3-ten Grades als Ansatz ist also unser Näherungsansatz für die Auslenkung dann

$\displaystyle {\tilde {w}}(\xi )=\sum _{i=1}^{2}Q_{i}\cdot \phi _{i}(\xi )$

mit den Trial-Functions

${\begin{array}{lll}\phi _{1}=&-&\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(\left({{3}^{\frac {5}{2}}}+3\right)\,{{\xi }^{3}}+\left(-2\;{{3}^{\frac {5}{2}}}-8\right)\,{{\xi }^{2}}+\left({{3}^{\frac {5}{2}}}+7\right)\xi -2\right)\\\phi _{2}=&&\ell _{o}\cdot \left(3\,{{\xi }^{3}}-5\,{{\xi }^{2}}+2\,\xi \right)\end{array}}$.

Und so sehen sie aus, unsere zwei Trial-Functions:

Trial Functions

Formfunctions

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Die Potentiale aus Elastischen Energien und Arbeitsfunktion der Gewichtskräfte sind

${\begin{array}{lll}U=&&\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot \int _{0}^{\ell }EI\;w''^{2}\;dx+{\frac {1}{2}}\cdot K_{C}\cdot \Phi _{C}^{2}\\&-&\displaystyle \int _{0}^{\ell }q_{0}\;w\;dx-m_{A}\,g\;W_{A}\end{array}}$.

Einsetzten der Trial-Functions liefert

$U=\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({W_{A}},{{\Phi }_{C}}\right)\underbrace {\begin{pmatrix}{\frac {\left(8{{3}^{\frac {5}{2}}}+262\right)\,{\mathit {EI}}}{{\ell }_{0}^{3}}}&-{\frac {\left(5{{3}^{\frac {5}{2}}}+17\right)\,{\mathit {EI}}}{{\ell }_{0}^{2}}}\\-{\frac {\left(5{{3}^{\frac {5}{2}}}+17\right)\,{\mathit {EI}}}{{\ell }_{0}^{2}}}&{\frac {28{\mathit {EI}}+{\ell _{0}}\,{K_{C}}}{\ell _{0}}}\end{pmatrix}} _{\displaystyle :={\underline {\underline {A}}}}{\begin{pmatrix}{W_{A}}\\{{\Phi }_{C}}\end{pmatrix}}-\left({W_{A}},{{\Phi }_{C}}\right)\underbrace {\begin{pmatrix}{m_{A}}g-{\frac {{{3}^{\frac {3}{2}}}\,{q_{0}}\,{\ell _{0}}}{8}}+{\frac {5{q_{0}}\,{\ell _{0}}}{24}}\\{\frac {{q_{0}}\,{{\ell }_{0}^{2}}}{12}}\end{pmatrix}} _{\displaystyle :={\underline {b}}}$

Potentials

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Nach dem Minimum Prinzip hat das Potential U ein Minimum - das Sytem ist im Gleichgewicht, wenn

${\underline {\underline {A}}}\cdot {\underline {Q}}={\underline {b}}$.

In den System-Matrizen stehen hier

${\underline {\underline {A}}}\,=\,{\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {386.7\cdot {\mathit {EI}}}{{\ell }_{0}^{3}}}&\displaystyle -{\frac {94.9\cdot {\mathit {EI}}}{{\ell }_{0}^{2}}}\\\displaystyle -{\frac {94.9\cdot {\mathit {EI}}}{{\ell }_{0}^{2}}}&\displaystyle {\frac {{{\ell }_{0}}\cdot {{K}_{C}}+28\cdot {\mathit {EI}}}{{\ell }_{0}}}\end{pmatrix}}$ und

${\underline {b}}\,=\,{\begin{pmatrix}{{m}_{A}}\,g-0.4\cdot {{q}_{0}}\cdot {{\ell }_{0}}\\0.08\cdot {{q}_{0}}\cdot {{\ell }_{0}^{2}}\end{pmatrix}}$.

Equilibrium Conditions

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Das Lösen des Gleichungssystems liefert dann

$\displaystyle \left({\begin{array}{c}W_{A}\\\Phi _{C}\end{array}}\right)={\frac {m_{B}\,g\,\ell _{0}^{3}}{3\;EI}}\left({\begin{array}{l}-3.78{10}^{-5}\\\displaystyle 0.00747{\frac {1}{\ell }}\end{array}}\right)$.

Solving

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tmp

Post-Processing

Und die Ergebnisse können wir uns anschauen ...

... für w(x):

Auslenkung w(x)

... für Φ(x):

Kippwinkel Φ(x)

... für M(x):

Biegemoment M(x)

... für Q(x):

Querkraft Q(x)

/* Post-Processing                                    */
w : subst([x=xi*ℓ[0]],subst(geometry,subst(sol, sum(Q[j]*phi[j],j,1,3))));

fcts: [         w             ,
           diff(w,xi  )/ℓ[0]  ,
       -EI*diff(w,xi,2)/ℓ[0]^2,
       -EI*diff(w,xi,3)/ℓ[0]^3];
fcts: float(subst(geometry,expand(fcts)))$ 
facts: [1/ℓ[Bez], ℓ[0]/ℓ[Bez], 1/(m[B]*g*ℓ[0]), 1/(m[B]*g)];
 
textlabels : ["← w(x)/ℓ[Bez]", "← w'(x)/(ℓ[Bez]/ℓ[0]) →", "M(x)/(m[B]*g*ℓ) →", "Q(x)/(m[B]g →"];
for i: 1 thru 4 do(
  f : expand(subst(dimless,facts[i]*fcts[i])),
  preamble: if i<=2 then "set yrange [] reverse" else "set yrange []",
  plot2d(f, [xi,0,1], [legend, false],
                      [gnuplot_preamble, preamble],
                      [xlabel, "x/ℓ →"],
                      [ylabel, textlabels[i]]))$

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Links

• Aufgabe Kw50 (analytische Lösung dieser Aufgabe)
• Aufgabe Kw52 (Lösung dieser Aufgabe mit dem Ansatz von Rayleigh-Ritz und Lagrange-Multiplikator)
• Aufgabe Kw53 (Lösung dieser Aufgabe mit dem Ansatz von Rayleigh-Ritz)

Literature

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