Gelöste Aufgaben/Kw53

Aufgabenstellung

Eine Brücke ABC der Masse m_B und homogener Biegesteifigkeit EI ist in C gelenkig gelagert und in A sowie B mit einem Seil verbunden. Das undehnbare Seil wird dabei über eine kleine Rolle (Radius r ≪ ℓ) in D haftungsfrei geführt. In Punkt C ist die Brücke über eine Drehfeder der Steifigkeit K_C mit dem Lager verbunden. In A steht eine Person der Masse m_A.

Lageplan (wie Kw50)

Geben Sie die Lösung für ein Euler-Bernoulli-Modell der Brücke mit dem Verfahren von Rayleigh-Ritz (EBB) an - hier mit Lagrange-Multiplikator für die geometrische Zwangsbedingung.

Dies ist eine Näherungslösung zu Kw50.

Ermitteln Sie die genäherten Verläufe der Schnittgrößen und Verschiebungen im Balken für diese Parameter:

${\begin{array}{ll}K_{C}=&\displaystyle 5{\frac {E\,I}{\ell _{0}}}\\m_{A}=&\displaystyle {\frac {m_{B}}{5}}\end{array}}$

Lösung mit Maxima

In dieser Aufgabe berechnen wir eine Näherungslösung nach dem Verfahren von Rayleigh-Ritz (EBB) zu Kw50.

Alle Überlegungen zur Geometrie des Systems übernehmen wir.

tmp

Header

text

1+1

tmp

Header

text

1+1

tmp

Declarations

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1+1

tmp

Formfunctions

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1+1

tmp

Potentials

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1+1

tmp

Equilibrium Conditions

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1+1

tmp

Solving

text

1+1

tmp

Trial Functions

Post-Processing

Und die Ergebnisse können wir uns anschauen ...

... für w(x):

Auslenkung w(x)

... für Φ(x):

Datei:Kw51-22.png

Kippwinkel Φ(x)

... für M(x):

Datei:Kw53-23.png

Biegemoment M(x)

... für Q(x):

Datei:Kw51-24.png

Querkraft Q(x)

/* Post-Processing                                    */
w : subst([x=xi*ℓ[0]],subst(geometry,subst(sol, sum(Q[j]*phi[j],j,1,3))));

fcts: [         w             ,
           diff(w,xi  )/ℓ[0]  ,
       -EI*diff(w,xi,2)/ℓ[0]^2,
       -EI*diff(w,xi,3)/ℓ[0]^3];
fcts: float(subst(geometry,expand(fcts)))$ 
facts: [1/ℓ[Bez], ℓ[0]/ℓ[Bez], 1/(m[B]*g*ℓ[0]), 1/(m[B]*g)];
 
textlabels : ["← w(x)/ℓ[Bez]", "← w'(x)/(ℓ[Bez]/ℓ[0]) →", "M(x)/(m[B]*g*ℓ) →", "Q(x)/(m[B]g →"];
for i: 1 thru 4 do(
  f : expand(subst(dimless,facts[i]*fcts[i])),
  preamble: if i<=2 then "set yrange [] reverse" else "set yrange []",
  plot2d(f, [xi,0,1], [legend, false],
                      [gnuplot_preamble, preamble],
                      [xlabel, "x/ℓ →"],
                      [ylabel, textlabels[i]]))$

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Links

• Aufgabe Kw50 (analytische Lösung dieser Aufgabe)
• Aufgabe Kw52 (Lösung dieser Aufgabe mit dem Ansatz von Rayleigh-Ritz und Lagrange-Multiplikator)
• Aufgabe Kw53 (Lösung dieser Aufgabe mit dem Ansatz von Rayleigh-Ritz)

Literature

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