Gelöste Aufgaben/Kw53: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 31. März 2021, 06:10 Uhr

Aufgabenstellung

Eine Brücke ABC der Masse m_B und homogener Biegesteifigkeit EI ist in C gelenkig gelagert und in A sowie B mit einem Seil verbunden. Das undehnbare Seil wird dabei über eine kleine Rolle (Radius r ≪ ℓ) in D haftungsfrei geführt. In Punkt C ist die Brücke über eine Drehfeder der Steifigkeit K_C mit dem Lager verbunden. In A steht eine Person der Masse m_A.

Geben Sie die Lösung für ein Euler-Bernoulli-Modell der Brücke mit dem Verfahren von Rayleigh-Ritz (EBB) an - hier mit Lagrange-Multiplikator für die geometrische Zwangsbedingung.

Dies ist eine Näherungslösung zu Kw50.

Ermitteln Sie die genäherten Verläufe der Schnittgrößen und Verschiebungen im Balken für diese Parameter:

$\begin{array}{ll} K_{C} = & 5 \frac{E I}{ℓ_{0}} \\ m_{A} = & \frac{m_{B}}{5} \end{array}$

Lösung mit Maxima

In dieser Aufgabe berechnen wir eine Näherungslösung nach dem Verfahren von Rayleigh-Ritz (EBB) zu Kw50.

Alle Überlegungen zur Geometrie des Systems übernehmen wir.

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Header

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Header

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Declarations

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Formfunctions

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Potentials

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Equilibrium Conditions

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Solving

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Post-Processing

Und die Ergebnisse können wir uns anschauen ...

... für w(x):

... für Φ(x):

... für M(x):

... für Q(x):

Links

Aufgabe Kw50 (analytische Lösung dieser Aufgabe)
Aufgabe Kw52 (Lösung dieser Aufgabe mit dem Ansatz von Rayleigh-Ritz und Lagrange-Multiplikator)
Aufgabe Kw53 (Lösung dieser Aufgabe mit dem Ansatz von Rayleigh-Ritz)

Literature

...

Gelöste Aufgaben/Kw53: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 31. März 2021, 06:10 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgabenstellung

Lösung mit Maxima

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Header

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Header

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Declarations

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Formfunctions

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Potentials

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Equilibrium Conditions

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Solving

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Post-Processing

... für w(x):

... für Φ(x):

... für M(x):

... für Q(x):

Navigationsmenü

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 Alle Überlegungen zur Geometrie des Systems übernehmen wir.
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+{{MyCodeBlock|title=Header
+|text=text
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+<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
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+</syntaxhighlight>
+}}
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+<!-------------------------------------------------------------------------------->
 {{MyCodeBlock|title=Header
-|text=
+|text=text
-Für die Lösung nutzen wir hier das Ritz-Verfahren mit einer Variante:
-* die geometrische Zwangsbedingung für die Punkte ''A, B'' durch das Seil erfassen wir durch einen [https://de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-Multiplikator Lagrange-Multiplikator].
 |code=
 <syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
-/*******************************************************/
++1
-/* MAXIMA script                                       */
-/* version: wxMaxima 18.10.1                           */
-/* author: Andreas Baumgart                            */
-/* last updated: 2019-02-12                            */
-/* ref: TM-C, Labor 1, dimensionless representation    */
-/* description: finds the rayleigh-ritz with Lagragian */
-/*              Multiplyers for lab problem #3         */
-/*******************************************************/
 </syntaxhighlight>
 }}
+==tmp==
 <!-------------------------------------------------------------------------------->
 {{MyCodeBlock|title=Declarations
-|text=
+|text=text
-Wir arbeiten mit den selben Parametern und Bezugslängen, wie in [[Gelöste Aufgaben/Kw50|Kw50]].
-Insbesondere gilt auch hier wieder
-::<math>\displaystyle W_B = -\frac{W_A}{\sqrt{3}}</math>.
 |code=
 <syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
-/* declare variational variables - see 6.3 Identifiers */
++1
-declare("Δs", alphabetic);
-declare( "ϕ", alphabetic); /* = dw/dx*/
-declare( "Π", alphabetic); /* elastic potential */
-declare( "ℓ", alphabetic);
-declare( "λ", alphabetic);
-declare( "Λ", alphabetic);
-assume(ℓ[0]>0);
-/* system parameters                                  */
-params: [K[C]     = kappa*EI/ℓ[0],
-         q[0]     = m[B]*g/ℓ[0],
-         m[A]     = theta*m[B],
-         theta    = 1/5,
-         kappa    = 5];
-geometry: [alpha[A] = 30*%pi/180,
-           alpha[B] = 60*%pi/180,
-           ℓ[0]     = ℓ[1]+ℓ[2],
-           Δs[A]    = W[A]*sin(alpha[A]),
-           Δs[B]    = W[B]*sin(alpha[B]),
-           tan(alpha[B]) = H/ℓ[2],
-           tan(alpha[A]) = H/ℓ[0],
-           xi[1]    = ℓ[1]/ℓ[0],
-           xi[2]    = ℓ[2]/ℓ[0]];
-geometry: ratsimp(solve(geometry,[alpha[A],alpha[B],ℓ[1],ℓ[2],Δs[A],Δs[B],H,xi[1],xi[2]])[1]);
-/* reference length selected:                         */
-dimless : ℓ[Bez] = 1/3*m[B]*g*ℓ[0]^3/(EI); /*cantilevered*/
 </syntaxhighlight>
 }}
+==tmp==
 <!-------------------------------------------------------------------------------->
 {{MyCodeBlock|title=Formfunctions
-|text=
+|text=text
-Nach "Ritz" wählen wir Trial-Functions über die gesamte Stablänge und müssen uns überlegen, welchen Aufwand wir dafür treiben wollen.
-Intuitiv wählen wir  für jeden Punkt ''A, B, C'' jeweils eine Koordinate, hier
-::<math>\begin{array}{l}w(0) = W_A\\w(\ell_1) = W_B\\\displaystyle \frac{dw}{dx}|_{x=\ell} = \Phi_C\end{array}</math>.
-und brauchen - zusammen der geometrischen Randbedingung ''w(ℓ)=0'' ein Polynom mit vier freien Parametern - also ein Polynom dritten Grades.
-Mit dem Ansatz für die Formfunktion
-::<math>\displaystyle \tilde{w}(x) = \sum_{i=0}^3 C_i\cdot x^i</math>
-kommt aus den Bedingungen oben dann
-::<math>\displaystyle \tilde{w}( \xi) = \sum_{i=1}^3 Q_i \cdot \phi_i(\xi)</math>
-mit
-::<math>\underline{Q} = \left(\begin{array}{c}W_A\\W_B\\\Phi_C \end{array}\right)</math>.[[Datei:Kw51.png|mini|Trial-Functions]]Und so sehen sie aus, unsere drei [[Sources/Lexikon/Trial-Function|Trial-Functions]]:
-Für die Formfunktion gilt aber immer die geometrische Zwangsbedingung:
-::<math>\displaystyle W_B = -\frac{W_A}{\sqrt{3}}</math>.
 |code=
 <syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
-/* coordinates                                        */
++1
-Q : [W[A],W[B],Phi[C],λ];
-/* raw trial function                                 */
-v(x) := sum(C[i]*x^i,i,0,3);
-/* formfunctions                                      */
-const: [subst([x= 0  ],      v(x)  ) = W[A],
-        subst([x=ℓ[1]],      v(x)  ) = W[B],
-        subst([x=ℓ[0]], diff(v(x),x))= Phi[C],
-        subst([x=ℓ[0]],      v(x)  ) =  0  ];
-trials : expand(subst(solve(subst(geometry,const), makelist(C[i],i,0,3))[1],v(x)));
-phi : makelist(ratsimp(coeff(trials,Q[i])),i,1,3);
 </syntaxhighlight>
 }}
+==tmp==
 <!-------------------------------------------------------------------------------->
-{{MyCodeBlock|title=Equilibrium Conditions
+{{MyCodeBlock|title=Potentials
-|text=
+|text=text
-Die Potentiale aus Elastischer Energien und Arbeitsfunktion der Gewichtskräfte sind
-::<math>\begin{array}{lll} U  =& &\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \int_0^\ell E I\; w''^2 \; dx + \frac{1}{2}\cdot K_C \cdot \Phi_C^2\\     &-&\displaystyle \int_0^\ell q_0 \; w \; dx - m_A\,g\; W_A \end{array}</math>.
-Nach dem Prinzip vom Minimum der Potentiellen Energie ist das System im Gleichgewicht, wenn das Potential ''U'' des Systems
-::<math>\displaystyle \frac{dU}{dQ_i} = 0 \text{ für } Q_i \in \left( W_A, W_B, \Phi_C\right)</math>
-erfüllt. Und sich zusätzlich an die Zwangsbedingung hält!
 |code=
 <syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
-/******************************************************/
++1
-/* Boundary Value Problem Formulation                 */
-/* elastic and gravitational potential                */
-PMPE : [Π[P] = 1/2*integrate(EI*'diff(w(x),x,2)^2, x,0,ℓ[0]) + 1/2*K[C]*Phi[C]^2,
-        A[P] =  integrate(q[0]*w(x), x,0,ℓ[0]) + m[A]*g*W[A]];
 </syntaxhighlight>
 }}
+==tmp==
 <!-------------------------------------------------------------------------------->
-{{MyCodeBlock|title=Geometric Constraints
+{{MyCodeBlock|title=Equilibrium Conditions
-|text=
+|text=text
-Das können wir mit dem Konzept der Lagrange-Multiplikatoren erfassen. Dafür schreiben wir
-::<math>\Lambda (\underline{Q})  = U + \lambda\cdot \underbrace{\left( \Delta s_A + \Delta s_B\right)}_{\displaystyle \equiv \sqrt{3}\, W_B+W_A} </math>
-mit dem Lagrange-Multiplikator ''λ''. Die neuen Gleichgewichtsbedingungen lauten nun
-::<math>\displaystyle \frac{d\Lambda}{dQ_i} = 0 \text{ für alle } Q_i </math>
-und wir erhalten die vier Gleichungen
-::<math>\begin{array}{cc} \displaystyle \frac{\lambda }{2}-\frac{49 {m_B} g}{120}-\frac{17 {{\Phi}_C}\, EI}{{\ell_{0}^{2}}}-\frac{108 {W_B}\, EI}{{\ell_{0}^{3}}}+\frac{19 {W_A}\, EI}{{\ell_{0}^{3}}}&=0\\ \displaystyle \frac{\sqrt{3} \lambda }{2}-\frac{9 {m_B} g}{8}+\frac{135 {{\Phi}_C}\, EI}{{\ell_{0}^{2}}}+\frac{729 {W_B}\, EI}{{\ell_{0}^{3}}}-\frac{108 {W_A}\, EI}{{\ell_{0}^{3}}}&=0\\
-\displaystyle -\frac{{\ell_0}\, {m_B} g}{12}+\frac{33 {{\Phi}_C}\, EI}{{\ell_0}}+\frac{135 {W_B}\, EI}{{\ell_{0}^{2}}}-\frac{17 {W_A}\, EI}{{\ell_{0}^{2}}}&=0\\
-\displaystyle \frac{\sqrt{3}\, {W_B}}{2}+\frac{{W_A}}{2}&=0 \end{array}</math>.
 |code=
 <syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
-/* gemetric constraints                               */
++1
-trials: w(x) = sum(Q[i]*phi[i],i,1,3);
-print('phi = expand(subst([x=ℓ[0]*xi],phi)))$
-plot2d(ratsimp(subst([x = xi*ℓ[0]],phi)*[1,1,1/ℓ[0]]), [xi,0,1],
-            [legend, "W[A]","W[B]","Φ[C]"], [xlabel, "x/ℓ →"], [ylabel, "ϕ[i] →"]);
-PMPE: subst(trials, PMPE);
-PMPE: ev(PMPE,nouns);
-U: expand(subst(PMPE,Π[P] - A[P]));
-/* Lagrange-Function                                  */
-Λ : U + subst(geometry,λ*(Δs[A]+Δs[B]));
-/* Equilibrium Conditions                             */
-eom : subst(params,makelist( diff(Λ,Q[i])=0, i,1,4));
 </syntaxhighlight>
 }}
+==tmp==
 <!-------------------------------------------------------------------------------->
 {{MyCodeBlock|title=Solving
-|text=
+|text=text
-Das Lösen des Gleichungssystems liefert dann
-::<math>\displaystyle \left(\begin{array}{c} W_A\\W_B\\\Phi_C\\\lambda \end{array}\right) = \frac{m_B\, g\, \ell_0^3}{3 \; E I}  \left(\begin{array}{l}-3.78 10^{-5}\\+2.18 10^{-5}\\\displaystyle +0.00747 \frac{1}{\ell_0}\\\displaystyle +2.71 \frac{EI}{\ell_0^3} \end{array} \right)</math>.
 |code=
 <syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
-/* Solving                                            */
++1
-sol: float(solve(eom,Q)[1]);
 </syntaxhighlight>
 }}
+==tmp==
 <!-------------------------------------------------------------------------------->
 {{MyCodeBlock|title=Post-Processing
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 Und die Ergebnisse können wir uns anschauen ...
 ==== ... für w(x): ====
-[[Datei:Kw51-11.png|mini|Auslenkung ''w(x)''|alternativtext=|ohne]]
+[[Datei:Kw53-11.png|mini|Auslenkung ''w(x)''|alternativtext=|ohne]]
 ==== ... für ''Φ(x)'': ====
-[[Datei:Kw51-12.png|mini|Kippwinkel ''Φ(x)''|alternativtext=|ohne]]
+[[Datei:Kw53-12.png|mini|Kippwinkel ''Φ(x)''|alternativtext=|ohne]]
 ==== ... für M(x): ====
-[[Datei:Kw51-13.png|mini|Biegemoment ''M(x)''|alternativtext=|ohne]]
+[[Datei:Kw53-13.png|mini|Biegemoment ''M(x)''|alternativtext=|ohne]]
 ==== ... für Q(x): ====
-[[Datei:Kw51-14.png|mini|Querkraft ''Q(x)''|alternativtext=|ohne]]
+[[Datei:Kw53-14.png|mini|Querkraft ''Q(x)''|alternativtext=|ohne]]
 |code=
 <syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>

Gelöste Aufgaben/Kw53: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 31. März 2021, 06:10 Uhr

Aufgabenstellung

Lösung mit Maxima

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Header

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Header

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Declarations

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Formfunctions

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Potentials

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Equilibrium Conditions

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Solving

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Post-Processing

... für w(x):

... für Φ(x):

... für M(x):

... für Q(x):

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