Gelöste Aufgaben/Kw52

Aufgabenstellung

Eine Brücke ABC der Masse m_B und homogener Biegesteifigkeit EI ist in C gelenkig gelagert und in A sowie B mit einem Seil verbunden. Das undehnbare Seil wird dabei über eine kleine Rolle (Radius r ≪ ℓ) in D haftungsfrei geführt. In Punkt C ist die Brücke über eine Drehfeder der Steifigkeit K_C mit dem Lager verbunden. In A steht eine Person der Masse m_A.

Lageplan (wie Kw50)

Geben Sie die Lösung für ein Euler-Bernoulli-Modell der Brücke mit dem Ansatz der Finiten Elemente an.

Dies ist eine Näherungslösung zu Kw50. Ermitteln Sie die genäherten Verläufe der Schnittgrößen und Verschiebungen im Balken für diese Parameter:

${\begin{array}{ll}K_{C}=&\displaystyle 5{\frac {E\,I}{\ell _{0}}}\\m_{A}=&\displaystyle {\frac {m_{B}}{5}}\end{array}}$

Lösung mit Maxima

Für die Lösung nutzen wir direkt die Elemente aus der FEM-Formulierung für den Euler-Bernoulli-Balken.

tmp

Header

Text

1+1

tmp

Wir arbeiten mit den selben Parametern und Bezugslängen, wie in Kw50.

Declarations

Text

1+1

tmp

Wir nutzen zwei Finite Elemente für die Brücke und setzen dafür die klassischen Hermite-Polynome, i.e. Polynome dritten Grades, an.

An den drei Knotenpunkten A, B und C haben wir also zusammen die Koordinaten

${\underline {Q}}=\left({\begin{array}{c}W_{A}\\\Phi _{A}\\W_{B}\\\Phi _{B}\\W_{C}\\\Phi _{C}\end{array}}\right)$.

Formfunctions

Text

1+1

tmp

Für die Gleichgewichtsbedingung

${\begin{array}{lll}\delta W&=&\delta W^{a}-\delta \Pi \\&{\stackrel {!}{=}}&0\end{array}}$

konstruieren wir - ohne Berücksichtung der geometrischen Zwangsbedingungen -

$\delta \Pi =\delta {\underline {Q}}^{T}\cdot {\underline {\underline {K}}}_{0}\cdot {\underline {Q}}+K_{C}\;\Phi _{C}\;\delta \Phi _{C}$

mit

${\underline {\underline {K}}}_{0}=EI\cdot {\begin{pmatrix}{\frac {12}{{\ell }_{1}^{3}}}&{\frac {6}{{\ell }_{1}^{2}}}&-{\frac {12}{{\ell }_{1}^{3}}}&{\frac {6}{{\ell }_{1}^{2}}}&0&0\\{\frac {6}{{\ell }_{1}^{2}}}&{\frac {4}{\ell _{1}}}&-{\frac {6}{{\ell }_{1}^{2}}}&{\frac {2}{\ell _{1}}}&0&0\\-{\frac {12}{{\ell }_{1}^{3}}}&-{\frac {6}{{\ell }_{1}^{2}}}&{\frac {12{{\ell }_{2}^{3}}+12{{\ell }_{1}^{3}}}{{{\ell }_{1}^{3}}\,{{\ell }_{2}^{3}}}}&-{\frac {6{{\ell }_{2}^{2}}-6{{\ell }_{1}^{2}}}{{{\ell }_{1}^{2}}\,{{\ell }_{2}^{2}}}}&-{\frac {12}{{\ell }_{2}^{3}}}&{\frac {6}{{\ell }_{2}^{2}}}\\{\frac {6}{{\ell }_{1}^{2}}}&{\frac {2}{\ell _{1}}}&-{\frac {6{{\ell }_{2}^{2}}-6{{\ell }_{1}^{2}}}{{{\ell }_{1}^{2}}\,{{\ell }_{2}^{2}}}}&{\frac {4{\ell _{2}}+4{\ell _{1}}}{{\ell _{1}}\,{\ell _{2}}}}&-{\frac {6}{{\ell }_{2}^{2}}}&{\frac {2}{\ell _{2}}}\\0&0&-{\frac {12}{{\ell }_{2}^{3}}}&-{\frac {6}{{\ell }_{2}^{2}}}&{\frac {12}{{\ell }_{2}^{3}}}&-{\frac {6}{{\ell }_{2}^{2}}}\\0&0&{\frac {6}{{\ell }_{2}^{2}}}&{\frac {2}{\ell _{2}}}&-{\frac {6}{{\ell }_{2}^{2}}}&{\frac {4}{\ell _{2}}}\end{pmatrix}}$

und

$\delta W^{a}=\delta {\underline {Q}}^{T}\cdot {\underline {P}}_{0}+m_{A}\,g\;W_{A}\;\delta W_{A}$

mit

$\displaystyle {\underline {P}}_{0}={\frac {{q_{0}}\,{\ell _{1}}}{2}}\cdot {\begin{pmatrix}{\frac {2{m_{A}}g+{q_{0}}\,{\ell _{1}}}{{q_{0}}\,{\ell _{1}}}}\\{\frac {\ell _{1}}{6}}\\{\frac {{\ell _{2}}+{\ell _{1}}}{\ell _{1}}}\\{\frac {{{\ell }_{2}^{2}}-{{\ell }_{1}^{2}}}{6{\ell _{1}}}}\\{\frac {\ell _{2}}{\ell _{1}}}\\-{\frac {{\ell }_{2}^{2}}{6{\ell _{1}}}}\end{pmatrix}}$.

Equilibrium Conditions

Text

1+1

tmp

Die Bewegung unserer Brücke in durch zwei geometrische Zwangs-Bedingungen behindert:

1. durch das Lager in C:

$W_{C}=0{\text{ bzw. }}\delta W_{C}=0$ sowie

1. durch das Seil über die Umlenkrolle in D:

$W_{A}=-{\sqrt {3}}\;W_{B}{\text{ bzw. }}\delta W_{A}=-{\sqrt {3}}\;\delta W_{B}$.

Diese Bedingungen arbeiten wir in die virtuellen Arbeiten des Systems ein und erhalten dann mit den verbleibenden gesuchten Größen

${\underline {\tilde {Q}}}=\left({\begin{array}{c}\Phi _{A}\\W_{B}\\\Phi _{B}\\\Phi _{C}\end{array}}\right)$

das Gleichungssystem

${\mathit {EI}}{\begin{pmatrix}-{\frac {6}{\ell _{0}}}&{\frac {{{3}^{\frac {7}{2}}}+27}{2{{\ell }_{0}^{2}}}}&-{\frac {3}{\ell _{0}}}&0\\{\frac {{{3}^{\frac {7}{2}}}+27}{2{{\ell }_{0}^{2}}}}&-{\frac {{{3}^{\frac {9}{2}}}+486}{{\ell }_{0}^{3}}}&{\frac {{{3}^{\frac {7}{2}}}-81}{2{{\ell }_{0}^{2}}}}&-{\frac {54}{{\ell }_{0}^{2}}}\\-{\frac {3}{\ell _{0}}}&{\frac {{{3}^{\frac {7}{2}}}-81}{2{{\ell }_{0}^{2}}}}&-{\frac {18}{\ell _{0}}}&-{\frac {6}{\ell _{0}}}\\0&-{\frac {54}{{\ell }_{0}^{2}}}&-{\frac {6}{\ell _{0}}}&-{\frac {17}{\ell _{0}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{{\Phi }_{A}}\\{W_{B}}\\{{\Phi }_{B}}\\{{\Phi }_{C}}\end{pmatrix}}={m_{B}}\,g{\begin{pmatrix}-{\frac {\ell _{0}}{27}}\\-{\frac {5{\sqrt {3}}-16}{10{\sqrt {3}}}}\\{\frac {\ell _{0}}{36}}\\{\frac {\ell _{0}}{108}}\end{pmatrix}}$.

Geometric Constraints

Text

1+1

tmp

Das Lösen des Gleichungssystems liefert dann

$\displaystyle \left({\begin{array}{c}W_{A}\\\Phi _{A}\\W_{B}\\\Phi _{B}\\W_{C}\\\Phi _{C}\end{array}}\right)={\frac {m_{B}\,g\,\ell _{0}^{3}}{3\;EI}}\left({\begin{array}{l}+0.00291\\+0.01169{\frac {1}{\ell _{0}}}\\-0.00168\\-0.00704{\frac {1}{\ell _{0}}}\\+0\\+0.006198{\frac {1}{\ell _{0}}}\end{array}}\right)$.

Solving

Text

1+1

tmp

Und die Ergebnisse können wir uns anschauen ...

... für w(x):

Auslenkung w(x)

Post-Processing

Text

1+1

Kippung der Querschnitte Φ(x)

Moment M(x)

Querkraft Q(x)

---

Links

• Aufgabe Kw50 (analytische Lösung dieser Aufgabe)
• Aufgabe Kw52 (Lösung dieser Aufgabe mit dem Ansatz von Rayleigh-Ritz und Lagrange-Multiplikator)
• Aufgabe Kw53 (Lösung dieser Aufgabe mit dem Ansatz von Rayleigh-Ritz)

Literature

• ...