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| '''Links'''
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| * [[Gelöste Aufgaben/Kw50|Aufgabe Kw50]] (analytische Lösung dieser Aufgabe)
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| * [[Gelöste Aufgaben/Kw52|Aufgabe Kw52]] (Lösung dieser Aufgabe mit dem Ansatz von Rayleigh-Ritz und Lagrange-Multiplikator)
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| * [[Gelöste Aufgaben/Kw53|Aufgabe Kw53]] (Lösung dieser Aufgabe mit dem Ansatz von Rayleigh-Ritz)
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| '''Literature'''
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| * ...
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| [[Category:Gelöste Aufgaben]]
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| [[Category:Dimensionslose Schreibweise]]
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| [[Category:Numerische Lösung]]
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| [[Category:Randwertproblem]]
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| [[Category:Biege-Belastung]]
| |
| [[Category:Euler-Bernoulli-Balken]]
| |
| [[Category:Rayleigh-Ritz-Prinzip]]
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| [[Category:Maxima]]
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| ==Aufgabenstellung==
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| Eine Brücke ''ABC'' der Masse ''m<sub>B</sub>'' und homogener Biegesteifigkeit ''EI'' ist in ''C'' gelenkig gelagert und in ''A'' sowie ''B'' mit einem Seil verbunden. Das undehnbare Seil wird dabei über eine kleine Rolle (Radius ''r ≪ ℓ'') in ''D'' haftungsfrei geführt. In Punkt C ist die Brücke über eine Drehfeder der Steifigkeit ''K<sub>C</sub>'' mit dem Lager verbunden. In A steht eine Person der Masse ''m<sub>A</sub>''.
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| <onlyinclude>
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| [[Datei:Kw50-01.png|300px|left|mini|Lageplan (wie [[Gelöste Aufgaben/Kw50|Kw50]])]]
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| Geben Sie die Lösung für ein Euler-Bernoulli-Modell der Brücke mit dem Verfahren von [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Verfahren von Rayleigh-Ritz (EBB)|Rayleigh-Ritz (EBB)]] an - hier mit [https://de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-Multiplikator Lagrange-Multiplikator] für die geometrische Zwangsbedingung.
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| Dies ist eine Näherungslösung zu [[Gelöste Aufgaben/Kw50|Kw50]].
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| </onlyinclude>
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| Ermitteln Sie die genäherten Verläufe der Schnittgrößen und Verschiebungen im Balken für diese Parameter:
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| <math>\begin{array}{ll}K_C =&\displaystyle 5 \frac{E\,I}{\ell_0}\\m_A =&\displaystyle \frac{m_B}{5} \end{array}</math>
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| == Lösung mit Maxima ==
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| In dieser Aufgabe berechnen wir eine Näherungslösung nach dem Verfahren von [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Verfahren von Rayleigh-Ritz (EBB)|Rayleigh-Ritz (EBB)]] zu [[Gelöste Aufgaben/Kw50|Kw50]].
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| Alle Überlegungen zur Geometrie des Systems übernehmen wir.
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| <!-------------------------------------------------------------------------------->
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| {{MyCodeBlock|title=Header
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| |text=
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| Für die Lösung nutzen wir hier das Ritz-Verfahren mit einer Variante:
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| * die geometrische Zwangsbedingung für die Punkte ''A, B'' durch das Seil erfassen wir durch einen [https://de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-Multiplikator Lagrange-Multiplikator].
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| |code=
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| <syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
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| /*******************************************************/
| |
| /* MAXIMA script */
| |
| /* version: wxMaxima 18.10.1 */
| |
| /* author: Andreas Baumgart */
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| /* last updated: 2019-02-12 */
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| /* ref: TM-C, Labor 1, dimensionless representation */
| |
| /* description: finds the rayleigh-ritz with Lagragian */
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| /* Multiplyers for lab problem #3 */
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| /*******************************************************/
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| </syntaxhighlight>
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| }}
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| <!-------------------------------------------------------------------------------->
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| {{MyCodeBlock|title=Declarations
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| |text=
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| Wir arbeiten mit den selben Parametern und Bezugslängen, wie in [[Gelöste Aufgaben/Kw50|Kw50]].
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| Insbesondere gilt auch hier wieder
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| ::<math>\displaystyle W_B = -\frac{W_A}{\sqrt{3}}</math>.
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| |code=
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| <syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
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| /* declare variational variables - see 6.3 Identifiers */
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| declare("Δs", alphabetic);
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| declare( "ϕ", alphabetic); /* = dw/dx*/
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| declare( "Π", alphabetic); /* elastic potential */
| |
| declare( "ℓ", alphabetic);
| |
| declare( "λ", alphabetic);
| |
| declare( "Λ", alphabetic);
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| assume(ℓ[0]>0);
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| /* system parameters */
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| params: [K[C] = kappa*EI/ℓ[0],
| |
| q[0] = m[B]*g/ℓ[0],
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| m[A] = theta*m[B],
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| theta = 1/5,
| |
| kappa = 5];
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| geometry: [alpha[A] = 30*%pi/180,
| |
| alpha[B] = 60*%pi/180,
| |
| ℓ[0] = ℓ[1]+ℓ[2],
| |
| Δs[A] = W[A]*sin(alpha[A]),
| |
| Δs[B] = W[B]*sin(alpha[B]),
| |
| tan(alpha[B]) = H/ℓ[2],
| |
| tan(alpha[A]) = H/ℓ[0],
| |
| xi[1] = ℓ[1]/ℓ[0],
| |
| xi[2] = ℓ[2]/ℓ[0]];
| |
| geometry: ratsimp(solve(geometry,[alpha[A],alpha[B],ℓ[1],ℓ[2],Δs[A],Δs[B],H,xi[1],xi[2]])[1]);
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|
| |
| /* reference length selected: */
| |
| dimless : ℓ[Bez] = 1/3*m[B]*g*ℓ[0]^3/(EI); /*cantilevered*/
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| </syntaxhighlight>
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| }}
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| <!-------------------------------------------------------------------------------->
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| {{MyCodeBlock|title=Formfunctions
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| |text=
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| Nach "Ritz" wählen wir Trial-Functions über die gesamte Stablänge und müssen uns überlegen, welchen Aufwand wir dafür treiben wollen.
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| Intuitiv wählen wir für jeden Punkt ''A, B, C'' jeweils eine Koordinate, hier
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| ::<math>\begin{array}{l}w(0) = W_A\\w(\ell_1) = W_B\\\displaystyle \frac{dw}{dx}|_{x=\ell} = \Phi_C\end{array}</math>.
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| und brauchen - zusammen der geometrischen Randbedingung ''w(ℓ)=0'' ein Polynom mit vier freien Parametern - also ein Polynom dritten Grades.
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| Mit dem Ansatz für die Formfunktion
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| ::<math>\displaystyle \tilde{w}(x) = \sum_{i=0}^3 C_i\cdot x^i</math>
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| kommt aus den Bedingungen oben dann
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| ::<math>\displaystyle \tilde{w}( \xi) = \sum_{i=1}^3 Q_i \cdot \phi_i(\xi)</math>
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| mit
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| ::<math>\underline{Q} = \left(\begin{array}{c}W_A\\W_B\\\Phi_C \end{array}\right)</math>.[[Datei:Kw51.png|mini|Trial-Functions]]Und so sehen sie aus, unsere drei [[Sources/Lexikon/Trial-Function|Trial-Functions]]:
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| Für die Formfunktion gilt aber immer die geometrische Zwangsbedingung:
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| ::<math>\displaystyle W_B = -\frac{W_A}{\sqrt{3}}</math>.
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| |code=
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| <syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
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| /* coordinates */
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| Q : [W[A],W[B],Phi[C],λ];
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| /* raw trial function */
| |
| v(x) := sum(C[i]*x^i,i,0,3);
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| /* formfunctions */
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| const: [subst([x= 0 ], v(x) ) = W[A],
| |
| subst([x=ℓ[1]], v(x) ) = W[B],
| |
| subst([x=ℓ[0]], diff(v(x),x))= Phi[C],
| |
| subst([x=ℓ[0]], v(x) ) = 0 ];
| |
| trials : expand(subst(solve(subst(geometry,const), makelist(C[i],i,0,3))[1],v(x)));
| |
| phi : makelist(ratsimp(coeff(trials,Q[i])),i,1,3);
| |
| </syntaxhighlight>
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| }}
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| <!-------------------------------------------------------------------------------->
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| {{MyCodeBlock|title=Equilibrium Conditions
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| |text=
| |
| Die Potentiale aus Elastischer Energien und Arbeitsfunktion der Gewichtskräfte sind
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| ::<math>\begin{array}{lll} U =& &\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \int_0^\ell E I\; w''^2 \; dx + \frac{1}{2}\cdot K_C \cdot \Phi_C^2\\ &-&\displaystyle \int_0^\ell q_0 \; w \; dx - m_A\,g\; W_A \end{array}</math>.
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| Nach dem Prinzip vom Minimum der Potentiellen Energie ist das System im Gleichgewicht, wenn das Potential ''U'' des Systems
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| ::<math>\displaystyle \frac{dU}{dQ_i} = 0 \text{ für } Q_i \in \left( W_A, W_B, \Phi_C\right)</math>
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| |
| erfüllt. Und sich zusätzlich an die Zwangsbedingung hält!
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| |code=
| |
| <syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
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| /******************************************************/
| |
| /* Boundary Value Problem Formulation */
| |
| /* elastic and gravitational potential */
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| |
| PMPE : [Π[P] = 1/2*integrate(EI*'diff(w(x),x,2)^2, x,0,ℓ[0]) + 1/2*K[C]*Phi[C]^2,
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| A[P] = integrate(q[0]*w(x), x,0,ℓ[0]) + m[A]*g*W[A]];
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| </syntaxhighlight>
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| }}
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| <!-------------------------------------------------------------------------------->
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| {{MyCodeBlock|title=Geometric Constraints
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| |text=
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| Das können wir mit dem Konzept der Lagrange-Multiplikatoren erfassen. Dafür schreiben wir
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| ::<math>\Lambda (\underline{Q}) = U + \lambda\cdot \underbrace{\left( \Delta s_A + \Delta s_B\right)}_{\displaystyle \equiv \sqrt{3}\, W_B+W_A} </math>
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| mit dem Lagrange-Multiplikator ''λ''. Die neuen Gleichgewichtsbedingungen lauten nun
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| ::<math>\displaystyle \frac{d\Lambda}{dQ_i} = 0 \text{ für alle } Q_i </math>
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| und wir erhalten die vier Gleichungen
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| ::<math>\begin{array}{cc} \displaystyle \frac{\lambda }{2}-\frac{49 {m_B} g}{120}-\frac{17 {{\Phi}_C}\, EI}{{\ell_{0}^{2}}}-\frac{108 {W_B}\, EI}{{\ell_{0}^{3}}}+\frac{19 {W_A}\, EI}{{\ell_{0}^{3}}}&=0\\ \displaystyle \frac{\sqrt{3} \lambda }{2}-\frac{9 {m_B} g}{8}+\frac{135 {{\Phi}_C}\, EI}{{\ell_{0}^{2}}}+\frac{729 {W_B}\, EI}{{\ell_{0}^{3}}}-\frac{108 {W_A}\, EI}{{\ell_{0}^{3}}}&=0\\
| |
| \displaystyle -\frac{{\ell_0}\, {m_B} g}{12}+\frac{33 {{\Phi}_C}\, EI}{{\ell_0}}+\frac{135 {W_B}\, EI}{{\ell_{0}^{2}}}-\frac{17 {W_A}\, EI}{{\ell_{0}^{2}}}&=0\\
| |
| \displaystyle \frac{\sqrt{3}\, {W_B}}{2}+\frac{{W_A}}{2}&=0 \end{array}</math>.
| |
| |code=
| |
| <syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
| |
| /* gemetric constraints */
| |
| trials: w(x) = sum(Q[i]*phi[i],i,1,3);
| |
| print('phi = expand(subst([x=ℓ[0]*xi],phi)))$
| |
|
| |
| plot2d(ratsimp(subst([x = xi*ℓ[0]],phi)*[1,1,1/ℓ[0]]), [xi,0,1],
| |
| [legend, "W[A]","W[B]","Φ[C]"], [xlabel, "x/ℓ →"], [ylabel, "ϕ[i] →"]);
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| |
| PMPE: subst(trials, PMPE);
| |
| PMPE: ev(PMPE,nouns);
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| |
| U: expand(subst(PMPE,Π[P] - A[P]));
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| /* Lagrange-Function */
| |
| Λ : U + subst(geometry,λ*(Δs[A]+Δs[B]));
| |
|
| |
| /* Equilibrium Conditions */
| |
| eom : subst(params,makelist( diff(Λ,Q[i])=0, i,1,4));
| |
| </syntaxhighlight>
| |
| }}
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| <!-------------------------------------------------------------------------------->
| |
| {{MyCodeBlock|title=Solving
| |
| |text=
| |
| Das Lösen des Gleichungssystems liefert dann
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| ::<math>\displaystyle \left(\begin{array}{c} W_A\\W_B\\\Phi_C\\\lambda \end{array}\right) = \frac{m_B\, g\, \ell_0^3}{3 \; E I} \left(\begin{array}{l}-3.78 10^{-5}\\+2.18 10^{-5}\\\displaystyle +0.00747 \frac{1}{\ell_0}\\\displaystyle +2.71 \frac{EI}{\ell_0^3} \end{array} \right)</math>.
| |
| |code=
| |
| <syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
| |
| /* Solving */
| |
| sol: float(solve(eom,Q)[1]);
| |
| </syntaxhighlight>
| |
| }}
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| <!-------------------------------------------------------------------------------->
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| {{MyCodeBlock|title=Post-Processing
| |
| |text=
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| Und die Ergebnisse können wir uns anschauen ...
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| ==== ... für w(x): ====
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| [[Datei:Kw51-11.png|mini|Auslenkung ''w(x)''|alternativtext=|ohne]]
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| ==== ... für ''Φ(x)'': ====
| |
| [[Datei:Kw51-12.png|mini|Kippwinkel ''Φ(x)''|alternativtext=|ohne]]
| |
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| ==== ... für M(x): ====
| |
| [[Datei:Kw51-13.png|mini|Biegemoment ''M(x)''|alternativtext=|ohne]]
| |
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| ==== ... für Q(x): ====
| |
| [[Datei:Kw51-14.png|mini|Querkraft ''Q(x)''|alternativtext=|ohne]]
| |
| |code=
| |
| <syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
| |
| /* Post-Processing */
| |
| w : subst([x=xi*ℓ[0]],subst(geometry,subst(sol, sum(Q[j]*phi[j],j,1,3))));
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| fcts: [ w ,
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| diff(w,xi )/ℓ[0] ,
| |
| -EI*diff(w,xi,2)/ℓ[0]^2,
| |
| -EI*diff(w,xi,3)/ℓ[0]^3];
| |
| fcts: float(subst(geometry,expand(fcts)))$
| |
| facts: [1/ℓ[Bez], ℓ[0]/ℓ[Bez], 1/(m[B]*g*ℓ[0]), 1/(m[B]*g)];
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| |
| textlabels : ["← w(x)/ℓ[Bez]", "← w'(x)/(ℓ[Bez]/ℓ[0]) →", "M(x)/(m[B]*g*ℓ) →", "Q(x)/(m[B]g →"];
| |
| for i: 1 thru 4 do(
| |
| f : expand(subst(dimless,facts[i]*fcts[i])),
| |
| preamble: if i<=2 then "set yrange [] reverse" else "set yrange []",
| |
| plot2d(f, [xi,0,1], [legend, false],
| |
| [gnuplot_preamble, preamble],
| |
| [xlabel, "x/ℓ →"],
| |
| [ylabel, textlabels[i]]))$
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| </syntaxhighlight>
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| }}
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