Gelöste Aufgaben/Kig1

Aufgabenstellung

Das skizzierte System ist ein elektrischer Schalter, der in C einen Stromkreis schließen soll. Es besteht aus einem durchgehenden elastischen Stab ABC (Euler-Bernoulli-Balken: Masse m, Biegesteifigkeit EI, Länge ℓ), der in A gelenkig gelagert ist, in B mit einer Führung aus drei starren, masselosen Stäben gelenkig verbunden ist und dem Kontakt in C. Die Führung ist durch eine Feder (Steifigkeit k) mit der Umgebung verbunden.

Lageplan

Damit der Schalter zuverlässig funktioniert soll die Kraft F an der Führung so gewählt werden, dass die vorgegebene Kontaktkraft K eingestellt wird.Gesucht ist die analytische Lösung für ein Euler-Bernoulli-Modell der elastischen Struktur.

Wir lösen dazu das Gleichungssystem zur Bestimmung der Integrationskonstanten der Differentialgleichung des Euler-Bernoulli-Balkens und weiterer Unbekannten und geben die grafischen Lösungen für w, w', M und Q an.

Gegeben: K, ℓ, EI, m, g, k

Lösung mit Maxima

Koordinaten

Das System besteht aus den drei starren Stäben und dem elastischen Balken.

Die Verschiebungen und Verbiegungen der Stäbe verstehen wir am besten, wenn wir uns das System einmal im ausgelenkten Zustand ansehen. Gleichgewichtsbedingungen für die Führung erhalten wir aus einfachen Kräfte- und Momentenbilanzen, die Gleichgewichtsbedingungen für den Euler-Bernoulli-Balken ist die Feld-Differentialgleichung, deren Integrationskonstanten wir an die Rand- und Übergangsbedingungen anpassen.

Aus dem Bild sehen wir

${\begin{array}{ccl}w_{1}(a)=w_{B}\\w_{2}(\ell -a)=w_{C}=d\\\end{array}}$,

und wir arbeiten im folgenden mit

${\begin{array}{ccl}\alpha &=&a/\ell \\\beta &=&1-\alpha \end{array}}$.

Wir beginnen, indem wir Führung und Balken von einander freischneiden:

Damit legen wir die Schnittkräfte

• B_z und
• K

frei. K ist dabei gegeben, F und B_z sind unbekannt.

Wir müssen überlegen, wo wir Bedingungen für diese beiden Größen herbekommen.

Die Lösung der Teilaufgabe für den Euler-Bernoulli-Balken ist ein klassisches Randwertproblem mit

1. zwei Gebieten, in denen ein Euler-Bernoulli-Balken in AB (Bereich I) und BC (Bereich II) durch eine Streckenlast q₀ belastet ist sowie
2. Rand- und Übergangsbedingungen in den Punkten A, B, C.

Die Biegesteifigkeit des Balkens ist konstant (also nicht von "x" abhängig), die Lösungen in beiden Bereichen ist also bis auf die Integrationskonstanten gleich.

Wir verwenden ein x_i bzw. ξ_i als Ortskoordinaten je Bereich.

Zusätzlich zum "klassischen" Randwertproblem haben wir hier Zwangsbedingung durch die starren Stäbe und die Kontaktkraft.

tmp

In dieser Lösung arbeiten wir mit dimensionslosen Koordinaten für die unabhängige Koordinate x und die abhängige Koordinate w(x).

Header

Text

1+1

tmp

Integration Of Differential Equation

Text

1+1

tmp

Boundary Conditions

Text

1+1

tmp

Prepare for Solver

Text

1+1

tmp

Solving

Text

1+1

tmp

Post-Processing

Text

1+1

Übergang B

Rand C

Ratio F/Q

w(x)

phi(x)

M(x)

Q(x)

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