Gelöste Aufgaben/Hko8

Aufgabenstellung

Lageplan

Drei Stäbe 1, 2 und 3 werden in Punkt A verbunden. Aufgrund einer Fertigungstoleranz ist Stab 3 um zu kurz. Gesucht ist die Verschiebung des Punktes A nach dem Einhängen von Stab 3 sowie die Spannungen in den Stäben. Die drei Stäbe haben die Querschnittsfächen

$A_{1};A_{2}=2A_{1},A_{3}=A_{1}$

und die Abmessungen

$h,\Delta ,\alpha =30^{\circ }$

Alle Stäbe sind aus dem gleichen Material mit E-Modul E:

Lösung mit Maxima

... nach dem Prinzip vom Minimum der potentiellen Energie:

• "Das System ist im Gleichgewicht, wenn die Potentielle Energie des Systems ein Minimum hat."

tmp

Header

Wir arbeiten mit wxMaxima 15.08.2.

/*******************************************************/
/* MAXIMA script                                       */
/* version: wxMaxima 15.08.2                           */
/* author: Andreas Baumgart                            */
/* last updated: 2017-02-28                            */
/* ref: Mathe 2                                        */
/* description: Dehnstäbe verspannt eingebaut          */
/*                                                     */
/*******************************************************/

tmp

$a=\tan \left(\alpha \right)\cdot h,\alpha ={\frac {\pi }{6}},{{A}_{3}}={{A}_{1}},{{A}_{2}}=2\cdot {{A}_{1}}$

Declarations

Parameter

1+1

tmp

Freischnitt: Knoten A

Aus dem Satz des Pythagoras kommt:

${\begin{array}{lll}{{\left({{\Delta }_{1}}+{{l}_{1}}\right)}^{2}}={{\left(h-v\right)}^{2}}+{{\left(a-u\right)}^{2}}\\{{\left({{\Delta }_{3}}+{{l}_{3}}\right)}^{2}}={{\left(h-\Delta -v\right)}^{2}}+{{u}^{2}}\\{{\left({{\Delta }_{2}}+{{l}_{2}}\right)}^{2}}={{\left(h-v\right)}^{2}}+{{\left(a+u\right)}^{2}}\end{array}}$

Kinematics

Text

1+1

Die Stab-Längung linearisieren wir bezüglich der Koordinaten u, v und erhalten

Dehnungen:

$\displaystyle {{\varepsilon }_{1}}=-{\frac {{\sqrt {3}}\cdot \left(u+{\sqrt {3}}\cdot v\right)}{4\cdot h}},{{\varepsilon }_{2}}={\frac {{\sqrt {3}}\cdot \left(u-{\sqrt {3}}\cdot v\right)}{4\cdot h}},{{\varepsilon }_{3}}={\frac {-v+\Delta +{\text{...}}}{h-\Delta }}$

Spannungen:

$\displaystyle {{\sigma }_{1}}=-{\frac {{\sqrt {3}}\cdot \left(u+{\sqrt {3}}\cdot v\right)\cdot E}{4\cdot h}},{{\sigma }_{2}}={\frac {{\sqrt {3}}\cdot \left(u-{\sqrt {3}}\cdot v\right)\cdot E}{4\cdot h}},{{\sigma }_{3}}={\frac {\left(-v+\Delta +{\text{...}}\right)\cdot E}{h-\Delta }}$

tmp

Linearize for small deflections

Text

1+1

tmp

U hat ein Minimum (Extremwert), wenn

${\frac {\displaystyle dU}{\displaystyle du}}{\stackrel {!}{=}}0\;{\text{ und }}\;{\frac {\displaystyle dU}{\displaystyle dv}}{\stackrel {!}{=}}0$

wobei die Potentielle Energie im System

$\displaystyle U=\sum _{i=1}^{3}U_{i}{\text{ mit }}U_{i}=\int _{\ell _{i}}{\frac {1}{2}}\sigma _{i}\cdot \varepsilon _{i}dx$

ist und damit

$\displaystyle U={\frac {{\sqrt {3}}\cdot {{A}_{1}}\cdot {{\left(u+{\sqrt {3}}\cdot v\right)}^{2}}\cdot E}{8\cdot h}}+{\frac {{\sqrt {3}}\cdot {{A}_{1}}\cdot {{\left(u-{\sqrt {3}}\cdot v\right)}^{2}}\cdot E}{4\cdot h}}+{\frac {{{A}_{1}}\cdot {{\left(-v+\Delta +{\text{...}}\right)}^{2}}\cdot E}{h}}$.===Equilibrium Conditions=== Text

1+1

tmp

Auflösen des Gleichungssystems liefert:

${\begin{array}{l}\displaystyle u=-{\frac {{\sqrt {3}}-3}{6}}\cdot \Delta ,\\\displaystyle v={\frac {{\sqrt {3}}-1}{2}}\cdot \Delta \end{array}}$

Die Stab-Kräfte erhalten wir entsprechend zu

${\begin{array}{l}\displaystyle {{S}_{1}}=-{\frac {\left({\sqrt {3}}-1\right)\cdot {{A}_{1}}\cdot E}{2\cdot h}}\cdot \Delta ,\\\displaystyle {{S}_{2}}=-{\frac {\left({\sqrt {3}}-1\right)\cdot {{A}_{1}}\cdot E}{2\cdot h}}\cdot \Delta ,\\\displaystyle {{S}_{3}}=-{\frac {\left({\sqrt {3}}-3\right)\cdot {{A}_{1}}\cdot E}{2\cdot h}}\cdot \Delta \end{array}}$.===Solving=== Text

1+1

Das Potential können wir über u,v plotten - die Gleichgewichtsbeziehung ist im Minimum der Fläche.

tmp

Potential U(u,v).

Post-Processing

Text

1+1

Links

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