Gelöste Aufgaben/FEB2

Aufgabenstellung

Die zwei Euler-Bernoulli-Balken AB (Länge a) und BC (Länge 2a) sind in B fest verschweißt. Ihre Biegesteifigkeit ist EI. Die Konstruktion ist in A fest eingespannt und in C durch ein verschiebliches Gelenklager gelagert. In B ist sie durch die Kraft F und das Moment M belastet.

Lageplan

Gesucht ist die Verschiebungen und Verdrehungen der Balken mit der Methode der Finiten ELemente.

Gegeben: a, E I, F, M

Lösung mit Maxima

Berechnet werden sollten daf[r die Auslenkungen und Verdrehung der Punkte A, B und C. Das Modell soll aus zwei Finiten Elementen bestehen, jeweils eins für den Abschnitt AB und BC. Die neutralen Fasern der beiden Balken seien in Längsrichtung undehnbar – die Querschnitts-Schwerpunkte verschieben sich also nicht in Balken-Längsrichtung.

Header

Hier müssen die Element-Steifigkeitsmatrizen für zwei Sektionen von Euler-Bernoulli-Balken zusammengefügt (assembliert) werden. Die Schwierigkeit liegt darin, die Koordinaten in Punkt B passend zu wählen.

/*******************************************************/
/* MAXIMA script                                       */
/* version: wxMaxima 16.04.2                           */
/* author: Andreas Baumgart                            */
/* last updated: 2018-02-13                            */
/* ref: TM-C                                           */
/* description: FEM-solution for two rgidly connected  */
/*              sections                               */
/*******************************************************/

/*******************************************************/
/* MAXIMA script                                       */
/* version: wxMaxima 16.04.2                           */
/* author: Andreas Baumgart                            */
/* last updated: 2018-02-13                            */
/* ref: TM-C                                           */
/* description: FEM-solution for two rigidly connected */
/*              sections                               */
/*******************************************************/

Declarations

Die Element-Steifigkeitsmatrix kopieren wir aus Abschnitt FEM-Formulierung für den Euler-Bernoulli-Balken zu:

$\displaystyle K_{i}(\ell _{i})={\frac {EI}{\ell _{i}^{3}}}\cdot {\begin{pmatrix}12&6\cdot \ell &-12&6\cdot \ell _{i}\\6\cdot \ell _{i}&4\cdot {{\ell _{i}}^{2}}&-6\cdot \ell _{i}&2\cdot {{\ell _{i}}^{2}}\\-12&-6\cdot \ell _{i}&12&-6\cdot \ell _{i}\\6\cdot \ell _{i}&2\cdot {{\ell _{i}}^{2}}&-6\cdot \ell _{i}&4\cdot {{\ell _{i}}^{2}}\end{pmatrix}}$.

Die Element-Längen der zwei Finiten Elemente sind hier

${\begin{array}{l}\ell _{1}=a\\\ell _{2}=2\,a\end{array}}$.

/***************************************************/
/* FEM-Formulierung+für+den+Euler-Bernoulli-Balken */ 
/*Trial-Fucntions*/
phi : [       (xi-1)^2*(2*xi+1),
         l[i]* xi     *(  xi-1)^2,
        -      xi^2   *(2*xi-3),
         l[i]* xi^2   *(  xi-1)];
 
Ki(l):= (EI/l^3)*matrix([ 12, 6*l  ,-12  , 6*l  ],
                        [6*l, 4*l^2, -6*l, 2*l^2],
                        [-12,-6*l  , 12  ,-6*l  ],
                        [6*l, 2*l^2, -6*l, 4*l^2]);
/***************************************************/

Zunächst hat das System mit zwei Finiten Elementen jeweils 4 Koordinaten, nämlich

$W_{i-1},\Phi _{i-1},W_{i},\Phi _{i}$.

Sektion A-B

Sektion B-C

Die Sektion ist in A fest eingespannt, also ist hier $W_{i-1}=0,\;\Phi _{i-1}=0.$ Es bleiben die Verschiebung und Verdrehung in B, also $W_{i}=W_{B},\;\Phi _{i}=\Phi _{B}$.

Die neutralen Fasern der Balken-Sektionen - also auch von AB - sind undehnbar. Die Punkte B und C können sich also nur in vertikale Richtung jeweils um WB verschieben.  Durch diese Starrkörper-Verschiebung wird keine Arbeit geleistet - das tun nur die Lateral-Verschiebungen in w2(x2). Es ist also $W_{i-1}=0,\;W_{i}=0.$ Es bleiben also die Verdrehungen in B und C zu $\Phi _{i-1}=\Phi _{B},\;\Phi _{i}=\Phi _{C}$

Übertragung der Koordinaten.

Die verbleibenden Koordinaten des Gesamtsystems sind

${\underline {Q}}=\left({\begin{array}{l}W_{B}\\\Phi _{B}\\\Phi _{C}\end{array}}\right)$

Das verformte System sieht dann so aus:

Verformte Lage.

/* coordinates */
Q : [W[B], Phi[B],Phi[C]];

K[1] : submatrix(1,2,Ki(  a),1,2);
K[2] : submatrix(1,3,Ki(2*a),1,3);

Assembly of System Matrices

Wir bauen das Gleichungssystem

${\underline {\underline {K}}}\cdot {\underline {Q}}={\underline {P}}$

zusammen, indem wir die Anteile der Element-Steifigkeitsmatrizen und die äußeren Lasten in die jeweiligen System Matrizen hineinaddieren.

Die virtuelle Formänderungsenergie ist

• für Sektion AB:

$\delta \Pi _{AB}=\left(\delta W_{B},\delta \Phi _{B}\right)\cdot {\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {12\cdot {\mathit {EI}}}{{a}^{3}}}&\displaystyle -{\frac {6\cdot {\mathit {EI}}}{{a}^{2}}}\\\displaystyle -{\frac {6\cdot {\mathit {EI}}}{{a}^{2}}}&\displaystyle {\frac {4\cdot {\mathit {EI}}}{a}}\end{pmatrix}}\cdot \left({\begin{array}{l}W_{B}\\\Phi _{B}\end{array}}\right)$ und

• für Section BC:

$\delta \Pi _{BC}=\left(\delta \Phi _{B},\delta \Phi _{C}\right)\cdot {\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {2\cdot {\mathit {EI}}}{a}}&\displaystyle {\frac {\mathit {EI}}{a}}\\\displaystyle {\frac {\mathit {EI}}{a}}&\displaystyle {\frac {2\cdot {\mathit {EI}}}{a}}\end{pmatrix}}\cdot \left({\begin{array}{l}\Phi _{B}\\\Phi _{C}\end{array}}\right)$

Die Gesamt-Steifigkeitsmatrix aus Sektion AB (rot) und Sektion 2 (grün) ist damit

$\displaystyle {\underline {\underline {K}}}={\frac {E\,I}{a^{3}}}\cdot \left({\begin{array}{ccc}{\color {red}{+12}}&{\color {red}{-6a}}&0\\{\color {red}{-6a}}&{\color {red}{4a^{2}}}+{\color {green}{2a^{2}}}&{\color {green}{a^{2}}}\\0&{\color {green}{a^{2}}}&{\color {green}{2a^{2}}}\end{array}}\right)$,

Die Spaltenmatrix der eingeprägten, äußeren Lasten auf das System kommt aus

$\delta W^{a}=-F\cdot \delta W_{B}+M\cdot \delta \Phi _{B}$

zu

$\displaystyle {\underline {P}}=\left({\begin{array}{r}-F\\M\\0\end{array}}\right)$.

/* system stiffness matrix K and system load matrix P */
K[0] : zeromatrix(3,3);

/* assembel */
for row:1 thru 2 do
   for col:1 thru 2 do
     (K[0][row  ,col  ] : K[0][row  ,col  ] + K[1][row,col],
      K[0][row+1,col+1] : K[0][row+1,col+1] + K[2][row,col]);

P : matrix([-F],[M],[0]);

Solving

Die Lösung des linearen Gleichungssystems liefert

${\begin{pmatrix}{{W}_{B}}\\{{\Phi }_{B}}\\{{\Phi }_{C}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {12\cdot {{a}^{2}}\cdot M-11\cdot {{a}^{3}}\cdot F}{60\cdot {\mathit {EI}}}}\\\displaystyle {\frac {2\cdot a\cdot M-{{a}^{2}}\cdot F}{5\cdot {\mathit {EI}}}}\\\displaystyle -{\frac {2\cdot a\cdot M-{{a}^{2}}\cdot F}{10\cdot {\mathit {EI}}}}\end{pmatrix}}$

/* solve by LU-factorisation */
sol: ratsimp(linsolve_by_lu(K[0],P)[1]);
print(transpose(Q)=sol);

Post/Processing

Solange

$\displaystyle M>{\frac {11\cdot a\cdot F}{12}}$

sieht das System im ausgelenkten Zustand so aus:

Lage des verformten Systems.

NONE

Links

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Literature

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