Gelöste Aufgaben/FEB1: Unterschied zwischen den Versionen

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<!-------------------------------------------------------------------------------->Die geometrische Randbedingung ''U<sub>0</sub> = 0'' arbeiten wir ein, indem wir die erste Zeile des Gleichungssystem streichen sowie die erste Spalte der Steifigketsmatrix.{{MyCodeBlock|title=Boundary Conditions
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/* initiate system matrices */
/* initiate system matrices */
K[0] : zeromatrix(I+1,I+1);
K[0] : zeromatrix(I+1,I+1);
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       for col : 1 thru 2 do
       for col : 1 thru 2 do
         K[0][e-1+row][e-1+col] : K[0][e-1+row][e-1+col]+              K[i][row][col]);
         K[0][e-1+row][e-1+col] : K[0][e-1+row][e-1+col]+              K[i][row][col]);
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<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock|title=Boundary Conditions
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Die geometrische Randbedingung ''U<sub>0</sub> = 0'' arbeiten wir ein, indem wir die erste Zeile des Gleichungssystem streichen sowie die erste Spalte der Steifigketsmatrix.
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/* incorporate geometric boundary conditions */
K[0] : submatrix( 1, K[0], 1);
P[0] : submatrix( 1, P[0]  );
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Version vom 25. Februar 2021, 13:38 Uhr


Aufgabenstellung

Auch wenn es nicht so aussieht: für das rotierende Rotorblatt suchen wir eine statische Lösung - das Problem heißt "quasistatisch".


Lageplan

Ein Hubschrauber-Rotor dreht mir der konstanten Winknelgeschwindigkeit Ω. Das Rotor-Blatt ist aus Aluminium. Gesucht ist die FEM-Lösung für der Verschiebung der Querschnitte und die Dehnung der Querschnitte.


Lösung mit Maxima

Declarations

Für die Komposition der Bewegungsgleichungen brauchen wir die Element-Steifigkeitsmatrix und die Element-Lastmatrix.

Wir gehen von gleichlangen Elementen aus, hier von

I=4

Elementen, also

i=0I.

Wie im Abschnitt "Finite Elemente Methode" verwenden wir die linearen Ansatzfunktionen

ϕ1=1ξ und ϕ1=ξ,

also

ui(ξi)=Ui1ϕ1(ξ1)+Uiϕ2(ξi).

Die Element-Steifigkeitsmatrix ergibt sich für den Dehnstab zu

K__i=EAi(1111).

Die Element-Lastmatrix ist etwas schwieriger. Für ein einzelnes Element i ist

δWa=ri1riϱArΩ2δu(r)dr.

Mit

r=ri1+iξi und ri1=(i1)i

schreiben die Beziehung um zu

δWa=ϱAΩ2i201(i+ξ)δu(ξ)dξ,

wir erhalten

P_i=ϱAΩ2i2(3i+163i+26).




Equlibrium Conditions

Die Gleichgewichtsbeziehungen des Gesamtsystems erhalten wir durch aus der Addition aller virtuellen Arbeiten des Systems, praktisch durch das Hinzuaddieren der Anteile je Element in die System-Matrizen für K und P:

K__=(AEiAEi000AEi2AEiAEi000AEi2AEiAEi000AEi2AEiAEi000AEiAEi)

und

P_=ϱAi2Ω2(16123116)




Boundary Conditions

Die geometrische Randbedingung U0 = 0 arbeiten wir ein, indem wir die erste Zeile des Gleichungssystem streichen sowie die erste Spalte der Steifigketsmatrix.



tmp

Die Lösung des linearen Gleichungssystems

K__U_=P_

ist

U_=(47l03Ω2ρ384E11l03Ω2ρ48E39l03Ω2ρ128El03Ω2ρ3E).

Oder - in dimensionsloser Form

U_us=(4712811161171281).===Solving=== Text



tmp

Auslenkung u(x).

Die Ergebnisse der FE-Rechnung und der analytischen Lösung können wir jetzt übereinander auftragen:

Die Dehnungen (und Spannungen) im Bauteil sind

εrr=dudr.

Auch dieses Ergebnis können wir auftragen:

Dehnung ε(x).

===Post-Processing===

Konstante Dehnung je Element:
Was ausschaut wie ein Fehler - nämlich die "Treppenfunktion" für die Dehnung im FE-Modell - ist in Wirklichkeit die Folge unserer linearen Ansatzfunktionen. Diese abgeleitet liefern eine konstante Dehnung je Element.




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